Andrej: Nova stran z vsebino: Zapisali jo bomo v obliki h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}. Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima kon…

2010-06-27T12:47:10Z

Nova stran z vsebino: Zapisali jo bomo v obliki <latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex> Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima kon…

Nova stran

Zapisali jo bomo v obliki

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex>

Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima konstanta ''a'' enoto s-1. Nekaj podobnega smo zasledili pri argumentu (kotu ''ωt'') harmonične funkcije. Poiščimo odvod eksponentne funkcije<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {(1 + s)^{1/s}} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left( {1 + 1/p}
\right)^p} \,=\, 1</latex></ref>:

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a(t \,+\, \Delta t)}} \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}}{\Delta t}\, = \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} - 1}{\Delta t}\,= \,a{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,- \,1}{a\Delta t}.</latex>

Limitiranje uženemo z vpeljavo spremenljivke ''s'',

<latex>s \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}}\, -\, 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\Delta t \,= \,\ln (1 \,+\, s){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,-\, 1}{a\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{s}{\ln (1 \,+ \,s)}\, =\, </latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{1}{{s^{ - 1}}\ln (1 \,+\, s)}\, =\, \frac{1}{\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^{ - 1}}\ln (1\, +\, s)}\, =\, \frac{1}{\ln \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {{(1 \,+\, s)}^{1/s}}} \,=\, \frac{1}{\ln {\mathop{\rm e}\nolimits} }\, = \,{\rm{1\,}}{\rm{,}}</latex>

kar končno da:

<latex>h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}.</latex>

Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo:

<latex>{h(t) \,=\, {\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}H{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}} {\rm{d}}t\, =\, {a^{ - 1}}{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}\, +\, C.}</latex>

'''Zgled 4'''
Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob ''t''0 = 0 prazen, je ''i'' = 10 mA.e-t / 2 s; ''Q''(''t''0) = 0 C. Ob ''t''0 = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e2, po šestih 10 mA / e3, po 10 s pa komaj še 10 mA / e5 &cong; 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde. ⇒ Račun je podoben prejšnjemu. Tok je odvod naboja:

<latex>\frac{{\rm{d}}Q(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, i(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}Q(t)\, =\, \int {i(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Q({t_1}) \,=\, Q({t_0}) \,+\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \, =\, </latex>

<latex>\int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot\, \int\limits_0^{10{\rm{ s}}} {{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot \,\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{1/2{\rm{ s}}}}\right)_0^{10{\rm{ s}}}\, =\, 20{\rm{ mC}} \,\cdot\, \left( {1\, -\, {{\rm{e}}^{ - 5}}} \right)\, \cong\, 19,87\,{\rm{ mC}}.</latex>

Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Eksponentna funkcija - Zgodovina strani

Andrej: Nova stran z vsebino: Zapisali jo bomo v obliki h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}. Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima kon…