Kazalec harmonične količine - Zgodovina strani

Admin ob 16:41, 12. julij 2010

Admin — Mon, 12 Jul 2010 16:41:57 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:41, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	[[Image:~~OET2 a poglavje 10 slika 06~~.svg\|thumb\|Z naraščajočim časom kazalec <latex>{\underline w}</latex> enakomerno kroži s kotno hitrostjo <latex>\omega</latex>; njegova projekcija na realno os ustreza trenutni vrednosti napetosti <latex>u</latex>.]]	+	[[Image:eele_slika_visji_014.svg\|thumb\|Slika 14: Z naraščajočim časom kazalec <latex>{\underline w}</latex> enakomerno kroži s kotno hitrostjo <latex>\omega</latex>; njegova projekcija na realno os ustreza trenutni vrednosti napetosti <latex>u</latex>.]]
-	[[Image:~~OET2 a poglavje 10 slika 07~~.svg\|thumb\|Kazalec <latex>{\underline U}</latex> je mirujoč kazalec; določata ga amplituda in fazni kot napetosti <latex>u</latex>; kazalec <latex>{\underline w}</latex> je enakomerno vrteč kazalec; kot med njima je enak <latex>\omega t</latex>.]]	+	[[Image:eele_slika_visji_014.svg\|thumb\|Slika 15: Kazalec <latex>{\underline U}</latex> je mirujoč kazalec; določata ga amplituda in fazni kot napetosti <latex>u</latex>; kazalec <latex>{\underline w}</latex> je enakomerno vrteč kazalec; kot med njima je enak <latex>\omega t</latex>.]]
	Harmonično napetost <latex>u</latex> (ali tok <latex>i</latex>) poznamo; h kosinusni funkciji <latex>u</latex> »priložimo« še sinusno funkcijo <latex>v</latex>:		Harmonično napetost <latex>u</latex> (ali tok <latex>i</latex>) poznamo; h kosinusni funkciji <latex>u</latex> »priložimo« še sinusno funkcijo <latex>v</latex>:

Vrstica 13:		Vrstica 13:


-	V Gausovi ravnini bi ji ustrezal kazalec, ki oklepa z realno osjo kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> (slika 6). Njegova absolutna vrednost je enaka amplitudi, argument pa je omenjen kot. In kaj se dogaja, ko čas »teče«, kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> pa narašča. Konica kazalca drsi po krožnici z radijem <latex>U_{\mathrm{m} }</latex>, iz česar sledi, da moremo harmonično napetost <latex>u</latex> predstaviti s projekcijo krožečega kazalca <latex>{\underline w}</latex> na realno ali (1) os. Iz adicijskih teoremov za sinusno in kosinusno funkcijo sledi:<ref><latex>\cos (p \pm q) = \cos p\cos q \mp \sin p\sin q{\mathrm{ in sin} }(p \pm q) = \sin p\cos q \pm \cos p\sin q</latex>.</ref>	+	V Gausovi ravnini bi ji ustrezal kazalec, ki oklepa z realno osjo kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> (slika 14). Njegova absolutna vrednost je enaka amplitudi, argument pa je omenjen kot. In kaj se dogaja, ko čas »teče«, kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> pa narašča. Konica kazalca drsi po krožnici z radijem <latex>U_{\mathrm{m} }</latex>, iz česar sledi, da moremo harmonično napetost <latex>u</latex> predstaviti s projekcijo krožečega kazalca <latex>{\underline w}</latex> na realno ali (1) os. Iz adicijskih teoremov za sinusno in kosinusno funkcijo sledi:<ref><latex>\cos (p \pm q) = \cos p\cos q \mp \sin p\sin q{\mathrm{ in sin} }(p \pm q) = \sin p\cos q \pm \cos p\sin q</latex>.</ref>


Vrstica 37:		Vrstica 37:


-	Kazalec <latex>{\underline U}</latex> ima absolutno vrednost enako amplitudi <latex>U_{\mathrm{m}}</latex>, argument pa faznemu kotu <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex> napetosti <latex>u</latex>; kazalec združuje oba vitalna podatka: amplitudo in fazni kot harmonične napetosti <latex>u</latex> (slika 7). Harmonična napetost <latex>u</latex> je sedaj:	+	Kazalec <latex>{\underline U}</latex> ima absolutno vrednost enako amplitudi <latex>U_{\mathrm{m}}</latex>, argument pa faznemu kotu <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex> napetosti <latex>u</latex>; kazalec združuje oba vitalna podatka: amplitudo in fazni kot harmonične napetosti <latex>u</latex> (slika 15). Harmonična napetost <latex>u</latex> je sedaj:

Admin ob 16:40, 12. julij 2010

Admin — Mon, 12 Jul 2010 16:40:11 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 16:40, 12. julij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	~~[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 05.svg\|thumb\|Kazalec <latex>{\underline K}</latex>, njegova realni in imaginarni del ter njemu konjugiran kazalec <latex>{\underline K}*</latex>.]]~~
	[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 06.svg\|thumb\|Z naraščajočim časom kazalec <latex>{\underline w}</latex> enakomerno kroži s kotno hitrostjo <latex>\omega</latex>; njegova projekcija na realno os ustreza trenutni vrednosti napetosti <latex>u</latex>.]]		[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 06.svg\|thumb\|Z naraščajočim časom kazalec <latex>{\underline w}</latex> enakomerno kroži s kotno hitrostjo <latex>\omega</latex>; njegova projekcija na realno os ustreza trenutni vrednosti napetosti <latex>u</latex>.]]
	[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 07.svg\|thumb\|Kazalec <latex>{\underline U}</latex> je mirujoč kazalec; določata ga amplituda in fazni kot napetosti <latex>u</latex>; kazalec <latex>{\underline w}</latex> je enakomerno vrteč kazalec; kot med njima je enak <latex>\omega t</latex>.]]		[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 07.svg\|thumb\|Kazalec <latex>{\underline U}</latex> je mirujoč kazalec; določata ga amplituda in fazni kot napetosti <latex>u</latex>; kazalec <latex>{\underline w}</latex> je enakomerno vrteč kazalec; kot med njima je enak <latex>\omega t</latex>.]]

Andrej ob 12:23, 20. maj 2010

Andrej — Thu, 20 May 2010 12:23:37 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 12:23, 20. maj 2010
Vrstica 32:		Vrstica 32:


-	»Uspelo« nam je oddvojiti harmonično časovno odvisnost od amplitude <latex>U_{\mathrm{m}}</latex> in faznega kota <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex>. Tu je ~~prilika~~, da definiramo ''kazalec napetosti'' <latex>{\underline U}</latex>, in sicer na tale način:	+	»Uspelo« nam je oddvojiti harmonično časovno odvisnost od amplitude <latex>U_{\mathrm{m}}</latex> in faznega kota <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex>. Tu je priložnost, da definiramo ''kazalec napetosti'' <latex>{\underline U}</latex>, in sicer na tale način:


Vrstica 44:		Vrstica 44:


-	Kar je v izpeljavi najbolj ~~važno~~, napišimo še enkrat:	+	Kar je v izpeljavi najbolj pomembno, napišimo še enkrat:


Vrstica 56:		Vrstica 56:


-	'''Zgled 2. '''	+	'''Zgled 2 '''

-	Napetost <latex>u = 150\cos (300\,{{\rm{s}}^{{\rm{ - 1}}}} + 37^\circ )\,{\rm{V}}</latex>. Določimo kazalec napetosti!	+	Napetost <latex>u = 150\cos \,(300\,{{\rm{s}}^{{\rm{ - 1}}}} + 37^\circ )\,{\rm{V}}</latex>. Določimo kazalec napetosti!

	⇒ Dobimo sledeče:		⇒ Dobimo sledeče:
Vrstica 66:		Vrstica 66:


-	'''Zgled 3. '''	+	'''Zgled 3 '''

-	Kazalec <latex>\underline I = ( - 1\,\, - {\rm{j}})\,{\rm{A}}</latex> pripada harmoničnemu toku frekvence 100 Hz. Poiščimo <latex>i</latex>! ⇒ Po izrazih sledijo:	+	Kazalec <latex>\underline I = ( - 1\,\, - {\rm{j}})\,{\rm{A}}</latex> pripada harmoničnemu toku frekvence 100 Hz. Poiščimo <latex>i</latex>. ⇒ Po izrazih sledijo:

Admin: 1 revision

Admin — Fri, 14 May 2010 16:09:25 GMT

1 revision

← Starejša redakcija

Redakcija: 16:09, 14. maj 2010

Admin ob 16:59, 5. april 2010

Admin — Mon, 05 Apr 2010 16:59:43 GMT

Nova stran

[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 05.svg|thumb|Kazalec <latex>{\underline K}</latex>, njegova realni in imaginarni del ter njemu konjugiran kazalec <latex>{\underline K}*</latex>.]]
[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 06.svg|thumb|Z naraščajočim časom kazalec <latex>{\underline w}</latex> enakomerno kroži s kotno hitrostjo <latex>\omega</latex>; njegova projekcija na realno os ustreza trenutni vrednosti napetosti <latex>u</latex>.]]
[[Image:OET2 a poglavje 10 slika 07.svg|thumb|Kazalec <latex>{\underline U}</latex> je mirujoč kazalec; določata ga amplituda in fazni kot napetosti <latex>u</latex>; kazalec <latex>{\underline w}</latex> je enakomerno vrteč kazalec; kot med njima je enak <latex>\omega t</latex>.]]
Harmonično napetost <latex>u</latex> (ali tok <latex>i</latex>) poznamo; h kosinusni funkciji <latex>u</latex> »priložimo« še sinusno funkcijo <latex>v</latex>:

<latex>u = u(t) = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t + {\alpha _u})</latex> in <latex>v = v(t) = {U_{\rm{m}}}\sin (\omega t + {\alpha _u})</latex>.

Funkcija <latex>u</latex> je električna napetost, <latex>v</latex> pa je le njej pridružena funkcija. Tvorimo kompleksno funkcijo <latex>{\underline w}</latex> na tale način:

<latex>\underline w (t) = \underline w = u + {\mathrm{j} }v = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos (\omega t + \alpha _u ) + {\mathrm{j} }\sin (\omega t + \alpha _u )} \right){\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }u = {\mathrm {Re} } (\underline w ).</latex>

V Gausovi ravnini bi ji ustrezal kazalec, ki oklepa z realno osjo kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> (slika 6). Njegova absolutna vrednost je enaka amplitudi, argument pa je omenjen kot. In kaj se dogaja, ko čas »teče«, kot <latex>\omega t + \alpha _u</latex> pa narašča. Konica kazalca drsi po krožnici z radijem <latex>U_{\mathrm{m} }</latex>, iz česar sledi, da moremo harmonično napetost <latex>u</latex> predstaviti s projekcijo krožečega kazalca <latex>{\underline w}</latex> na realno ali (1) os. Iz adicijskih teoremov za sinusno in kosinusno funkcijo sledi:<ref><latex>\cos (p \pm q) = \cos p\cos q \mp \sin p\sin q{\mathrm{ in sin} }(p \pm q) = \sin p\cos q \pm \cos p\sin q</latex>.</ref>

<latex>\underline w = u + {\mathrm{j} }v = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \omega t\cos \alpha _u - \sin \omega t\sin \alpha _u + {\mathrm{j(} }\sin \omega t\cos \alpha _u + \cos \omega t\sin \alpha _u )} \right),</latex>

po ureditvi pa še:

<latex>\underline w = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \alpha _u \left( {\cos \omega t + {\mathrm{j} }\sin \omega t} \right) + ({\mathrm{j} })^2 \sin \omega t\sin \alpha _u + {\mathrm{j} }\cos \omega t\sin \alpha _u )} \right) = </latex>

<latex>U_{\mathrm{m} } \cos \alpha _u \left( {\cos \omega t + {\mathrm{j} }\sin \omega t} \right) + {\mathrm{j} }U_{\mathrm{m} } \sin \alpha _u \left( {\cos \omega t + {\mathrm{j} }\sin \omega t} \right) = </latex>

<latex>U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \alpha _u + {\mathrm{j} }\sin \alpha _u } \right)\left( {\cos \omega t + {\mathrm{j} }\sin \omega t} \right).</latex>

»Uspelo« nam je oddvojiti harmonično časovno odvisnost od amplitude <latex>U_{\mathrm{m}}</latex> in faznega kota <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex>. Tu je prilika, da definiramo ''kazalec napetosti'' <latex>{\underline U}</latex>, in sicer na tale način:

<latex>{\underline U = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline U ) + {\rm{jIm(}}\underline U {\rm{)}} = \left| {\underline U } \right|\left( {\cos {\alpha _u} + {\rm{j}}\sin {\alpha _u}} \right) = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos {\alpha _u} + {\rm{j}}\sin {\alpha _u}} \right)}</latex>.

Kazalec <latex>{\underline U}</latex> ima absolutno vrednost enako amplitudi <latex>U_{\mathrm{m}}</latex>, argument pa faznemu kotu <latex>\alpha_{\mathrm{u}}</latex> napetosti <latex>u</latex>; kazalec združuje oba vitalna podatka: amplitudo in fazni kot harmonične napetosti <latex>u</latex> (slika 7). Harmonična napetost <latex>u</latex> je sedaj:

<latex>u = u(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline w ) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\underline U \left( {\cos \omega t + {\rm{j}}\sin \omega t} \right)} \right)</latex>.

Kar je v izpeljavi najbolj važno, napišimo še enkrat:

<latex>{u = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t + {\alpha _u}) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\underline U \left( {\cos \omega t + {\rm{j}}\sin \omega t} \right)} \right){\rm{ in }}\underline U = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos {\alpha _u} + {\rm{j}}\sin {\alpha _u}} \right)}</latex>.

Iz harmonične napetosti <latex>u</latex> sledi zapis kazalca napetosti <latex>{\underline U}</latex> in obratno. Vse kar smo povedali, velja tudi za harmonični tok <latex>i</latex> in njegov kazalec <latex>{\underline I}</latex>:

<latex>{i = {I_{\rm{m}}}\cos (\omega t + {\alpha _i}) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\underline I \left( {\cos \omega t + {\rm{j}}\sin \omega t} \right)} \right){\rm{ in }}\underline I = {I_{\rm{m}}}\left( {\cos {\alpha _i} + {\rm{j}}\sin {\alpha _i}} \right)}</latex>.

'''Zgled 2. '''

Napetost <latex>u = 150\cos (300\,{{\rm{s}}^{{\rm{ - 1}}}} + 37^\circ )\,{\rm{V}}</latex>. Določimo kazalec napetosti!

⇒ Dobimo sledeče:

<latex>\underline U = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \alpha _u + {\mathrm{j} }\sin \alpha _u } \right) = 150\left( {\cos 37^\circ + {\mathrm{j} }\sin 37^\circ } \right){\mathrm{ V} } \cong \left( { {\mathrm{119,8} } + {\mathrm{j90,3} } } \right){\mathrm{ V} }.</latex>

'''Zgled 3. '''

Kazalec <latex>\underline I = ( - 1\,\, - {\rm{j}})\,{\rm{A}}</latex> pripada harmoničnemu toku frekvence 100 Hz. Poiščimo <latex>i</latex>! ⇒ Po izrazih sledijo:

<latex>{I_{\rm{m}}} = {\mathop{\rm abs}\nolimits} (\underline I ) = \left| {\underline I } \right| = \sqrt {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline I )} \right)}^2} + {{\left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\underline I )} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - {\rm{1}}} \right)}^2} + {{\left( { - {\rm{1}}} \right)}^2}} {\rm{ A}} = \sqrt 2 {\rm{ A}} \cong 1,414{\rm{ A}}{\rm{,}}</latex>

<latex>\alpha _i = \arg (\underline I ) = \pi + \arctan \left( { {\mathrm {Im} } (\underline K )/ {\mathrm {Re} } (\underline K )} \right) = \pi + \arctan ( - {\mathrm{1 /} } - {\mathrm{1} }) = 5\pi /4 = 225^\circ ,</latex>

<latex>i = I_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _i ) = \sqrt 2 \cos (200\pi {\mathrm{ s} }^{ - 1} t + 225^\circ ){\mathrm{ A} } \cong </latex>

<latex>{\mathrm{1,414} } \cdot \cos (628{\mathrm{ rad} } \cdot {\mathrm{s} }^{ - 1} t + {\mathrm{3,93 rad} }){\mathrm{ A} }{\mathrm{.} }</latex>

Glede na to, da grafično upodobitev kazalca opredeljujeta absolutna vrednost in kot, uporabljamo zanj tudi ''polarni'' zapis:

<latex>{\underline U = U_{\mathrm{m} } \left( {\cos \alpha _u + {\mathrm{j} }\sin \alpha _u } \right){\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| {\underline U } \right| \left| \!{\underline {\, {\alpha _u } \,} } \right. \equiv {\mathrm{ } }U_{\mathrm{m} } \left| \!{\underline {\, {\alpha _u } \,} } \right. .}</latex>

<references />

{{Hierarchy footer}}