Polnjenje kondenzatorja - Zgodovina strani

Admin ob 13:58, 15. avgust 2010

Admin — Sun, 15 Aug 2010 13:58:30 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 13:58, 15. avgust 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
	[[Slika:eele_slika_visji_095.svg‎\|thumb\|Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.]]		[[Slika:eele_slika_visji_095.svg‎\|thumb\|Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.]]
	[[Slika:eele_slika_visji_096.svg‎\|thumb\|Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.]]		[[Slika:eele_slika_visji_096.svg‎\|thumb\|Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.]]
-	Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.	+	Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 95). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.


Vrstica 49:		Vrstica 49:


-	Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):	+	Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 96):

Admin ob 13:56, 15. avgust 2010

Admin — Sun, 15 Aug 2010 13:56:30 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 13:56, 15. avgust 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
		+	[[Slika:eele_slika_visji_095.svg‎\|thumb\|Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.]]
		+	[[Slika:eele_slika_visji_096.svg‎\|thumb\|Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.]]
	Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.		Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.

Admin ob 19:44, 12. julij 2010

Admin — Mon, 12 Jul 2010 19:44:33 GMT

← Starejša redakcija		Redakcija: 19:44, 12. julij 2010
Vrstica 47:		Vrstica 47:


-	Iz	+	Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):
-	toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):	+

	<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>		<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>

Admin ob 19:44, 12. julij 2010

Admin — Mon, 12 Jul 2010 19:44:09 GMT

Andrej ob 09:44, 8. junij 2010

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:44:59 GMT

Admin: 1 revision

Admin — Fri, 14 May 2010 16:09:37 GMT

1 revision

← Starejša redakcija

Redakcija: 16:09, 14. maj 2010

Admin: 1 revision

Admin — Sun, 28 Mar 2010 20:56:32 GMT

1 revision

Nova stran

Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''0 = 0 s, prazen, da je ''uC''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se ta delno naelektri in doseže napetost ''uC'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''uC'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok scela presahne, je kondenzator dokončno naelektren.

Povedano prelevimo v enačbe! Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' > ''t''0 in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:

<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\, ter \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>

Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti ''U'' enosmernega vira je enak nič, odvod toka je d''i'' / d''t'' in odvod napetosti kondenzatorja je d''uC'' / d''t''):

<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi; označimo ga s ''τ'' in nadaljujmo:

<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:

<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\, - 1/\tau .</latex>

Eksponent funkcije je določen; manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,

<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\, +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>

ki določa tudi iskano konstanto:

<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>

Rešitev je tu; tok določa usihajoča časovna funkcija:

<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>

Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''1 = ''τ'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e-1 &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''2 = 2''τ'' še (''U'' / ''R'') e-2 = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''3 = 3''τ'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''4 = 4''τ'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''5 = 5''τ'' le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''τ'' določa torej dinamiko usihanja toka; imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''1 seka abscisno os v točki ''t''1 + ''τ''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.

Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):

<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>

Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 %, ... in v času 5''τ'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:

<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>

V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo ''Ri''2:

<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{t}}}(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, {p_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\, = \,{W_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{t}}}({t_1}) \,- \,{W_{\rm{t}}}({t_0}) \,= \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\, = </latex>

<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>

Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''1. Ko bo ''t''1 nekajkratnik ''τ'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''2 / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (neglede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.

'''Zgled 1.'''
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav! ⇒ Časovna konstanta ''τ'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je

<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>

V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija

<latex>{u_C}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, 500{\rm{ V}}\, \cdot\, \left( {1\, -\,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}} \right).</latex>

V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.

<references />

{{Hierarchy footer}}

← Starejša redakcija		Redakcija: 09:44, 8. junij 2010
Vrstica 1:		Vrstica 1:
-	Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok ~~scela~~ presahne, je kondenzator dokončno naelektren.	+	Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.

-	Povedano prelevimo v enačbe! Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' > ''t''<sub>0</sub> in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:	+	Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' > ''t''<sub>0</sub> in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:

	<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\, ter \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>		<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\, ter \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>
Vrstica 9:		Vrstica 9:
	<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>		<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

-	Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi; označimo ga s ''τ'' in nadaljujmo:	+	Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s ''τ'' in nadaljujmo:

	<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>		<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>
Vrstica 17:		Vrstica 17:
	<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\, - 1/\tau .</latex>		<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\, - 1/\tau .</latex>

-	Eksponent funkcije je določen; manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,	+	Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,

	<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\, +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>		<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\, +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>
Vrstica 25:		Vrstica 25:
	<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>		<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>

-	Rešitev je tu~~; tok~~ določa usihajoča časovna funkcija:	+	Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:

	<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>		<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>

-	Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''<sub>1</sub> = ''τ'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e<sup>-1</sup> &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''<sub>2</sub> = 2''τ'' še (''U'' / ''R'') e<sup>-2</sup> = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''<sub>3</sub> = 3''τ'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''<sub>4</sub> = 4''τ'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''<sub>5</sub> = 5''τ'' le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''τ'' določa torej dinamiko usihanja toka; imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''<sub>1</sub> seka abscisno os v točki ''t''<sub>1</sub> + ''τ''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.	+	Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''<sub>1</sub> = ''τ'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e<sup>-1</sup> &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''<sub>2</sub> = 2''τ'' še (''U'' / ''R'') e<sup>-2</sup> = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''<sub>3</sub> = 3''τ'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''<sub>4</sub> = 4''τ'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''<sub>5</sub> = 5''τ'' le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''τ'' določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''<sub>1</sub> seka abscisno os v točki ''t''<sub>1</sub> + ''τ''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.

	Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):		Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):
Vrstica 35:		Vrstica 35:
	<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>		<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>

-	Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 %, ... in v času 5''τ'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:	+	Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5''τ'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:

	<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>		<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>
Vrstica 45:		Vrstica 45:
	<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>		<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>

-	Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''<sub>1</sub>. Ko bo ''t''<sub>1</sub> nekajkratnik ''τ'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''<sup>2</sup> / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (~~neglede~~ na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.	+	Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''<sub>1</sub>. Ko bo ''t''<sub>1</sub> nekajkratnik ''τ'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''<sup>2</sup> / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.

-	'''Zgled 1.'''	+
-	Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav! ⇒ Časovna konstanta ''τ'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je	+	'''Zgled 1'''
		+	Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav. ⇒ Časovna konstanta ''τ'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je

	<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>		<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>
Vrstica 57:		Vrstica 58:

	V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.		V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.
-
-
-
-
-
-