Eulerjeva formula - Zgodovina strani

Andrej ob 12:29, 20. maj 2010

2010-05-20T12:29:52Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 12:29, 20. maj 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	Na splošnosti nič ne izgubimo, če se za hip omejimo na kompleksno število, ki leži na krožnici polmera 1. ~~Slaven~~ nemški matematik Leonhard Euler je prišel do ugotovitve, da se dá kompleksno število zapisati tudi v ''eksponentni'' obliki:	+	Na splošnosti nič ne izgubimo, če se za hip omejimo na kompleksno število, ki leži na krožnici polmera 1. Slavni nemški matematik Leonhard Euler je prišel do ugotovitve, da se dá kompleksno število zapisati tudi v ''eksponentni'' obliki:


Vrstica 5:		Vrstica 5:


-	Enačbo ~~moremo preveriti~~. Naj ta velja. Če množimo dve kompleksni števili in upoštevamo pravila za množenje potenc, sledi zveza, ki jo že poznamo:	+	Enačbo lahko preverimo. Naj ta velja. Če množimo dve kompleksni števili in upoštevamo pravila za množenje potenc, sledi zveza, ki jo že poznamo:


Vrstica 11:		Vrstica 11:


-	Z Eulerjevo formulo ~~moremo~~ kazalec <latex>\underline U</latex> ~~zapisati~~ morda še bolj pregledno:	+	Z Eulerjevo formulo lahko kazalec <latex>\underline U</latex> zapišemo morda še bolj pregledno:


Vrstica 17:		Vrstica 17:


-	Kazalca <latex>\underline A</latex> in <latex>\underline B</latex> sta dana v eksponentni obliki; njun produkt in kvocient sta:	+	Kazalca <latex>\underline A</latex> in <latex>\underline B</latex> sta dana v eksponentni obliki, njun produkt in kvocient sta:


Vrstica 26:		Vrstica 26:


-	Kaj je prednost Eulerjeve formule? ~~Izkazuje jo~~ pri deljenju (množenju), ni pa uporabna pri seštevanju (odštevanju) kompleksnih števil.	+	Kaj je prednost Eulerjeve formule? Izkaže se pri deljenju (množenju), ni pa uporabna pri seštevanju (odštevanju) kompleksnih števil.


	'''Zgled 4.'''		'''Zgled 4.'''

-	Opravimo produkt in kvocient kazalcev <latex>3 - {\rm{j}}</latex>2 in <latex>1 + {\rm{j}}4</latex> na dva načina! ⇒	+	Opravimo produkt in kvocient kazalcev <latex>3 - {\rm{j}}</latex>2 in <latex>1 + {\rm{j}}4</latex> na dva načina. ⇒

Admin: 1 revision

2010-05-14T16:09:26Z

1 revision

← Starejša redakcija

Redakcija: 16:09, 14. maj 2010

Admin ob 17:59, 5. april 2010

2010-04-05T17:59:08Z

Nova stran

Na splošnosti nič ne izgubimo, če se za hip omejimo na kompleksno število, ki leži na krožnici polmera 1. Slaven nemški matematik Leonhard Euler je prišel do ugotovitve, da se dá kompleksno število zapisati tudi v ''eksponentni'' obliki:

<latex>{\cos \alpha \pm {\mathrm{j} }\sin \alpha = {\mathrm {e} } ^{ \pm {\mathrm{j} }\alpha } .}</latex>

Enačbo moremo preveriti. Naj ta velja. Če množimo dve kompleksni števili in upoštevamo pravila za množenje potenc, sledi zveza, ki jo že poznamo:

<latex>\left( {\cos \alpha + {\mathrm{j} }\sin \alpha } \right)\left( {\cos \beta + {\mathrm{j} }\sin \beta } \right) = {\mathrm {e} } ^{j\alpha } {\mathrm {e} } ^{j\beta } = {\mathrm {e} } ^{j(\alpha + \beta )} = \cos (\alpha + \beta ) + {\mathrm{j} }\sin (\alpha + \beta ).</latex>

Z Eulerjevo formulo moremo kazalec <latex>\underline U</latex> zapisati morda še bolj pregledno:

<latex>{\underline U = {\mathrm {Re} } (\underline U ) + {\mathrm{j} }{\mathrm {Im} } (\underline U ) = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \alpha _u + {\mathrm{j} }\sin \alpha _u } \right) = U_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\alpha _u } .}</latex>

Kazalca <latex>\underline A</latex> in <latex>\underline B</latex> sta dana v eksponentni obliki; njun produkt in kvocient sta:

<latex>\underline A = A_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\alpha } {\mathrm{ in } }\underline B = B_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\beta } {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline A \underline B = A_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\alpha } B_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\beta } = A_{\mathrm{m} } B_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j(} }\alpha + \beta )} {\mathrm{ in } }</latex>

<latex>\frac{ {\underline A } }{ {\underline B } } = \frac{ {A_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\alpha } } }{ {B_{\mathrm{m} } {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\beta } } } = \frac{ {A_{\mathrm{m} } } }{ {B_{\mathrm{m} } } }{\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j} }\alpha } {\mathrm {e} } ^{ - {\mathrm{j} }\beta } = \frac{ {A_{\mathrm{m} } } }{ {B_{\mathrm{m} } } }{\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j(} }\alpha - \beta )} .</latex>

Kaj je prednost Eulerjeve formule? Izkazuje jo pri deljenju (množenju), ni pa uporabna pri seštevanju (odštevanju) kompleksnih števil.

'''Zgled 4.'''

Opravimo produkt in kvocient kazalcev <latex>3 - {\rm{j}}</latex>2 in <latex>1 + {\rm{j}}4</latex> na dva načina! ⇒

<latex>(3 - {\mathrm{j} }2)(1 + {\mathrm{j} }4) = 3 + {\mathrm{j} }12 - {\mathrm{j} }2 + 8 = 11 + {\mathrm{j} }10 \cong {\mathrm{14,866} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j42,27} }^\circ } ,</latex>

<latex>\frac{ {3 - {\mathrm{j} }2} }{ {1 + {\mathrm{j} }4} } = \frac{ {3 - {\mathrm{j} }2} }{ {1 + {\mathrm{j} }4} } \cdot \frac{ {1 - {\mathrm{j} }4} }{ {1 - {\mathrm{j} }4} } = \frac{ {3 - {\mathrm{j} }12 - {\mathrm{j} }2 - 8} }{ {1 + 16} } = - \frac{5}{ {17} } - {\mathrm{j} }\frac{ {14} }{ {17} } \cong {\mathrm {0,874}} \cdot {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j250,35} }^\circ } ,</latex>

<latex>3 - {\mathrm{j} }2 \cong {\mathrm{3,605} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ - {\mathrm{j33,69} }^\circ } {\mathrm{ in } }1 + {\mathrm{j} }4 \cong {\mathrm{4,123} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j75,96 } }^\circ } {\mathrm{ } } \Rightarrow </latex>

<latex>({\mathrm{3,605} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ - {\mathrm{j33,69 } }^\circ } )({\mathrm{4,123} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j75,96 } }^\circ } {\mathrm{)} } \cong {\mathrm{14,866} } \cdot {\mathrm {e} } ^{ {\mathrm{j42,27} }^\circ } {\mathrm{ in} }</latex>

<latex>{{3,605 \cdot {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j33}}{\rm{,69 }}^\circ }}} \over {4,123 \cdot {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{\rm{j75}}{\rm{,96 }}^\circ }}}} \cong 0,874 \cdot {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j109}}{\rm{,65 }}^\circ }} = 0,874 \cdot {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{\rm{j250}}{\rm{,35 }}^\circ }}</latex>

Kaj je sporočilo? Če sta kazalca podana v komponentni obliki, potem ju v tej obliki lahko tudi množimo in delimo, če pa sta dana v eksponentni obliki, ju v tej obliki enostavno delimo ali množimo, za seštevanje ali odštevanje pa ju moramo predhodno pač pretvoriti v komponentno obliko.<br>

{{Hierarchy footer}}