Andrej: Nova stran z vsebino: Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takoleIz matematike vemo, da je \mathop {…

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:46:50 GMT

Nova stran z vsebino: Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {…

Nova stran

Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\, =\, 1.</latex></ref>:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega (t\, +\, \Delta t) \,+\, \alpha } \right) \,-\, \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)}{\Delta t}\, =\,</latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\cos \left( {\omega \Delta t} \right)\, +\, \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\sin \left( {\omega \Delta t} \right) \,- \,\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)}{\Delta t} \,=\, </latex>

<latex> -\, \omega \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{1 \,-\, \cos \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, +\, \omega \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t} \,=\, </latex>

<latex> - \,\frac{\omega }{2}\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)}{\omega \Delta t/2}\, +\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, =\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right).</latex>

Če bi podobno postopali tudi pri kosinusni funkciji, bi dobili:

<latex>g(t) \,=\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \omega \cos (\omega t\, +\, \alpha )</latex>

<latex>f(t)\, =\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}f^\prime (t)\, =\, - \omega \sin (\omega t\, +\, \beta ).</latex>

Iz odvodov razberemo pravili. Odvod sinusne je kosinusna funkcija in odvod kosinusne je negativna sinusna funkcija. Pri odvodih se konstanta ''ω'' prenese iz argumenta v multiplikator s funkcijo. Za harmonični funkciji lahko brž najdemo še nedoločena integrala:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\,+\, \alpha ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\sin (\omega t\, +\, \alpha )} {\rm{d}}t \,= \, - {\omega ^{ - 1}}\cos (\omega t \,+\, \alpha ) + {C_1}</latex>

<latex>f(t) \,=\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\cos (\omega t\, +\, \beta )} {\rm{d}}t \,= \,{\omega ^{ - 1}}\sin (\omega t\, +\, \beta )\, +\, {C_2}.</latex>

'''Zgled 3'''
Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči ''Q''. Trenutno moč ''p''(''t'') naj določa izraz ''Q''sin(2''ωt''), v katerem je ''ω'' krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku ''t''0 = 0 s naj bo element brez energije, ''W''(''t''0) = 0 J. Določimo energijo v elementu v kasnejšem času ''t''1. ⇒ Moč je odvod energije, zato veljajo zveze:

<latex>\frac{{\rm{d}}W(t)}{{\rm{d}}t}\, = \,p(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}W(t) \,=\, \int {p(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}W({t_1}) \,=\, W({t_0})\, +\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \, =\, {\rm{ }}</latex>

<latex>\int\limits_0^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \,=\, \int\limits_0^{t_1} {Q\sin (2\omega t){\rm{d}}t}\, =\, Q\left( { - \frac{\cos (2\omega t)}{2\omega }} \right)_0^{t_1} \,=\, \frac{Q}{2\omega }\left( {1 \,-\, \cos (2\omega {t_1})} \right).</latex>

Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je ''Q'' / ''ω''. Poprečna energija je polovica tega, torej ''Q'' / 2''ω''. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide stokrat toliko.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Harmonična funkcija. - Zgodovina strani

Andrej: Nova stran z vsebino: Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takoleIz matematike vemo, da je \mathop {…