Kompleksna števila v kompleksni ravnini - Zgodovina strani

Admin ob 16:37, 12. julij 2010

2010-07-12T16:37:22Z

Admin ob 16:36, 12. julij 2010

2010-07-12T16:36:34Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:36, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]		[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]
-	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
	[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]		[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]
	[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]		[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]

Admin ob 16:36, 12. julij 2010

2010-07-12T16:36:03Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:36, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	[[Slika:~~OET2_a_poglavje_08_slika_01~~.~~svg‎~~\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]
-	[[Slika:~~OET2_a_poglavje_08_slika_02~~.svg~~\|thumb~~\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
		+	[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]
		+	[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]
	Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba		Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba

Andrej ob 23:41, 19. maj 2010

2010-05-19T23:41:05Z

← Starejša redakcija		Redakcija: 23:41, 19. maj 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_01.svg‎\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma ~~Gaussov~~ ravnini štirih kvadrantov.]]	+	[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_01.svg‎\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]
	[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_02.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]		[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_02.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
	Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba		Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba
Vrstica 58:		Vrstica 58:


-	<latex>{x = {\mathrm {Re} } (z) = \left\| z \right\|{\mathrm{cos} }\alpha}</latex> in <latex>{y = {\mathrm {Im} } (z) = \left\| z \right\|\sin \alpha ,}</latex>	+	<latex>{x = {\mathrm {Re} } (z) = \left\| z \right\|{\mathrm{cos} }\alpha}</latex> in <latex>{y = {\mathrm {Im} } (z) = \left\| z \right\|\sin \alpha .}</latex>


Vrstica 76:		Vrstica 76:


-	~~ponuja~~ pa se tudi ~~prilika~~, da zapišemo število <latex>z</latex> še v ''trigonometrični'' obliki:	+	Ponuja pa se tudi priložnost, da zapišemo število <latex>z</latex> še v ''trigonometrični'' obliki:


Vrstica 91:		Vrstica 91:


-	'''Zgled 1. '''	+	'''Zgled 1 '''

-	Dano je kompleksno število: <latex>z = 3 - {\rm{i}}4</latex> (slika 4). Določimo število <latex>z*</latex>, absolutno vrednost in argument! ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:	+	Dano je kompleksno število: <latex>z = 3 - {\rm{i}}4</latex> (slika 4). Določimo število <latex>z*</latex>, absolutno vrednost in argument. ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:

Admin: 1 revision

2010-05-14T16:09:25Z

1 revision

← Starejša redakcija

Redakcija: 16:09, 14. maj 2010

Admin ob 16:00, 5. april 2010

2010-04-05T16:00:16Z

Nova stran

[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_01.svg‎|thumb|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussov ravnini štirih kvadrantov.]]
[[Slika:OET2_a_poglavje_08_slika_02.svg|thumb|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba

<latex>{ {\mathrm{i} }^2 = - 1,}</latex>

se ponuja nadaljevanje:

<latex>\sqrt { - k} = \sqrt { - 1} \sqrt k = \pm {\mathrm{i} }\sqrt k {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left( {\sqrt { - k} } \right)^2 = ( \pm {\mathrm{i)} }^{\mathrm{2} } \left( {\sqrt k } \right)^2 = - k,</latex>

ki sporoča, da ima koren negativnega števila <latex>-k</latex> rešitvi v dveh, za predznak različnih ''imaginarnih številih''. Imaginarno število je torej z enoto <latex>\mathrm{i}</latex> množeno realno število.

Združitev množic realnih in imaginarnih števil določa množico kompleksnih števil. Predstavnika, ''kompleksno število'' <latex>\mathrm{i}</latex>, določa algebraična vsota realnega števila <latex>x</latex> in imaginarnega števila <latex>\mathrm{i}y</latex>:

<latex>{z = x + {\mathrm{i} }y{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }x = {\mathrm {Re} } (z){\mathrm{\,\,in\,\,} }y = {\mathrm {Im} } (z).}</latex>

Števili <latex>x</latex> in <latex>y</latex> sta realni; <latex>x</latex> je realni del (realna komponenta) števila <latex>z</latex>, <latex>y</latex> pa je imaginarni del (imaginarna komponenta) števila <latex>z</latex>; <latex>\mathrm{i}</latex> je enota imaginarnega, 1, ki je (praviloma) ne pišemo, pa je enota realnega dela.

Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je vpeljal ''kompleksno'', po njem imenovano ''Gaussovo ravnino''; opredeljujeta jo ''realna'' in ''imaginarna'' os. Ravnina omogoča predstavitev kompleksnega števila <latex>z=x+{\rm{i}}y</latex> s »točko«; koordinati te točke sta <latex>x</latex> in <latex>{\rm{i}}y</latex> (slika 41-1). Presečišče osi upodablja število ''nič'' (<latex>0 + {\rm{i}}0 = 0</latex>). Osi razdelita ravnino na I., II., III. in IV. ''kvadrant''; te štejemo od desnega zgornjega v levo okoli točke nič (v ''pozitivni matematični smeri'').

Pravokotnost osi povzema dejstvo, da sta si števili <latex>x</latex> in <latex>{\rm{i}}y</latex> »tuji«, da je razlika (vsota) realnih realno, vsota (razlika) imaginarnih pa je imaginarno število. Vsota/razlika kompleksnih števil <latex>z_1</latex> in <latex>z_2</latex> se torej odvija znotraj njunih delov, množenje kompleksnih števil pa izvajamo po pravilu množenja binomov:

<latex>{z_1 = x_1 + {\mathrm{i} }y_1 ,{\mathrm{ } }z_2 = x_2 + {\mathrm{i} }y_2 {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2 {\mathrm{)} } + {\mathrm{i(} }y_1 \pm y_2 {\mathrm{)} }{\mathrm{.} } }</latex>

<latex>{(x_1 + {\mathrm{i} }y_1 )(x_2 + {\mathrm{i} }y_2 {\mathrm{)} } = x_1 x_2 + {\mathrm{i} }y_2 x_1 + {\mathrm{i} }y_1 x_2 + {\mathrm{i} }^{\mathrm{2} } y_1 y_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 + {\mathrm{i} }(x_1 y_2 + x_2 y_1 {\mathrm{)} }{\mathrm{.} } }</latex>

Kompleksno število <latex>z</latex> ima tudi svoje ''konjugirano kompleksno število'' <latex>z*</latex>; to se od števila z razlikuje v predznaku imaginarnega dela:

<latex>{z = x + {\mathrm{i} }y{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }z{\mathrm{*} } = x - {\mathrm{i} }y{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }x = (z + z{\mathrm{*} })/2}</latex> in <latex>{y = (z - z{\mathrm{*} })/2{\mathrm{i } } \Rightarrow {\mathrm{ (} }z{\mathrm{*} }){\mathrm{*} } = z.}</latex>

Zmnožek sebi konjugiranih števil (<latex>z*</latex>) da nenegativno število,

<latex>zz{\mathrm{*} } = (x + {\mathrm{i} }y)(x - {\mathrm{i} }y) = x^2 + {\mathrm{i} }xy - {\mathrm{i} }xy + y^2 = x^2 + y^2 \ge 0,</latex>

ki ustreza kvadratu »oddaljenosti« točke <latex>z</latex> od točke 0. Ta oddaljenost določa številu <latex>z=x+{\rm{i}}y</latex> njegovo ''absolutno vrednost'' <latex>|z| = {\rm{abs}}(z)</latex>,

<latex>{\left| z \right| = \sqrt {zz{\mathrm{*} } } = \sqrt {x^2 + y^2 } = {\mathrm{abs} }(z){\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| {z{\mathrm{*} } } \right| = \left| z \right|.}</latex>

Upodablja jo daljica med izhodiščem in točko <latex>z</latex>, ki s pozitivnim delom realne osi oklepa kot <latex>\alpha</latex>, z daljicama dolžine <latex>|x|</latex> in <latex>|y|</latex> pa oblikuje pravokoten trikotnik (slika 2). Iz trigonometričnih relacij, ki veljajo v pravokotnem trikotniku, dobimo realni in imaginarni del števila <latex>z</latex>:

<latex>{x = {\mathrm {Re} } (z) = \left| z \right|{\mathrm{cos} }\alpha}</latex> in <latex>{y = {\mathrm {Im} } (z) = \left| z \right|\sin \alpha ,}</latex>

Iz njiju sledita tangens kota <latex>\alpha</latex>,

<latex>\tan \alpha = y/x</latex>

in kot <latex>\alpha</latex> oziroma ''argument'' <latex>\arg (z)</latex> števila <latex>z</latex>, ki ga določa sestavljena funkcija (funkcija »arctan« je namreč večlična),

<latex>\alpha = \arg (z) = \left\{ \begin{matrix}
\arctan (y/x),\,x > 0 \\
\pi + \arctan (y/x),\,x < 0 \\
\end{matrix} \right.</latex>

ponuja pa se tudi prilika, da zapišemo število <latex>z</latex> še v ''trigonometrični'' obliki:

<latex>{z = x + {\mathrm{i} }y = \left| z \right|\left( { {\mathrm{cos} }\alpha + {\mathrm{i} }\sin \alpha } \right){\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }z{\mathrm{*} } = x - {\mathrm{i} }y = \left| z \right|\left( { {\mathrm{cos} }\alpha - {\mathrm{i} }\sin \alpha } \right).}</latex>

Pozornost pritegneta značilna izraza v oklepajih, katerih absolutni vrednosti sta (neglede na kot <latex>\alpha</latex>) enaki ena:

<latex>{\left( { {\mathrm{cos} }\alpha \pm {\mathrm{i} }\sin \alpha } \right) = a( \pm \alpha ){\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| { {\mathrm{cos} }\alpha \pm {\mathrm{i} }\sin \alpha } \right| = \sqrt {\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha } = 1.}</latex>

Predstavljata konjugirani števili, <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex>, ki ležita na enotini krožnici polmera 1 (slika 3).

'''Zgled 1. '''

Dano je kompleksno število: <latex>z = 3 - {\rm{i}}4</latex> (slika 4). Določimo število <latex>z*</latex>, absolutno vrednost in argument! ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:

<latex>z = - 3 + {\mathrm{i4 } } \Rightarrow {\mathrm{ } }z{\mathrm{*} } = - 3 - {\mathrm{i4} }{\mathrm{,} }</latex>

<latex>\left| z \right| = {\mathrm {abs} } (z) = \sqrt {9 + 16} = 5,{\mathrm{ } }\alpha = \arg (z) = \pi - \arctan (4/3) \cong {\mathrm{2,21} }{\mathrm{ rad} } \cong {\mathrm{126,9} }^\circ .</latex>

Kompleksno število leži v drugem, njemu konjugirano pa v tretjem kvadrantu; od izhodišča sta »oddaljeni« za pet; ker je realni del števila ''z'' negativen, je potrebno pri argumentu vzeti drug izraz; radiane pretvarja v stopinje faktor <latex>180/\pi \cong 57,3</latex>.

{{Hierarchy footer}}

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:36, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]		[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]
-	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
	[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]		[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]
	[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]		[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:37, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_009.svg\|thumb\|Slika 9: Kompleksno število <latex>z</latex> je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.]]
-	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|thumb\|Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]	+	[[Slika:eele_slika_visji_010.svg\|thumb\|Slika 10: Kompleksno število <latex>z</latex> , njemu konjugirano število <latex>z*</latex>, absolutna vrednost <latex>{\mathrm{abs}(z)}</latex> in argument <latex>{\mathrm{arg}(z)}</latex> kompleksnega števila.]]
-	[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]	+	[[Image:eele_slika_visji_011.svg\|thumb\|Slika 11: Konjugirani števili <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex> ležita na enotini krožnici polmera 1.]]
-	[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]	+	[[Image:eele_slika_visji_012.svg\|thumb\|Slika 12: Konjugirani števili ležita v II. in III. kvadrantu; razlikujeta se le v imaginarnem delu, imata pa enaki absolutni vrednosti.]]
	Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba		Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila <latex>-k, k>0</latex>; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak <latex>-k</latex>. Z vpeljavo imaginarne enote <latex>\mathrm{i}</latex> na način, da velja zanjo enačba

Vrstica 27:		Vrstica 27:


-	Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je vpeljal ''kompleksno'', po njem imenovano ''Gaussovo ravnino''; opredeljujeta jo ''realna'' in ''imaginarna'' os. Ravnina omogoča predstavitev kompleksnega števila <latex>z=x+{\rm{i}}y</latex> s »točko«; koordinati te točke sta <latex>x</latex> in <latex>{\rm{i}}y</latex> (slika ~~41-1~~). Presečišče osi upodablja število ''nič'' (<latex>0 + {\rm{i}}0 = 0</latex>). Osi razdelita ravnino na I., II., III. in IV. ''kvadrant''; te štejemo od desnega zgornjega v levo okoli točke nič (v ''pozitivni matematični smeri'').	+	Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je vpeljal ''kompleksno'', po njem imenovano ''Gaussovo ravnino''; opredeljujeta jo ''realna'' in ''imaginarna'' os. Ravnina omogoča predstavitev kompleksnega števila <latex>z=x+{\rm{i}}y</latex> s »točko«; koordinati te točke sta <latex>x</latex> in <latex>{\rm{i}}y</latex> (slika 9). Presečišče osi upodablja število ''nič'' (<latex>0 + {\rm{i}}0 = 0</latex>). Osi razdelita ravnino na I., II., III. in IV. ''kvadrant''; te štejemo od desnega zgornjega v levo okoli točke nič (v ''pozitivni matematični smeri'').


Vrstica 57:		Vrstica 57:


-	Upodablja jo daljica med izhodiščem in točko <latex>z</latex>, ki s pozitivnim delom realne osi oklepa kot <latex>\alpha</latex>, z daljicama dolžine <latex>\|x\|</latex> in <latex>\|y\|</latex> pa oblikuje pravokoten trikotnik (slika 2). Iz trigonometričnih relacij, ki veljajo v pravokotnem trikotniku, dobimo realni in imaginarni del števila <latex>z</latex>:	+	Upodablja jo daljica med izhodiščem in točko <latex>z</latex>, ki s pozitivnim delom realne osi oklepa kot <latex>\alpha</latex>, z daljicama dolžine <latex>\|x\|</latex> in <latex>\|y\|</latex> pa oblikuje pravokoten trikotnik (slika 10). Iz trigonometričnih relacij, ki veljajo v pravokotnem trikotniku, dobimo realni in imaginarni del števila <latex>z</latex>:


Vrstica 90:		Vrstica 90:


-	Predstavljata konjugirani števili, <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex>, ki ležita na enotini krožnici polmera 1 (slika 3).	+	Predstavljata konjugirani števili, <latex>a(\alpha)</latex> in <latex>a(-\alpha)</latex>, ki ležita na enotini krožnici polmera 1 (slika 11).


	'''Zgled 1 '''		'''Zgled 1 '''

-	Dano je kompleksno število: <latex>z = 3 - {\rm{i}}4</latex> (slika 4). Določimo število <latex>z*</latex>, absolutno vrednost in argument. ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:	+	Dano je kompleksno število: <latex>z = 3 - {\rm{i}}4</latex> (slika 12). Določimo število <latex>z*</latex>, absolutno vrednost in argument. ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori: