e-ELEKTROTEHNIKA plus - Uporabnikovi prispevki [sl]

Tuljava v enosmernem in izmeničnem krogu

2010-05-12T15:59:52Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 3.1.4:'''

Tuljavo s čim večjo induktivnostjo in čim manjšo ohmsko upornostjo navitja priključimo najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.7 a) in potem na izmenično napetost z efektivno vrednostjo 12 V (sl. 3.1.7 b). V obeh primerih izmerimo tok.
[[Image:eele_slika_3_1_7.svg|thumb|right|Slika 3.1.7: Tuljava v enosmernem in izmeničnem krogu]]
*Efektivni izmenični tok je veliko manjši od enosmernega</poskus>

<pomembno>
*Tuljava '''dobro''' prevaja '''enosmerni''' tok.
*Tuljava praviloma prevaja '''izmenični''' tok veliko '''slabše''' kot enosmerni tok. </pomembno>

Ker je vzrok za manjši tok pri enaki napetosti lahko le '''večja upornost''' in ker je '''ohmska''' upornost navitja v obeh primerih '''enaka''', lahko sklepamo:

<pomembno>
*Tuljava se upira izmeničnemu toku poleg z ohmsko upornostjo navitja še z neko '''dodatno''' upornostjo.</pomembno>

Če v idealizirani tuljavi relativno majhno ohmsko upornost navitja, ki jo lahko izmerimo z Ω-metrom, zanemarimo, ostane le omenjena »dodatna« upornost, ki pa je prisotna le v primeru '''toka''' v ovojih tuljave. Vzrok te upornosti je torej povsem drugačen od vzroka ohmske upornosti (lastnosti snovi), zato je ne moremo izmeriti z Ω-metrom.

Do podobne ugotovitve kot v poskusu 3.1.6 smo prišli že pri spoznavanju '''napetosti lastne indukcije'''<ref>OE1, str. 236</ref> v tuljavi, ki '''nasprotuje''' napetosti izvora in '''ovira''' tok, ki jo povzroča.

<pomembno>
*Vzrok upornosti tuljave v izmeničnem krogu je '''napetost lastne indukcije''' v ovojih tuljave.
*Upornost tuljave, ki jo v izmeničnem krogu povzroča napetost lastne indukcije, imenujemo '''induktivna upornost'''<ref>Tuljava se v izmeničnem krogu vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek'''. Zato upornosti tuljave v izmeničnem krogu pravimo tudi '''reaktanca'''.</ref> ('''''XL''''').</pomembno>

Pri zanemarljivi ohmski upornosti navitja, znani sinusni napetosti na tuljavi in toku skozi tuljavo lahko induktivno upornost izračunamo z razmerjem '''maksimalnih''' ali, iz praktičnih razlogov, tudi '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex>X_L\,=\,\frac{U_{{\rm{m}}L}}{I_{{\rm{m}}L}}\,=\,\frac{U_L}{I_L}|||(Ω) ''UL'' (V); ''IL'' (A) </latex>

<primer>
'''Primer:'''

Tok skozi tuljavo z zanemarljivo ohmsko upornostjo navitja, ki je priključena na sinusno izmenično napetost 230 V, je 5 A. Kolikšna je induktivna upornost tuljave?|||
<latex>X_L\,=\,\frac{U_L}{I_L}\,=\,\frac{230}{5}\,=\,46 \, \Omega</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Energija in moč v ohmskem izmeničnem krogu

2010-05-12T15:55:32Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 3.1.3:'''

Poskus 2.1.1 ponovimo namesto z uporoma z enakima žarnicama, npr. 12 V/0,1 A.

*Žarnici svetita enako, v obeh je enak efektivni tok.</poskus>

Poskus bi lahko ponovili z električnima grelnikoma in rezultat bi bil podoben.

<pomembno>
*Upornost, ki povzroča '''enak učinek enosmernega''' in '''izmeničnega''' toka, imenujemo '''delovna''' upornost. </pomembno>

Delovna upornost je v širšem smislu vsaka upornost, '''dejanska''' ali le '''navidezna''', ki povzroča ali omogoča '''trajno pretvorbo''' električne energije v energije '''drugih oblik'''. Dejanske ohmske upornosti (grelniki, žarnice, upori, vodniki …) lahko neposredno izmerimo z Ω-metrom, navidezne pa praviloma določimo posredno, računsko, na osnovi merjenja drugih količin in le pri '''delovanju''' naprav. Tak primer imamo kot del energije pri pretvorbi električne energije v '''mehansko''' (elektromotor), v '''zvočno''' (zvočniki), v energijo '''elektromagnetnega valovanja''' (oddajniki) in podobno.

<pomembno>
*Električna energija v '''delovni''' obliki '''zapusti''' električni krog. Imenujemo jo '''delovna''' energija.
*Električni tok v izmeničnem krogu s čisto '''delovno''' upornostjo imenujemo '''delovni''' tok.
*Delovni izmenični tok je tok, ki je v '''fazi''' z napetostjo (''φ'' = 0°).</pomembno>

O moči sinusnega izmeničnega toka smo sicer nekaj že izvedeli<ref>OE2, str. 7-8</ref>, zato bomo za izmenični krog s čisto delovno upornostjo že znano le dopolnili. Z upoštevanjem časovnih potekov napetosti in toka v ohmskem izmeničnem krogu (slika 3.1.4) in dejstva, da je trenutna moč določena s produktom trenutne napetosti in trenutnega toka

<latex>p\,=\, u\, \cdot \,i,</latex>

dobimo še časovni potek moči v ohmskem izmeničnem krogu (slika 3.1.5)

[[Image:eele_slika_3_1_5.svg|thumb|right|Slika 3.1.5: Časovni potek moči v ohmskem izmeničnem krogu ]]
<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima pri ohmski upornosti '''sinusno obliko''' z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>p \, = \,u\,\cdot\,i\,=\,U_{\rm{m}}\,\cdot\,{\rm{sin\,}}⁡(\omega t)\,\cdot\,I_{\rm{m}}\,\cdot\,{\rm{sin\,}}⁡(\omega t)\,=\,U_{\rm{m}}\,\cdot\,I_{\rm{m}}\,\cdot\,{\rm{sin}}^2 \,(\omega t)\,=\,P_{\rm{m}}\,\cdot\,{\rm{sin}}^2 \,(\omega t)\,=\,P_{\rm{m}}\,\cdot\frac{1}{2}\, (1\,-\,{\rm{cos}}\,⁡(2 \omega t) ) \,=\,P\,-\,P\,\cdot {\rm{cos}}\,⁡(2 \omega t)</latex></ref> toka oziroma napetosti.</pomembno>

Površina pod krivuljo moči delovnega toka je v celoti pozitivna, kar pomeni, da energija teče samo '''iz generatorja v porabnik''', kjer se '''trajno''' pretvarja v energije drugih oblik in '''sprošča''' iz električnega kroga.

<pomembno>
*Moč delovnega toka imenujemo delovna moč ('''''P'''''), merimo jo v '''vatih''' ('''W''').
*V primeru faznega kota '''''φ'' = 0°''' je v izmeničnem krogu prisotna '''delovna''' moč.
*Efektivna delovna moč je določena s produktom efektivne napetosti in efektivnega delovnega toka.</pomembno>

<latex>P\,=\, U\, \cdot \,I|||(W) ''U'' (V); ''I'' (A); ''R'' (Ω)</latex>

velja pa tudi

<latex>P\,=\, I^2\, \cdot \,R \,=\,\frac{U^2}{R}|||(W)</latex>

Na osnovi odvisnosti efektivne in maksimalne vrednosti sinusne napetosti in toka ter slike 3.1.8 lahko določimo tudi '''maksimalno delovno''' moč:

<latex>P_{\rm{m}}\,=\, U_{\rm{m}}\, \cdot \,I_{\rm{m}} \,=\,\sqrt{2}\cdot \,U\,\cdot \,\sqrt{2}\, \cdot \,I \, = \, 2UI \, = \, 2P |||(W)</latex>

ali

<latex>P \, = \, \frac{P_{\rm{m}}}{2}</latex>

Opozoriti pa moramo, da dobljena enačba za delovno moč velja le za '''sinusno''' obliko '''delovnega''' toka.

<primer>
'''Primer:'''

Upor z upornostjo 40 Ω priključimo zapovrstjo na izmenično napetost '''sinusne''' in '''trikotne''' oblike. Izračunaj efektivne delovne moči, če je maksimalna napetost v obeh primerih 10 V. Uporabi vrednosti iz preglednice 1.2.|||
1. Sinusna oblika:
<latex>P \, = \, \frac{U^2}{R}\, = \, \frac{\frac{U_{\rm{m}}}{\sqrt{2}}^2}{R}\, = \, \frac{\frac{10}{\sqrt{2}}^2}{40}\,=\, {\rm{1,25\,W}}</latex>

2. Trikotna oblika:
<latex>P \, = \, \frac{U^2}{R}\, = \, \frac{\frac{U_{\rm{m}}}{\sqrt{3}}^2}{R}\, = \, \frac{\frac{10}{\sqrt{3}}^2}{40}\,=\, {\rm{0,83\,W}}</latex>

*Delovna moč je odvisna tudi od '''oblike''' časovnega poteka izmenične napetosti oziroma toka.
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Časovni potek napetosti in toka

2010-05-12T15:54:02Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 3.1.2:'''

Na izvor sinusne izmenične napetosti npr. 6 V /50 Hz priključimo zaporedno vezavo plastnih uporov 1000 Ω in 2000 Ω (slika 3.1.3). Na dvokanalnem osciloskopu primerjajmo časovna poteka napetosti izvora in padca napetosti na ''R''2 .
[[Image:eele_slika_3_1_3.svg|thumb|right|Slika 3.1.3: Primerjava časovnih potekov napetosti v ohmskem izmeničnem krogu]]

*Obliki časovnih potekov napetosti izvora in padca napetosti na uporu sta sinusni – enaki.
*Padec napetosti na uporu je v fazi z napetostjo izvora. </poskus>

Prek padca napetosti na ohmski upornosti '''posredno''' opazujemo tudi časovni potek toka. Iz do sedaj spoznanih dejstev o električnem toku namreč vemo, da je tok skozi konstantno ohmsko upornost premo sorazmeren z napetostjo:

<latex>i\,=\, \frac {u}{R}</latex>

Prepričali se bomo, da plastne upore, kot sta upora v poskusu 3.1.2, lahko pri nizki frekvenci obravnavamo kot upora s praktično čisto ohmsko upornostjo (idealna upora). Zato lahko sklepamo:

<pomembno>
*Sinusna izmenična napetost požene v električnem krogu s čisto '''ohmsko upornostjo''' sinusni izmenični tok, ki je v '''fazi''' z napetostjo.</pomembno>

Velja tudi obratno:

<pomembno>Sinusni izmenični tok povzroči na '''ohmski upornosti''' sinusni padec napetosti, ki je v '''fazi''' s tokom.</pomembno>

Obe ugotovitvi nazorno prikazuje slika 3.1.4.
[[Image:eele_slika_3_1_4.svg|thumb|right|Slika 3.1.4: Časovni potek napetosti in toka v izmeničnem krogu s čisto ohmsko upornostjo]]

O ugotovitvi se lahko prepričamo tudi po matematični poti. V Ohmov zakon za trenutno vrednost toka

<latex>i\,=\, \frac {u}{R}</latex>

vstavimo izraz za trenutno vrednost sinusne napetost ''u'' = ''U''m ∙ sin (''ωt''):

<latex>i\,=\, \frac {U_{\rm{m}}\, \cdot\,{\rm{sin}}\,(\omega t) }{R}\, = \,\frac {U_{\rm{m}}}{R}\, \cdot\,{\rm{sin}}\,(\omega t) </latex>

<latex>i\, = \,I_{\rm{m}}\, \cdot\,{\rm{sin}}\,(\omega t) </latex>

Primerjava izrazov trenutnih vrednosti sinusne napetosti in toka potrjuje identičnost in sočasnost časovnih potekov obeh količin v ohmskem izmeničnem krogu.

{{Hierarchy footer}}

Ohmski upor v enosmernem in izmeničnem krogu

2010-05-12T15:53:05Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 3.1.1:'''

Upora z upornostjo npr. 120 Ω priključimo prek A-metrov na enosmerno in izmenično napetost 12 V/50 Hz (sl. 3.1.2). Primerjajmo efektivni tok izmeničnega kroga s tokom enosmernega kroga.
[[Image:eele_slika_3_1_2.svg|thumb|right|Slika 3.1.2: Ohmski upor v enosmernem in izmeničnem krogu]]
*Efektivni tok v izmeničnem krogu je enak toku v enosmernem krogu.</poskus>

<pomembno>
*Porabnik s čisto '''ohmsko''' upornostjo '''enako''' prevaja '''enosmerni''' in '''izmenični''' tok.</pomembno>

{{Hierarchy footer}}

Enostavni, idealizirani izmenični krog

2010-05-12T15:48:58Z

Latac:

<pomembno>
*Enostavni izmenični krog je električni krog z '''izvorom sinusne izmenične napetosti''' in čistim '''ohmskim''', '''induktivnim''' ali '''kapacitivnim''' porabnikom (slika 3.1.1).</pomembno>

[[Image:eele_slika_3_1_1.svg|thumb|right|Slika 3.1.1: Enostavni izmenični krog]]
Tako idealno preprostih izmeničnih električnih krogov v praksi pravzaprav '''ni'''. Upori, še posebej žični, imajo poleg ohmske upornosti uporovne žice tudi določeno induktivnost, tuljave poleg induktivnosti določeno ohmsko upornost navitja ter kondenzatorji poleg kapacitivnosti še določeno prevodnost dielektrika.

Navedene "dodatne" lastnosti (neidealnosti) realnih elementov izmeničnih krogov povzročajo v krogih neželene učinke in otežujejo dosledno obravnavo, '''zanemarimo''' pa jih lahko le pri določenih '''pogojih'''.

Ker bodo sestavni del obravnave izmeničnih krogov tudi poskusi, bomo tudi enostavne izmenične kroge morali obravnavati z '''realnimi''' elementi. Povsod, kjer bo potrebno, bomo opozorili na vpliv njihove neidealnosti, samo neidealnost elementov pa bomo obravnavali posebej.

Pri risanju časovnih in kazalčnih diagramov bomo zaradi boljše nazornosti in lažje primerjave časovnih potekov količin za količino, ki jo bomo najprej risali, izbrali položaj na '''pozitivni vodoravni osi'''.

{{Hierarchy footer}}

Časovni potek napetosti in toka.

2010-05-12T15:48:21Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 3.1.5:'''

Tuljavo iz poskusa 3.1.4 priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 2 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/2 kHz (slika 3.1.8). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na tuljavi in toka, ki teče skozi tuljavo (padca napetosti na uporu). Zaradi načina priključitve osciloskopa na tuljavo in upor opazujmo časovni potek toka na invertirajočem<ref>invertiran, lat. = obrnjen</ref> vhodu osciloskopa, osciloskop pa priključimo na omrežje prek ločilnega transformatorja.

*Obliki časovnih potekov napetosti in toka sta enaki (sinusni). Tok '''zaostaja''' za napetostjo praktično za 90 º.</poskus>

Tuljavi brez ohmske upornosti se pri majhnih induktivnostih sicer lahko približamo (malo ovojev debele žice), na splošno pa ohmske upornosti tuljav '''niso zanemarljive'''. V nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov bomo, če ne bo drugače zahtevano, poenostavljeno računali z '''idealizirano''' tuljavo. V takih primerih imamo v izmeničnem krogu samo '''induktivno upornost''' oziroma '''reaktanco''' (slika 3.1.9 a).
[[Image:eele_slika_3_1_9.svg|thumb|right|Slika 3.1.9: Kazalčni in časovni diagram izmeničnega kroga z idealizirano tuljavo]]

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z idealizirano tuljavo '''tok zaostaja''' za '''napetostjo''' za ¼ periode.
*'''Fazni kot''' med tokom in napetostjo v '''induktivnem''' izmeničnem krogu je '''90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, = \, 90^{\,\circ}</latex>

Fazni kot ''φ'' merimo in označujemo po dogovoru od kazalca '''toka''' proti kazalcu '''napetosti'''. Fazni kot je '''pozitiven''', če '''tok zaostaja''' za '''napetostjo'''.

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroča induktivna upornost, lahko pojasnimo z '''napetostjo lastne indukcije'''<ref>OE1, str. 244</ref> ''ui'' = -''L''∙(∆''i''⁄∆''t''). Navedena enačba velja za generirano napetost v tuljavi (je generatorska). Če pa isto napetost obravnavamo kot '''padec napetosti''' na tuljavi, predznak »-« v enačbi lastne indukcije opustimo. Za padec napetosti na tuljavi velja torej zapis

<latex>u_i \, = \, L \cdot \, \frac{\Delta i}{\Delta t},</latex>

ki pove, da je trenutna vrednost '''napetosti''' lastne indukcije v tuljavi premo sorazmerna s '''hitrostjo''' spreminjanja '''toka''' v ovojih tuljave. Iz časovnega diagrama sinusnega toka na sl. 3.1.10 je razvidno, da se le-ta praktično ne spreminja v območju '''maksimalne vrednosti''' toka (∆''i''⁄∆''t'' = 0) in da se najhitreje spreminja (∆''i''⁄∆''t'')m v območju '''spreminjanja smeri''' toka (blizu ''i'' = 0).
[[Image:eele_slika_3_1_10.svg|thumb|right|Slika 3.1.10: Hitrost spreminjanja sinusnega izmeničnega toka]]

V trenutku '''največje''' vrednosti sinusnega toka ima torej sinusna napetost lastne indukcije v tuljavi vrednost '''nič''' in obratno.

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v čistem induktivnem izmeničnem krogu je odvisnost '''napetosti lastne indukcije''' od '''hitrosti spreminjanja''' sinusnega '''toka''' v tuljavi.</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Vzporedni električni nihajni krog

2010-05-12T15:36:40Z

Latac:

Vzporedni nihajni krog (slika 7.3.3) je v bistvu izmenični krog z '''vzporedno vezavo''' upora, tuljave in kondenzatorja, katerega osnovne lastnosti in zakonitosti že poznamo. Naredimo zato podobno, čeprav nekoliko krajšo pot kot pri zaporednem nihajnem krogu.

<poskus>
'''Poskus 7.3.4:'''

Vzporedno vezavo kondenzatorja s kapacitivnostjo 0.1 μF in tuljave z induktivnostjo 9,5 mH, priključimo na izvor sinusne napetosti 9 V nastavljive frekvence (slika 7.3.11).

[[Image:eele_slika_7_3_11.svg|thumb|right|Slika 7.3.11]]

Pri stalni napetosti izvora povečujmo frekvenco napetosti od 2,8 kHz do 8 kHz in pri posamezni frekvenci izmerimo toke kondenzatorja, tuljave in izvora. Dobili bomo vrednosti:

TABELA

*Pri določeni frekvenci (5160 Hz) je tok izvora zelo majhen, pri višjih in nižjih frekvencah pa je bistveno večji.
*Pri enaki frekvenci (5160 Hz) sta toka kondenzatorja enaka in bistveno večja od toka izvora.
</poskus>

Iz enakosti tokov ''IC'' in ''IL'' lahko glede na znano dejstvo, da sta v proti fazi, sklepamo, da je v našem primeru pri frekvenci 5160 Hz popolna izmenjava energij ''WC'' in ''WL'' med kondenzatorjem in tuljavo. Podobno lahko iz toka izvora sklepamo, da je za vzdrževanje vsiljenega nihanja energije v ''LC'' nihajnem krogu pri omenjeni frekvenci potrebno najmanj energije.

<pomembno>
*Vzporedni ''LC'' nihajni krog se na določeno frekvenco vsiljenega nihanja odzove na način, ki je značilen za '''lastno''' nihanje.
*Frekvenco vsiljenega nihanja, pri kateri je za nihanje energije v vzporednem nihajnem krogu potrebno najmanj energije, imenujemo '''resonančna''' frekvenca.
*'''Resonančna''' frekvenca vzporednega nihajnega kroga je enaka frekvenci '''lastnega''' nihanja kroga.
</pomembno>

Ker sta pri lastnem nihanju ''LC'' nihajnega kroga reaktanci oziroma susceptanci enaki, velja tudi za vsiljeno nihanje vzporednega nihajnega kroga:

<latex>{f \,= \,{f_{\rm{r}}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {B_L} \,=\, {B_C}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{Y_{\rm{r}}}\, =\, G\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{I_{\rm{r}}}\, =\, {I_{\rm{min}}}\, =\, GU\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,\varphi \, =\, 0}</latex>

V poskusu 7.3.4 sicer nismo imeli tuljavi in kondenzatorju vzporedno priključenega upora, toda izgubna upornost predvsem tuljave ima podoben učinek. Obstaja enostavna metoda, po kateri zaporedno ''RL'' vezavo preračunamo v enakovredno vzporedno ''RL'' vezavo<ref><latex>{R_{\rm{pt}}} \,=\, \frac{{R_t}^2\, +\, {X_L}^2}{R_t}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{X_{L{\rm{p}}}}\, =\, \frac{{R_{\rm{t}}}^2 \,+\, {X_L}^2}{X_L}</latex></ref>. V našem primeru bi izmerili upornost navitja tuljave ≈ 11 Ω, preračunana enakovredna vzporedna upornost pa bi znašala ≈ 9 kΩ.

== Frekvenčna karakteristika toka vzporednega nihajnega kroga ==

Če rezultate meritev poskusa 7.3.4 prikažemo grafično, dobimo sliko frekvenčne odvisnosti (karakteristiko) toka vzporednega nihajnega kroga (slika 7.3.12).

<pomembno>
*Vzporedni nihajni krog '''slabo prepušča''' tok '''resonančne''' frekvence in frekvenc, ki so '''blizu''' resonančni frekvenci, tokove '''višjih''' in '''nižjih''' frekvenc pa '''bistveno bolje'''.
</pomembno>

Če bi namesto izvora čiste sinusne napetosti na nihajni krog priključili izvor iz množice napetosti '''različnih frekvenc''' sestavljene napetosti, bi v nihajnem krogu bili toki višjih in '''nižjih frekvenc''', toki '''resonančne''' frekvence in frekvenc, ki so '''blizu resonančni''', pa bi bili '''močno dušeni'''.

[[Image:eele_slika_7_3_12.svg|thumb|right|Slika 7.3.12: Frekvenčna odvisnost toka vzporednega nihajnega kroga]]

<pomembno>
*Vzporedni nihajni krog je pasovni, '''zaporni''' frekvenčni '''filter'''.
*Lastnost vzporednega nihajnega kroga, da iz množice možnih tokov različnih frekvenc »izbira« in zaduši le določene tokove, imenujemo '''selektivnost''' vzporednega nihajnega kroga.
</pomembno>

Filtrske lastnosti vzporednega nihajnega kroga uporabljamo predvsem v radijski in TV tehniki v podobne namene, kot smo jih že omenili pri zaporednem nihajnem krogu.

'''Resonančno frekvenco''' vzporednega nihajnega kroga dobimo na podoben način kot za zaporednega, iz pogoja enakosti reaktanc, zato bomo končni izraz kar napisali:

<latex>{f_{\rm{r}}}\, =\, \frac{1}{2\pi \sqrt {LC} }|||(Hz)</latex>

Toda pozor. Če je tuljava slabe kakovosti in bomo njeno nadomestno zaporedno vezavo pretvarjali v vzporedno, bo nekoliko spremenjena tudi induktivna reaktanca. Posledično bo tudi resonančna frekvenca nekoliko drugačna. Navedena enačba pa velja dovolj dobro za '''kakovosti tuljave večje od 10'''.

<pomembno>
*Področje frekvenc, katerih toke vzporedni nihajni krog '''slabo prevaja''', imenujemo '''zaporni frekvenčni pas''' nihajnega kroga '''''B''''' (sl. 7.3.13).
*Zaporni frekvenčni pas je področje frekvenc, v katerem tok v nihajnem krogu moč ''P''r ne naraste čez 2''P''r oziroma tok ni '''večji od ''I''r''' • '''√2'''.
*Širina zapornega frekvenčnega pasu '''''B''''' je določena z razliko '''mejnih frekvenc''' zapornega področja '''''f''mzg''' in '''''f''msp'''.
</pomembno>

<latex>{B \,=\, {f_{\rm{mzg}}}\, -\, {f_{\rm{msp}}}}|||(Hz)</latex>

Enačbo za neposredno računanje širine zapornega frekvenčnega pasu ''B'' dobimo na podoben način kot pri zaporednem nihajnem krogu.

<latex>{B \,=\, \frac{f_{\rm{r}}}{Q}}|||(Hz)</latex>

Vidimo, da kljub nasprotnima oblikama frekvenčnih karakteristik toka zaporednega in vzporednega nihajnega kroga obravnavamo njune lastnosti na podoben način.

== Kakovost vzporednega nihajnega kroga ==

Za vzporedni nihajni krog velja enaka definicija kakovosti, le da je v tem primeru skupna količina za računanje moči napetost izvora. Paralelni upor ''R''p praviloma ni dejanski upor, ampak v paralelno vezavo transformirana izgubna upornost predvsem tuljave<ref><latex>{R_{\rm{pt}}} \,=\, \frac{{R_{\rm{t}}}^2 \,+\, {X_L}^2}{R_{\rm{t}}}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{X_{L{\rm{p}}}}\, =\, \frac{{R_{\rm{t}}}^2\, + \,{X_L}^2}{X_L}</latex></ref>.

<latex>Q \,=\, \frac{Q_{L{\rm{r}}}}{P} \,=\, \frac{Q_{C{\rm{r}}}}{P} \,=\, \frac{{U^2}\, \cdot \,{R_p}}{{X_{L{\rm{r}}}}\, \cdot \,{U^2}} \,=\, \frac{{U^2}\, \cdot \,{R_{\rm{p}}}}{{X_{C{\rm{r}}}} \,\cdot\, {U^2}}</latex>

oziroma po ureditvi

<latex>Q\, =\, \frac{R_p}{X_{L{\rm{r}}}}\, =\, \frac{R_{\rm{p}}}{X_{C{\rm{r}}}}</latex>

<pomembno>
*Kakovost vzporednega nihajnega kroga je '''premo sorazmerna''' z v ''paralelno'' upornost transformirane '''izgubne upornosti''' tuljave in obratno sorazmerna z rektancama nihajnega kroga pri resonančni frekvenci.
*Vzporedna upornost (prevodnost) '''zmanjšuje kakovost''' vzporednega nihajnega kroga in '''povečuje''' njegov '''tok''' (propustnost) pri '''resonančni''' frekvenci.
</pomembno>

Tudi navedena enačba je sprejemljiva za kakovosti tuljave večje od 10. Še bolj korektni bi bili, če bi tako pri zaporednem kot pri vzporednem nihajnem krogu pri kakovosti nihajnega kroga upoštevali tudi '''realnost izvora''' napetosti.

Na osnovi spoznanj pri obravnavi vpliva kakovosti na obliko karakteristike zaporednega nihajnega kroga lahko narišemo frekvenčne karakteristike toka vzporednega nihajnega kroga za različne kakovosti (sl. 7.3.13).

[[Image:eele_slika_7_3_13.svg|thumb|right|Slika 7.3.13: Vpliv kakovosti na obliko frekvenčne karakteristike toka vzporednega nihajnega kroga]]

<pomembno>
*Čim '''večja''' je '''kakovost''' vzporednega nihajnega kroga, tem '''manjši''' je '''resonančni tok''', tem '''ožji''' je frekvenčni zaporni '''pas''' in tem boljša je '''selektivnost''' nihajnega kroga.
</pomembno>

== Frekvenčna karakteristika admitance vzporednega nihajnega kroga ==

Frekvenčno karakteristiko admitance ''Y''(''f'') vzporednega nihajnega kroga lahko dobimo na osnovi izmerjenih tokov pri različnih frekvencah (poskus 7.3.4) in Ohmovega zakona

<latex>Y\left( f \right)\, =\, \frac{I\left( f \right)}{U},</latex>

lahko pa tudi z računanjem po izrazu

<latex>Y\left( f \right) \,=\, \sqrt {{G^2} \,+\, {\left( {B_C}\left( f \right) \,- \,{B_L}\left( f \right) \right)}^2}. </latex>

Ob dejstvu, da je ''U'' = konst., obliko navedene karakteristike prikazuje slika 7.3.12.

<pomembno>
*Oblika frekvenčne karakteristike '''admitance''' vzporednega nihajnega kroga je podobna obliki frekvenčne karakteristike '''impedance''' zaporednega nihajnega kroga.
</pomembno>

S sliko frekvenčne karakteristike admitance smo tako le nazorneje prikazali lastnosti vzporedne vezave upora, tuljave in kondenzatorja v izmeničnem krogu.

== Tokovna resonanca ==

V poskusu 7.3.4 smo ugotovili, da sta toka kondenzatorja in tuljave pri resonančni frekvenci vzporednega nihajnega kroga '''enaka''' in '''veliko večja''' od toka izvora. Kazalčni diagram izmeničnega kroga z vzporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja potrjuje, da je to mogoče (tokova sta v proti fazi).

<latex>{I_L}\, =\, {I_C} \,=\, \frac{U}{X_{L{\rm{r}}}}\, =\, \frac{U}{X_{C{\rm{r}}}} \,=\, \frac{I{R_{\rm{p}}}}{X_{L{\rm{r}}}} \,= \,\frac{I{R_{\rm{p}}}}{X_{C{\rm{r}}}} \,= \,QI</latex>

oziroma

<latex>{I_L}\, =\, {I_C} \,=\, QI</latex>

<pomembno>
*Toka tuljave in kondenzatorja v vzporednem nihajnem krogu sta pri resonančni frekvenci '''Q - krat večja''' od toka '''izvora'''.
*Zaradi »ojačenja« toka imenujemo resonanco vzporednega nihajnega kroga '''tokovna''' resonanca.
</pomembno>

Tokovno resonanco '''koristno''' uporabljamo podobno kot napetostno resonanco na področju '''elektronike''', predvsem radijske, TV in krmilne tehnike. Pri merjenju električnega toka v napravah ali sistemih, katerih frekvenca delovanja je enaka ali blizu resonančni frekvenci, pa moramo biti pozorni na pravilno izbiro merilnega območja A-metra.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Zaporedni električni nihajni krog

2010-05-12T15:36:05Z

Latac:

Zaporedni ''RLC'' nihajni krog je v osnovi izmenični krog z vsemi lastnostmi, ki smo jih spoznali pri obravnavi kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja.

<poskus>
'''Poskus 7.3.1:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 27 Ω, tuljave z induktivnostjo 38 mH in upornostjo navitja 23 Ω ter kondenzatorja s kapacitivnostjo 47 nF priključimo na generator sinusne napetosti ≈ 2 V, katere frekvenco lahko spreminjamo (sl. 7.3.4).

[[Image:eele_slika_7_3_4.svg|thumb|right|Slika 7.3.4]]

Pri stalni napetosti izvora 2 V postopoma povečujmo frekvenco napetosti od npr. 1000 do 10000 Hz in merimo tok v krogu. Dobili bomo vrednosti, ki jih grafično ponazarja slika 7.3.5.

[[Image:eele_slika_7_3_5.svg|thumb|right|Slika 7.3.5: Frekvenčni potek toka v zaporednem RLC nihajnem krogu]]

*Pri določeni frekvenci (≈ 3,76 kHz) je tok v nihajnem krogu velik, pri višjih in nižjih frekvencah pa je bistveno manjši.

</poskus>

Praktično enak frekvenčni potek toka bi dobili z računanjem impedanc vezave za posamezne frekvence in pripadajočih tokov po Ohmovem zakonu.

<latex>Z\, =\, \sqrt {{R_s}^2\, +\, {\left( {X_L} \,- \,{X_C} \right)}^2} </latex>

in

<latex>I \,=\, \frac{U}{Z}</latex>

Pri tem bi ugotovili, da sta pri frekvenci 3,76 kHz reaktanci ''XL'' in ''XC'' praktično enaki, impedanca najmanjša in enaka le ohmski upornosti ''R'' in tok, tudi računsko, največji:

<latex>I\, =\, \frac{U}{R_{\rm{s}}}\, =\, \frac{2}{27\, +\, 23} \,=\, 40\,{\rm{mA}}</latex>

<pomembno>
*Pri '''določeni frekvenci''' napetosti izvora je vsiljeno nihanje energije v nihajnem krogu bistveno '''intenzivnejše''' in tok '''večji''' kot pri drugih frekvencah.
</pomembno>

Pojav je podoben, kot ga poznamo pri drugih nihanjih. Tudi neuravnoteženo kolo avtomobila povzroča pri določeni hitrosti (številu vrtljajev kolesa) bistveno močnejše tresenje avtomobila kot pri večji ali manjši hitrosti. '''Vsiljeno''' nihanje mehanskih sistemov s frekvenco, ki je enaka frekvenci '''lastnega nihanja''' sistema, lahko vodi tudi v razpad sistema. Popolnoma nov, kilometer dolg viseči most v ameriški zvezni državi Washington, so močni sunki vetra leta 1940 pognali v lastno nihanje, ki je most spektakularno sesulo v reko.

== Resonančna frekvenca ==

<pomembno>
*Frekvenco '''vsiljenega''' nihanja, pri kateri je amplituda nihanja energije v zaporednem nihajnem krogu bistveno '''večja''' kot pri drugih frekvencah, imenujemo '''resonančna'''<ref>resonare, lat. = odmevati, skupaj nihati</ref> frekvenca ('''''f''r''').
</pomembno>

Resonančno frekvenco izračunamo iz '''enakosti reaktanc''' nihajnega kroga pri resonančni frekvenci:

<latex>{\omega _{\rm{r}}}L\, =\, \frac{1}{{\omega _{\rm{r}}}C}</latex>

oziroma

<latex>2\pi \,{f_{\rm{r}}}L \,= \,\frac{1}{2\pi {f_{\rm{r}}}C}</latex>

in od tod

<latex>{f_{\rm{r}}} \,= \,\frac{1}{2\pi \sqrt {LC} }|||(Hz)</latex>

<pomembno>
*Resonančna frekvenca zaporednega nihajnega kroga je '''obratno sorazmerna''' z geometrično sredino '''induktivnosti ''L''''' in '''kapacitivnosti''' kroga '''''C''''' (√''LC'').
</pomembno>

Resonančna frekvenca '''vsiljenega''' nihanja je enaka frekvenci '''lastnega''' nihanja '''nedušenega''' nihajnega kroga, enačbo za računanje frekvence lastnega oziroma vsiljenega resonančnega nihanja pa imenujemo '''Thomsonova'''<ref>Thomson William, Lord Kelvin, angleški fizik, 1824 – 1907 </ref> enačba.

Izračunajmo resonančno frekvenco nihajnega kroga iz poskusa 7.3.1:

<latex>{f_{\rm{r}}}\, =\, \frac{1}{2\pi \sqrt {LC} }\, =\, \frac{1}{2\pi \sqrt {38 \,\cdot\, {10}^{ - 3} \,\cdot\, 47\, \cdot \,{10}^{ - 9}} }\, =\, 3768\,{\rm{Hz}}</latex>

Za zaporedni nihajni krog pri '''''f''''' = '''''f''r''' torej velja:

<latex>{X_{L{\rm{r}}}}\, =\, X_{C{\rm{r}}}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,\,{Z_{\rm{r}}}\, =\, R\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,\,{I_{\rm{r}}}\, =\, {I_{\rm{m}}} \,= \,\frac{U}{R}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,\,{Q_{L{\rm{r}}}} \,=\, {Q_{C{\rm{r}}}}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,\,\varphi\, = \,0\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{S_{\rm{r}}}\, = \,P</latex>

== Kakovost zaporednega nihajnega kroga (''Q'') ==

Spoznali smo, da se pri '''vsiljenem''' nihanju pri '''resonančni''' frekvenci izmenjuje energija med kondenzatorjem in tuljavo z največjo intenzivnostjo in da je za vzdrževanje vsiljenega nihanja potrebno kriti izgube energije v realnem kondenzatorju in tuljavi z dovajanjem energije iz izvora napetosti. Čim kakovostnejša sta kondenzator in tuljava, tem manjše bodo izgube in manj energije bo potrebno za vzdrževanje nihanja energije v nihajnem krogu.

<pomembno>
*Razmerje '''moči nihanja''' med kondenzatorjem in tuljavo pri '''resonančni''' frekvenci (''QL''r = ''QC''r) in '''izgubne moči''' (''P'') določa '''kakovost''' zaporednega nihajnega kroga.
</pomembno>

<latex>Q\, =\, \frac{Q_{L{\rm{r}}}}{P}\, = \,\frac{Q_{C{\rm{r}}}}{P} \,=\, \frac{{I^2} \,\cdot\, {X_{L{\rm{r}}}}}{{I^2}\, \cdot\, R}\, =\, \frac{{I^2}\, \cdot \,{X_{C{\rm{r}}}}}{{I^2} \,\cdot\, R}</latex>

oziroma po ureditvi

<latex>Q\, = \,\frac{X_{C{\rm{r}}}}{R}\, =\, \frac{X_{L{\rm{r}}}}{R}</latex>

<pomembno>
*Kakovost zaporednega nihajnega kroga je '''premo sorazmerna''' z '''reaktancama''' nihajnega kroga pri resonančni frekvenci in '''obratno sorazmerna''' z '''izgubno upornostjo''' tuljave in kondenzatorja.
</pomembno>

'''Primer:'''
<primer>
Kolikšna je kakovost zaporednega nihajnega kroga, v katerem je induktivnost tuljave 20 mH in ohmska upornost ovojev tuljave 10 Ω pri resonančni frekvenci 5 kHz? Izgube v kondenzatorju in izvoru so v primerjavi s tuljavo dovolj majhne, da jih lahko zanemarimo.|||

<latex>Q \,= \,\frac{{\omega _{\rm{r}}}L}{R}\, =\, \frac{2\pi {f_{\rm{r}}}L}{R}\, =\, \frac{2\pi \, \cdot\, 5 \,\cdot \,{{10}^3}\, \cdot\, 20 \,\cdot \,{10}^{ - 3}}{10}\, =\, {\rm{62,8}}</latex>

V danem primeru je moč na kondenzatorju in tuljavi 62,8 krat večja od moči, ki jo izvor napetosti potrebuje za vzdrževanje nihanja, kar je primer relativno '''dobre''' kakovosti nihajnega kroga. Sl. 7.3.6 pa prikazuje časovni potek moči in energije v nihajnem krogu '''slabe''' kakovosti.

[[Image:eele_slika_7_3_6.svg|thumb|right|Slika 7.3.6: Časovni potek moči v nihajnem krogu slabe kakovosti]]
</primer>

== Frekvenčna karakteristika toka zaporednega nihajnega kroga ==

Iz oblike frekvenčnega poteka (karakteristike) toka lahko razberemo še eno, v bistvu najpomembnejšo lastnost zaporednega nihajnega kroga:

<pomembno>
*Zaporedni nihajni krog prepušča '''zelo dobro''' tok '''resonančne''' frekvence in frekvenc, ki so resonančni '''blizu''', toke '''višjih''' in '''nižjih''' frekvenc pa močno '''duši'''.
</pomembno>

Če bi namesto izvora čiste sinusne napetosti na nihajni krog priključili izvor iz množice napetosti '''različnih frekvenc sestavljene''' napetosti, bi v nihajnem krogu imeli predvsem tok '''resonančne''' frekvence in toke, katerih frekvence so '''blizu resonančni'''.

<pomembno>
*Zaporedni nihajni krog je '''pasovno prepustni''' frekvenčni '''filter'''.
*Lastnost nihajnega kroga, da iz množice tokov različnih frekvenc »izbira« in prepušča toke le določenih frekvenc, imenujemo '''selektivnost'''<ref>lat. izbirnost</ref>.
*Čim '''ožja''' je frekvenčna karakteristika in čim '''strmejši''' so njeni boki, tem večja je selektivnosti zaporednega nihajnega kroga.
</pomembno>

Pravkar ugotovljena lastnost nihajnega kroga omogoča radijskim in TV sprejemnikom, da iz množice signalov, ki jih sprejema antena, izločijo le želenega. Sprejemniki z boljšo selektivnostjo bolje ločijo želeni signal od neželenega (ki ga ne želimo poslušati).

<pomembno>
*Področje frekvenc, katerih toke zaporedni nihajni krog dobro '''prevaja''', imenujemo '''prepustni frekvenčni''' pas nihajnega kroga ('''''B''''')<ref>po IEC, angl. band width</ref> (slika 7.3.7).
</pomembno>

Bolj točno je prepustni frekvenčni pas zaporednega nihajnega kroga določen na naslednji način:

<pomembno>
*'''Prepustni''' frekvenčni '''pas''' zaporednega nihajnega kroga je območje frekvenc, v katerem '''moč''' v nihajnem krogu ne pade '''pod''' '''''P''r''' ⁄ '''2''' oziroma tok v nihajnem krogu '''ni manjši''' od '''''I''r''' ⁄ '''√2'''.
*Širina prepustnega frekvenčnega pasu '''''B''''' je določena z razliko '''mejnih frekvenc''' prepustnega frekvenčnega pasu '''''f''mzg''' in '''''f''msp'''.
</pomembno>

[[Image:eele_slika_7_3_7.svg|thumb|right|Slika 7.3.7: Frekvenčni prepustni pas nihajnega kroga (prepustnega filtra)]]

<latex>{B \,=\, {f_{\rm{mzg}}}\, -\, {f_{\rm{msp}}}}|||(Hz)</latex>

Enačbo za neposredno računanje širine frekvenčnega pasu ''B'' dobimo iz razmerja tokov pri resonančni in mejni frekvenci. Pot do enačbe je nekoliko zahtevnejša, zato napišimo le rezultat:

<latex>{B \,= \,\frac{f_{\rm{r}}}{Q}}|||(Hz)</latex>

<pomembno>
*Širina prepustnega frekvenčnega pasu zaporednega nihajnega kroga je '''premo sorazmerna''' z '''resonančno frekvenco''' in '''obratno sorazmerna''' s '''faktorjem kakovosti''' nihajnega kroga.
</pomembno>

Oblika frekvenčne karakteristike ni ravno simetrična glede na resonančno frekvenco, toda za faktor kakovosti '''''Q'' > 10''' velja, da je prepustni pas glede na resonančno frekvenco praktično '''simetričen'''.

'''Primer:'''

<primer>
Izračunaj širino frekvenčnega prepustnega pasu ''B'', mejni frekvenci ''f''1 in ''f''2 ter toke pri resonančni in mejnih frekvencah za nihajni krog iz poskusa 7.3.1 (''f''r = 3768 Hz, ''R''t = 23 Ω).|||

<latex>Q \,=\, \frac{X_{L{\rm{r}}}}{R}\, = \,\frac{2\pi {f_{\rm{r}}}L}{R}\, = \,\frac{2\pi \, \cdot \,3768 \,\cdot\, 38\, \cdot \,{{10}^{ - 3}}}{27\, +\, 23}\, = \,18</latex>

<latex>B \,=\, \frac{f_{\rm{r}}}{Q}\, = \,\frac{3768}{18}\, =\, 209\,{\rm{Hz}}</latex>

<latex>{f_{\rm{msp}}} \,\approx \,{f_{\rm{r}}} \,-\, \frac{B}{2} \,=\, 3768\, - \,104\, = \,3664\,{\rm{Hz}}</latex>

<latex>{f_{\rm{mzg}}}\, \approx \,{f_{\rm{r}}}\, +\, \frac{B}{2}\, =\, 3768 \,+\, 104\, =\, 3872\,{\rm{Hz}}</latex>

<latex>{I_{\rm{r}}} \,=\, \frac{U}{Z_{\rm{r}}}\, =\, \frac{U}{R}\, =\, \frac{2}{27\, +\, 23} \,=\, 40\,{\rm{mA}}</latex>

<latex>{I_1}\, =\, {I_2}\, =\, \frac{I_{\rm{r}}}{\sqrt 2 }\, =\, \frac{40}{\rm{1,41}}\, =\, {\rm{28,4\,mA}}</latex>
</primer>

Pred naslednjim poskusom izračunajmo faktorje kakovosti nihajnega kroga iz poskusa 7.3.1 še pri upornosti upora 56 Ω in 150 Ω. V obeh primerih upoštevajmo ohmsko upornost tuljave (''R''t = 23 Ω).

<latex>{Q_2}\, = \,\frac{X_{L{\rm{r}}}}{{R_2} \,+\, {R_{\rm{t}}}} \,=\, \frac{2\pi \, \cdot\, 3768\, \cdot\, 38 \,\cdot \,{10}^{ - 3}}{56 \,+\, 23}\, =\, {\rm{11,4}}</latex>

<latex>{Q_3}\, =\, \frac{X_{L{\rm{r}}}}{{R_3} \,+\, {R_{\rm{t}}}} \,=\, \frac{2\pi \, \cdot\, 3768\, \cdot\, 38 \,\cdot \,{10}^{ - 3}}{150\, +\, 23}\, = \,{\rm{5,2}}</latex>

<pomembno>
*Z naraščajočo '''delovno upornostjo''' kakovost nihajnega kroga '''pada'''.
</pomembno>

<poskus>
'''Poskus 7.3.2:'''

Ponovimo poskus 7.3.1 tako, da namesto upora z upornostjo 27 Ω vključimo v krog najprej upor z upornostjo 56 Ω in potem še upor z upornostjo 150 Ω, torej tako, da pri stalni napetosti in frekvenci zmanjšujemo kakovost nihajnega kroga. Rezultat meritev prikazuje grafično slika 7.3.8.

[[Image:eele_slika_7_3_8.svg|thumb|right|Slika 7.3.8: Vpliv kakovosti na obliko frekvenčne karakteristike toka zaporednega nihajnega kroga]]

*Večja ohmska upornost povzroči manjši resonančni tok in širši prepustni pas nihajnega kroga.
</poskus>

<pomembno>
*Čim večja je '''kakovost''' nihajnega kroga, tem večji je resonančni '''tok''', tem ožji je frekvenčni '''prepustni pas''' in tem boljša je '''selektivnost''' zaporednega nihajnega kroga.
</pomembno>

== Frekvenčna karakteristika impedance zaporednega nihajnega kroga ==

Frekvenčno karakteristiko toka (slika 7.3.7) smo dobili pri konstantni napetosti izvora v krogu, zato bi pripadajočo frekvenčno karakteristiko impedance ali admitance lahko dobili že po Ohmovem zakonu:

<latex>Z\left( f \right)\, = \,\frac{U}{I\left( f \right)}|||(Ω)</latex>

in

<latex>Y\left( f \right) \,=\, \frac{I\left( f \right)}{U} \,=\, \frac{1}{Z\left( f \right)}</latex>

[[Image:eele_slika_7_3_9.svg|thumb|right|Slika 7.3.9: Frekvenčni karakteristiki polne upornosti in prevodnosti zaporednega nihajnega kroga]]

Slika 7.3.9 pravzaprav ne prinaša novosti – le nazorneje prikazuje spoznanja o lastnostih '''zaporedne''' vezave upora, tuljave in kondenzatorja v izmeničnem krogu. »Novost« je predvsem to, da nihajni krogi koristijo lastnosti zaporednega ''RLC'' kroga predvsem pri '''resonančni''' frekvenci.

== Napetostna resonanca ==

<poskus>
'''Poskus 7.3.3:'''

V nihajnem krogu iz poskusa 7.3.1 izmerimo napetosti v krogu pri resonančni frekvenci (sl. 7.3.10).

[[Image:eele_slika_7_3_10.svg|thumb|right|Slika 7.3.10]]

*Padec napetosti na delovni upornosti kroga (če upoštevamo tudi izgubni upornosti tuljave in kondenzatorja) je približno enaka napetosti izvora.
*Padca napetosti na tuljavi in kondenzatorju sta enaki in veliko večji od napetosti izvora.
</poskus>

Kazalčni diagram izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja<ref>Osnove elektrotehnike 2, str ...</ref> dopušča možnost večjih napetosti na tuljavi in kondenzatorju od napetosti izvora, zato si oglejmo le odvisnost te razlike. Pri znanih dejstvih

<latex>{Z_{\rm{r}}}\, =\, R\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{I_{\rm{r}}} \,= \,\frac{U}{Z_{\rm{r}}}\, =\, \frac{U}{R}</latex>

in

<latex>{U_{L{\rm{r}}}}\, =\, {I_{\rm{r}}}{X_{L{\rm{r}}}}\, =\, \frac{U}{R}{X_{L{\rm{r}}}}\, =\, U\frac{X_{L{\rm{r}}}}{R}</latex>

ter z upoštevanjem

<latex>\frac{X_{L{\rm{r}}}}{R} \,=\, \frac{X_{L{\rm{r}}}}{R}\, =\, Q</latex>

dobimo

<latex>{U_{L{\rm{r}}}} \,=\, {U_{C{\rm{r}}}} \,=\, QU|||(V)</latex>

<pomembno>
*Napetosti na tuljavi in kondenzatorju v zaporednem nihajnem krogu sta pri resonančni frekvenci '''Q - krat večji''' od napetosti '''izvora''' ali napetosti na delovni upornosti kroga.
*Zaradi pojava '''ojačevanja napetosti''' imenujemo resonanco zaporednega nihajnega kroga '''napetostna''' resonanca.
</pomembno>

'''Primer:'''

<primer>
Zaporedni nihajni krog ima pri resonančni frekvenci 5 kHz reaktanci ''XL'' = ''XC'' = 100 Ω in izgubno delovno upornost ''R'' = 2 Ω. Priključen je na generator izmenične napetosti 10 V / 5 kHz. Določi tok in moč delovanja izvora, fazni kot, padce napetosti, kakovost, širino prepustnega frekvenčnega pasu ter tok in moč izvora pri mejnih frekvencah nihajnega kroga.|||

<latex>I\, =\, \frac{U}{R} \,=\, \frac{10}{2}\, =\, \rm{5\, A}</latex>

<latex>\varphi \, = \,{\rm{0}^{\,\circ}}</latex>

<latex>P\, =\, UI \,=\, 10\, \cdot\, 5\, =\, \rm{50\, W}</latex>

<latex>{U_R} \,=\, I \,\cdot\, R \,= \,5\, \cdot\, 2\, =\, \rm{10 \,V}</latex>

<latex>{U_L}\, =\, I\, \cdot\, {X_L} \,=\, 5\, \cdot \,40 \,= \,\rm{200 \,V}</latex>

<latex>{U_C} \,=\, I\, \cdot \,{X_C}\, = \,5\, \cdot\, 40 \,= \,\rm{200 \,V}</latex>

<latex>Q \,=\, \frac{X_L}{R}\, = \,\frac{X_C}{R}\, =\, \frac{40}{2}\, =\, \rm{20}</latex>

<latex>B\, =\, \frac{f_{\rm{r}}}{Q}\, =\, \frac{5000}{20}\, =\, \rm{250 \,Hz}</latex>

<latex>{I_{\rm{msp}}}\, =\, {I_{\rm{mzg}}} \,=\, \frac{I}{\sqrt 2 }\, =\, \frac{5}{\rm{1,41}} \,=\, \rm{3,5\, A}</latex>

<latex>{P_{\rm{msp}}}\, =\, {P_{\rm{mzg}}} \,=\, \frac{P}{2} \,=\, \frac{50}{2} \,=\, \rm{25\, W}</latex>
</primer>

Napetostno resonanco koristno uporabljamo na področju elektronike, predvsem v radijski, TV in krmilni tehniki. Na področju '''energetike''', kjer so večje napetosti in moči izvorov, moramo biti pri konstrukciji električnih naprav in sistemov previdni. Delovanje le-teh na frekvencah, ki so blizu ali enake njihovi resonančni frekvenci, je lahko vzrok nepričakovano visokih napetosti, '''nevarnih''' za merilnike, izolacijo in tudi za človeka.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Vsiljeno nihanje energije v realnem nihajnem krogu

2010-05-12T15:35:17Z

Latac:

Vsiljeno nihanje je nihanje energije v realnem ''LC'' nihajnem krogu '''pod vplivom''' v krog vključenega '''izvora izmenične napetosti''' (slika 7.3.1). Ohmska upornost upora ''R'' na navedeni sliki praviloma predstavlja delovno upornost tuljave in kondenzatorja.

[[Image:eele_slika_7_3_1.svg|thumb|right|Slika 7.3.1: Vsiljeno nihanje v realnem izmeničnem krogu]]

<pomembno>
*Frekvenca vsiljenega nihanja energije je '''enaka frekvenci''' izmenične napetosti '''izvora''' in je lahko '''enaka''' ali '''različna''' kot frekvenca '''lastnega''' nihanja nihajnega kroga.
*Energijo, ki prek delovne upornosti zapušča realni nihajni krog '''sproti''', nadomešča '''izvor''' energije, zato sta amplitudi izmenične napetosti in toka v nihajnem krogu '''konstantni'''.
</pomembno>

Glede na način dovajanja energije v nihajni krog razlikujemo '''zaporedni''' (sl. 7.3.2) in '''vzporedni''' nihajni krog (sl. 7.3.3).

[[Image:eele_slika_7_3_2.svg|thumb|right|Slika 7.3.2: Zaporedni nihajni krog]]
[[Image:eele_slika_7_3_3.svg|thumb|right|Slika 7.3.3: Vzporedni nihajni krog]]

{{Hierarchy footer}}

Lastno nihanje v realnem nihajnem krogu

2010-05-12T15:35:03Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 7.2.1:'''

Vzporedno vezavo kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,1 μF in tuljave z induktivnostjo 38 mH priključimo prek upora z upornostjo 10 kΩ na generator kratkotrajnih napetostnih impulzov s frekvenco 100 do 300 Hz (slika 7.2.1). Na osciloskopu opazujmo obliko časovnega poteka izmenične napetosti v krogu.

[[Image:eele_slika_7_2_1.svg|thumb|right|Slika 7.2.1]]

*Amplituda napetosti v nihajnem krogu pada in po določenem številu nihajev pade na nič.

</poskus>

V času trajanja napetostnega impulza generatorja se kondenzator napolni z energijo, ki po zaključitvi impulza zaniha v ''LC'' krogu. Zaradi delovne upornosti kondenzatorja in tuljave se pri vsakem nihaju del energije sprosti iz '''kroga''' v obliki toplote. O tem smo se prepričali že s poskusom 7.1.1.

<pomembno>
*Pri lastnem nihanju realnega nihajnega kroga energija postopoma '''zapusti krog''' v obliki toplote.
*'''Delovni upornosti''' kondenzatorja in tuljave nihanje energije postopoma '''zadušita'''.
*Dušenje nihanja povzroča padanje amplitude izmenične napetosti in toka v nihajnem krogu po '''eksponentni'''<ref>naravna zakonitost prehodnih pojavov (''e-kt'' )</ref> zakonitosti (slika 7.2.2).
</pomembno>

[[Image:eele_slika_7_2_2.svg|thumb|right|SSlika 7.2.2: Časovni potek napetosti in toka pri lastnem nihanju energije v realnem nihanjem krogu]]

<references />

{{Hierarchy footer}}

Idealizirani nihajni krog

2010-05-12T15:34:48Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 7.1.1'''

Napolnimo kondenzator kapacitivnosti 470 μF z izvorom enosmerne napetosti 3 V (sl. 7.1.1 a). Napolnjen kondenzator priključimo prek analognega mA-metra z ničelnim položajem kazalca na sredini skale, na tuljavo z lameliranim Fe jedrom in induktivnostjo 65 H (sl. 7.1.1 b).

[[Image:eele_slika_7_1_1.svg|thumb|right|Slika 7.1.1: Merjenje toka v nihajnem krogu]]

*Kazalec mA-metra zaniha s frekvenco približno 1 Hz okrog ničelnega položaja.
*Zaradi izgub energije v električnem krogu z realnimi elementi se kazalec po nekaj nihajih umiri.
</poskus>

Poskus 7.1.1 smo realizirali z realnima elementoma, kar je povzročilo izgube in hitro '''iznihavanje''' energije. Zaradi lažjega razumevanja fizikalnega principa nihanja energije v ''LC'' krogu pa vsaj na miselni ravni obravnavani ''LC'' krog idealizirajmo. S preklopom naelektrenega kondenzatorja na tuljavo v trenutku to (sl. 7.1.2), smo v kondenzatorju ujeto energijo »sprostili« v krogu s tuljavo.

[[Image:eele_slika_7_1_2_a.svg|thumb|right|Slika 7.1.2a: Pretakanje energije v krogu z idealiziranim kondenzatorjem in tuljavo]]
[[Image:eele_slika_7_1_2_b.svg|thumb|right|Slika 7.1.2b: Pretakanje energije v krogu z idealiziranim kondenzatorjem in tuljavo]]

Napetost kondenzatorja bo v času ''t''0 do ''t''1 povzročala tok skozi tuljavo. Zaradi napetosti lastne indukcije v tuljavi tok skozi tuljavo narašča postopoma oziroma zaostaja za napetostjo po že znanih pravilih.
Energija električnega polja kondenzatorja usiha in se z naraščajočim tokom pojavlja v nastajajočem magnetnem polju tuljave.

Tok praznjenja kondenzatorja doseže največjo vrednost '''''I''m''' v trenutku izpraznitve kondenzatorja (''WC'' = 0), to je v trenutku ''t''1. V trenutku ''t''1 je celotna energija električnega polja kondenzatorja prešla v energijo magnetnega polja tuljave.

Od trenutka ''t''1 naprej energija električnega polja kondenzatorja ni več vzrok toka v krogu, zato pa v času ''t''1 do ''t''2 skrbi za njegovo vzdrževanje v isti smeri energija magnetnega polja. Tako kot se je napetost lastne indukcije tuljave v času to do ''t''1 upirala naraščanju toka, se v času ''t''1 do ''t''2 upira njegovemu usihanju. Z vzdrževanjem toka v času po ''t''1 se kondenzator začne polniti v obratni smeri, energija za vzdrževanje toka pa se črpa iz magnetnega polja tuljave.

Ko energija magnetnega polja usahne (''t''2), tudi toka v krogu ni več. Kondenzator je prej oddano energijo v celoti dobil nazaj in na njem je ponovno napetost ''U'', le z obrnjeno polariteto.

Od trenutka ''t''2 naprej je energija električnega polja kondenzatorja ponovno vzrok toka v krogu, toda sedaj zaradi nasprotne polarizacije kondenzatorja tok teče v obratni smeri. Ker se pojav naprej '''periodično ponavlja''', lahko ugotovimo:

<pomembno>
*V idealiziranem krogu s kondenzatorjem in tuljavo se dovedena energija '''periodično izmenjuje''' oziroma »'''niha'''« med kondenzatorjem in tuljavo.
*Vzrok nihanja energije med kondenzatorjem in tuljavo sta '''nasprotni lastnosti''' kondenzatorja in tuljave glede načina '''shranjevanja''' in '''oddajanja''' energije.
*Posledica periodične izmenjave energije med '''kondenzatorjem''' in '''tuljavo''' sta izmenična '''tok''' in '''napetost''' v ''LC'' krogu.
</pomembno>

Zaradi ugotovljenega imenujemo krog s kondenzatorjem in tuljavo električni '''nihajni krog''', samostojno nihanje energije v krogu pa '''lastno nihanje''', frekvenco lastnega nihanja pa '''lastna frekvenca'''. Ker je za tovrstno nihanje potrebna kombinacija kapacitivnosti in induktivnosti, bomo v nadaljevanju uporabljali tudi naziv '''''LC'' nihajni krog'''. Opisano lastno nihanje energije je '''naravni''' fizikalni pojav, zato velja:

<pomembno>
*Časovna poteka izmeničnega toka '''in''' napetosti v nihajnem krogu imata '''sinusno''' obliko.
</pomembno>

{{Hierarchy footer}}

Neželeni učinki RL prehodnih pojavov

2010-05-12T15:34:27Z

Latac:

Iz slike 6.2.1 lahko razberemo:

<pomembno>
*''RL'' prehodni pojavi '''pačijo''' oblike časovnih potekov periodičnih električnih količin '''nesinusnih''' oblik.
</pomembno>

Navedena popačenja v praksi niso toliko v ospredju kot popačenja zaradi ''RC'' prehodnih pojavov, saj tuljave in induktivnosti v digitalni tehniki niso toliko prisotne kot kapacitivnosti. Bolj kot popačenja oblik so pri ''RL'' prehodnih pojavih v ospredju '''zakasnitve''' pri vklopu naprav zaradi »počasi« naraščajočega (padajočega) toka v prehodnem pojavu.

<pomembno>
*'''''RL''''' prehodni pojavi povzročajo '''zakasnitve''' pri vklopu in izklopu elektromagnetnih naprav (na primer relejev, slika 6.2.2).
</pomembno>

[[Image:eele_slika_6_2_2.svg|thumb|right|Slika 6.2.2: Zakasnitev vklopa pri relejih]]
[[Image:eele_slika_6_2_3.svg|thumb|right|Slika 6.2.3: Zaščita pred napetostnimi konicami pri izklopu releja]]

Zelo neugodne so tudi napetostne '''konice lastne indukcije''' pri izklopu ''RL'' krogov. Zaradi praktično trenutne prekinitve toka, ki pomeni zelo '''veliko hitrost''' spreminjanja toka, je trenutna napetost lastne indukcije tolikšna, da resno '''ogroža''' izolacijo navitij, še bolj pa polprevodniške elemente, če je prekinjani ''RL'' krog v elektronskem vezju.

Zato na primer pri relejih, ki so v električnem krogu s polprevodniškim elementom (slika 6.2.3), vzporedno k navitju releja priključimo polprevodniško diodo v zaporni smeri. Ker napetost lastne indukcije pri prekinitvi toka v navitju releja deluje v obratni smeri kot gonilna napetost prekinjenega toka, jo dioda "kratko sklene" in izniči njen učinek.

{{Hierarchy footer}}

Uporaba RL prehodnih pojavov

2010-05-12T15:34:06Z

Latac:

Če je časovna konstanta zaporedne ''RL'' vezave (slika 6.2.4) veliko '''večja''' od časa trajanja napetostnega impulza ''t''i na vhodu vezave, narašča tok v krogu '''v času ''t''i''' praktično '''linearno'''.

[[Image:eele_slika_6_2_4.svg|thumb|right|Slika 6.2.4]]

<pomembno>
*Na '''''RL''''' členih s '''''τ''''' >> '''''t''i''' temelji delovanje generatorjev toka s časovnim potekom '''žagaste''' oblike.
*''RL'' člene s '''''τ''''' >> '''''t''i''' imenujemo '''tokovni integratorji'''.
</pomembno>

Tokovne integratorje smo uporabljali predvsem pri magnetnih '''odklonskih sistemih''' elektronskih žarkov klasičnih TV sprejemnikov in monitorjev (odklonska navitja katodne cevi), danes pa tovrstno krmiljenje uporabljamo le še v raziskovalne namene.

Čeprav bi v osnovi z ''RL'' členi lahko realizirali podobne funkcije kot z ''RC'' členi, pa so ''RL'' prehodni pojavi za tovrstne namene zaradi tokovne narave (po prehodnem pojavu vklopa teče tok) in energijske '''požrešnosti''' najpogosteje neprimerni.

{{Hierarchy footer}}

Časovni poteki RL prehodnih pojavov

2010-05-12T15:33:52Z

Latac:

Z oblikami časovnih potekov prehodnih pojavov v ''RL'' krogih nas seznanja slika 6.2.1.

[[Image:eele_slika_6_2_1.svg|thumb|right|Slika 6.2.1: Časovni poteki prehodnih pojavov v RL krogih]]

Slika 6.2.1 nakazuje zelo podobne lastnosti prehodnih pojavov v krogih ''RL'' značaja kot v krogih ''RC'' značaja, zato bomo pot do končnih zakonitosti skrajšali ter ugotovili razlike, možnost uporabe in škodljive primere tovrstnih prehodnih pojavov.

Po vklopu ali nastopu pravokotnega napetostnega impulza v ''RL'' krogu (slika 6.2.1 a) napetost izvora povzroča naraščanje toka, ki pa se mu tuljava z napetostjo '''lastne indukcije''' upira. Začetna hitrost naraščanja toka je največja (slika 6.2.1 b), zato je tudi napetost lastne indukcije tuljave v trenutku vklopa največja in enaka napetosti izvora (slika 6.2.1 d).

<pomembno>
*'''Trenutna''' sprememba toka v ''RL'' krogih '''ni mogoča'''.
</pomembno>

Začetne vrednosti količin v '''''RL''''' prehodnem pojavu so torej ob vklopu

<latex>t\, = \,0 \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {u_L}\, =\, U\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,\,{u_R}\, =\, 0\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,i \,= \,0</latex>

S postopnim naraščanjem toka narašča tudi napetost na ohmski upornosti (''uR'' = ''i'' • ''R''), zato se mora napetost lastne indukcije na tuljavi po zakonu napetostne zanke (''U'' = ''uR'' + ''uL'') zmanjševati. Končne vrednosti količin po preteku ''RL'' prehodnega pojava po vklopu oziroma nastopu impulza so:

<latex>t \,=\, \infty \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {u_L}\, =\, 0\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_R}\, =\, U\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,i\, =\, \frac{U}{R}</latex>

Ugotovitvi o začetnih in končnih vrednostih ''RL'' prehodnega pojava ponujata še eno ugotovitev:

<pomembno>
*V trenutku vklopa enosmernega ''RL'' kroga predstavlja tuljava '''neskončno upornost''', po preteku prehodnega pojava pa (ob zanemaritvi ohmske upornosti ovojev) ''kratki stik''.
</pomembno>

Na koncu pravokotnega napetostnega impulza (po izklopu) v ''RL'' krogu se napetost lastne indukcije ponovno upira spremembi (sedaj usihanju) toka.

<pomembno>
*Energija za vzdrževanje toka po izklopu napetosti izvora v ''RL'' krogu se črpa iz '''magnetnega polja''' tuljave.
</pomembno>

Z zmanjševanjem toka v krogu se zmanjšuje tudi napetost na uporu, s počasnejšim usihanjem energije magnetnega polja pa se zmanjšuje tudi napetost lastne indukcije v tuljavi. Končne vrednosti količin po preteku prehodnega pojava po izklopu ''RL'' kroga so:

<latex>t\, =\, \infty \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {u_L}\, =\, 0\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_R}\, =\, 0\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,i \,=\, 0</latex>

V ''RL'' prehodnih pojavih se električne količine med stacionarnimi stanji spreminjajo podobno kot v ''RC'' prehodnih pojavih po '''eksponentni zakonitosti''' (slika 6.2.1), časovna konstanta ''τ'' in čas trajanja prehodnih pojavov ''t''pp pa sta odvisna od ohmske upornosti '''''R''''' in induktivnosti tuljave '''''L'''''. Za ''RL'' prehodne pojave lahko napišemo enačbo:

<latex>U\, =\, R\, \cdot\, i\, +\, L\frac{\Delta i}{\Delta t},</latex>

iz katere dobimo enačbe časovnih potekov količin v ''RL'' prehodnih pojavih (sl. 6.2.1).

<latex>\tau \, =\, \frac{L}{R}|||(s)</latex>

<latex>{t_{\rm{pp}}} \,\approx \,5\tau|||(s)</latex>

<pomembno>
*Časovna konstanta ''τ'' in praktično tudi čas trajanja ''RL'' prehodnega pojava '''''t''pp''' sta premo sorazmerna z induktivnostjo '''''L''''' in obratno sorazmerna z ohmsko upornostjo kroga '''''R'''''.
</pomembno>

V času trajanja prehodnega pojava po vklopu enosmernega ''RL'' kroga se podobno kot v ''RC'' krogih del iz generatorja odtekajoče energije na ohmski upornosti pretvarja v toploto in sprošča iz kroga, drugi del pa se shranjuje v '''magnetnem polju''' tuljave. V času prehodnega pojava iz generatorja odteče energija:

<latex>W \,= \,{I^2}L|||(Ws),</latex>

tuljava pa od te energije shrani polovico:

<latex>W \,=\, \frac{{I^2}L}{2}.</latex>

Za vzdrževanje stacionarnega stanja v tuljavi je sicer potreben stalni dotok energije, toda če le-to odštejemo, se v prehodnem pojavu po '''izklopu''' ''RL'' kroga v tuljavi shranjena energija prek toka, ki ga vzdržuje, in ohmske upornosti v obliki toplote sprosti iz električnega kroga.

{{Hierarchy footer}}

Uporaba RC prehodnih pojavov

2010-05-12T15:33:26Z

Latac:

== Časovno krmiljeno stikalo ==

S časovno konstanto ''RC'' določen časovni potek napetosti na kondenzatorju ''RC'' člena je pogosta osnova delovanja npr. '''časovno odvisnih''' tranzistorskih stikal (slika 6.1.10).

[[Image:eele_slika_6_1_10.svg|thumb|right|Slika 6.1.10: Časovno odvisno, nastavljivo tranzistorsko stikalo]]

S tranzistorskim stikalom praviloma krmilimo elektronski sklop ali močnostni rele za vklop oziroma izklop električnega porabnika, npr. svetila, ventilatorja ... Če upoštevamo, da je potreben pogoj za prevajanje tranzistorja napetost ''U''BE > 0,6 V, si lahko osnovni princip delovanje takega stikala razložimo tudi sami. V pomoč naj bo namig, da je v danem primeru časovna konstanta '''polnjenja''' kondenzatorja člena '''''R''1''C''''', ki ga prek tipke za trenutek priključimo na 12 V, zelo '''majhna''', časovna konstanta '''praznjenja''' istega kondenzatorja ('''''R''2 + ''R''p + ''R''3''') • '''C''' pa '''velika''' in nastavljiva s potenciometrom ''P''.

== Integrator in diferenciator ==

Če je časovna konstanta zaporedne ''RC'' vezave (slika 6.1.8 a) veliko večja od časa trajanja napetostnega impulza ''t''i na vhodu vezave, narašča napetost na kondenzatorju v času ''t''i praktično linearno (poskus 6.1.2 in slika 6.1.8 b).

[[Image:eele_slika_6_1_8.svg|thumb|right|Slika 6.1.8: Integrator]]

<pomembno>
*Na ''RC'' členih s '''''τ''''' >> '''''t''i''' temelji delovanje generatorjev '''krmilnih''' napetosti '''žagastih''' oblik.
*''RC'' člen s '''''τ''''' >> '''''t''i''' je »pretvornik« konstantne napetosti v linearno naraščajočo. Imenujemo ga napetostni '''integrator'''<ref>Integriranje je matematična operacija, integral '''konstante''' pa je '''linearna''' funkcija.</ref>.
</pomembno>

Če pa je časovna konstanta ''RC'' člena (slika 6.1.9 a) veliko manjša od časa trajanja napetostnega impulza ''t''i na vhodu vezave, se kondenzator v primerjavi s časom ''t''i zelo hitro napolni. Posledica le kratkotrajnega toka polnjenja kondenzatorja pa je padec napetosti na ohmski upornosti v obliki kratkotrajne '''napetostne konice''' (slika 6.1.9 b).

[[Image:eele_slika_6_1_9.svg|thumb|right|Slika 6.1.9: Diferenciator]]

<pomembno>
*Na ''RC'' členih s '''''τ''''' << '''''t''i''' temelji oblikovanje '''kratkotrajnih''' napetostnih '''impulzov''' (konic) za proženje na primer tiristorjev in triakov ter krmiljenje nekaterih digitalnih vezij.
*'''''RC''''' člen s '''''τ''''' << '''''t''i''' imenujemo '''diferenciator'''<ref>Diferenciranje je obratna matematična operacija kot integriranje, '''diferencial konstante''' pa je '''nič'''.</ref>.
</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Neželeni učinki RC prehodnih pojavov

2010-05-12T15:32:56Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 6.1.2:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 1 kΩ in kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,2 μF priključimo na generator pravokotnih impulzov 5 V / 50 Hz (sl. 6.1.5).

[[Image:eele_slika_6_1_5.svg|thumb|right|Slika 6.1.5]]

Z dvokanalnim osciloskopom opazujmo obliki napetostnih impulzov na ''RC'' členu in kondenzatorju. Opazovanje ponovimo še pri kapacitivnosti kondenzatorja 1 μF in 4,7 μF. Ugotovitve prikazuje sl. 6.1.6.

[[Image:eele_slika_6_1_6.svg|thumb|right|Slika 6.1.6: Primerjava oblik napetostnih impulzov na RC členu in kondenzatorju RC člena]]

*Oblika napetostnega impulza na kondenzatorju je popačena.
*Čim večja je časovna konstanta ''RC'' člena, tem večje je popačenje oblike napetostnega impulza na kondenzatorju.

Pri ''R'' = 1 kΩ in ''C'' = 0,2 μF ponovimo poskus s povečevanjem frekvence od 100 Hz proti 10 kHz. Učinek prikazuje sl. 6.1.7.

[[Image:eele_slika_6_1_7.svg|thumb|right|Slika 6.1.7: Vpliv frekvence (časa trajanja impulza) na obliko impulza pri stalni časovni konstanti]]
*Pri stalni časovni konstanti prehodnega pojava popačenje impulzov s frekvenco narašča.
</poskus>

<pomembno>
*Prehodni pojavi v električnih krogih z ohmsko upornostjo in kapacitivnostjo '''pačijo obliko''' časovnih potekov periodičnih električnih količin '''nesinusnih''' oblik.
*Popačenje oblike periodične količine je tem '''večje''', čim večja je '''časovna konstanta''' prehodnega pojava '''''τ''''' v primerjavi s ponavljajočim se časom '''trajanja''' električne količine '''''t''i'''.
</pomembno>

Ugotovljena popačenja, predvsem na področju '''digitalne tehnike''', lahko močno nagajajo. Delovanje '''digitalnih''' naprav (npr. računalnikov, prenos informacij v digitalni obliki, krmiljenje naprav ...) temelji namreč na '''pravokotnih napetostnih impulzih'''. Ohmske '''upornosti''' uporov in vodnikov ter '''kapacitivnosti''' kondenzatorjev in PN spojev polprevodniških elementov teh naprav pa povzročajo prehodne pojave, ki omenjene impulze pačijo.

<pomembno>
*Prehodni pojavi povzročajo '''zakasnitve''' v delovanju in '''omejujejo frekvenčno''' območje delovanja digitalnih naprav.
</pomembno>

{{Hierarchy footer}}

Časovni poteki RC prehodnih pojavov

2010-05-12T15:32:30Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 6.1.1:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 4,4 kΩ in kondenzatorja s kapacitivnostjo 1000 μF priključimo prek stikala na izvor enosmerne napetosti npr. 15 V (sl. 6.1.1 a).

[[Image:eele_slika_6_1_1.svg|thumb|right|Slika 6.1.1: Časovni potek napetosti na kondenzatorju po vklopu (t = 0)]]

Od trenutka vklopa stikala (''t'' = 0) spremljamo potek spreminjanja napetosti na kondenzatorju z odčitavanjem V-metra v časih, ki so podani v preglednici (sl. 6.1.1 b).

*Napetost na kondenzatorju narašča od 0 V in se šele po več kot 20 sekundah ustali približno na napetosti izvora.
</poskus>

V trenutku vklopa, ko je kondenzator še ni naelektren, med oblogama kondenzatorja ni napetosti, ki bi '''nasprotovala''' polnjenju kondenzatorja. V trenutku vklopa je zato celotna napetost izvora na ohmskem uporu ''R'', začetni tok polnjenja kondenzatorja pa je določen z napetostjo izvora in ohmsko upornostjo.

<pomembno>
*Prazen kondenzator pomeni v trenutku priključitve na enosmerno napetost '''kratek stik'''.
</pomembno>

<latex>t\, = \,0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_C}\, =\, 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_R}\, =\, U \,- \,{u_C}\, =\, U\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,i\, =\, \frac{U}{R}</latex>

Po določenem času se kondenzator naelektri z elektrino ''Q'' = ''C'' • ''U'', napetost na kondenzatorju pa se izenači z napetostjo izvora. Nadaljnje elektrenje kondenzatorja ni več mogoče, zato tok v krogu preneha teči:

<latex>t \,\to\,\infty \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, i \,\to\, 0\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {u_R}\, \to \,0\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{u_C}\, \to\, U</latex>

Zakonitost spreminjanja napetosti na kondenzatorju in ostalih električnih količin kroga med obema stacionarnima stanjema dobimo iz enačbe napetostne zanke:

<latex>U\, = \,{u_R} \,+\, {u_C}\, =\, iR\, + \,{u_C},</latex>

ki jo z upoštevanjem izraza za tok polnjenja kondenzatorja

<latex>i \,=\, \frac{\Delta Q}{\Delta t}\, =\, C\,\frac{\Delta {u_C}}{\Delta t}</latex>

preoblikujemo v

<latex>U\, = \,iR \,+\, {u_C}\, =\, RC\,\frac{\Delta {u_C}}{\Delta t} \,+\, {u_C}.</latex>

Iz dobljene enačbe je razvidno, da je padec napetosti na uporu premo sorazmeren s hitrostjo spreminjanja napetosti na kondenzatorju. Vemo, da je ta največja na samem začetku polnjenja kondenzatorja.

Za nadaljnje razvijanje dobljene enačbe nimamo potrebnega znanja matematike, zato se z rešitvijo enačbe<ref>diferencialna enačba, področje višje matematike</ref> le seznanimo:

<latex>{u_R} \,= \,U{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

<latex>u_C \,= \,U \,- \,u_R\, =\, U\, -\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{t}{RC}}}} \right)|||(V)</latex>

<pomembno>
*Količine se v prehodnem pojavu spreminjajo po '''eksponetni''' zakonitosti.
</pomembno>

Člen '''''e(-t/RC)''''' v enačbah odraža '''naravno''' zakonitost '''časovnega poteka''' prehodnih pojavov pri padcih napetosti na uporu in kondenzatorju. To je splošna zakonitost in velja tudi za druge vrste prehodnih pojavov. Preverimo dobljeni enačbi na začetnih in končnih vrednostih prehodnega pojava iz poskusa 6.1.1:

<latex>t \,=\, 0\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {u_R} \,=\, U\,{e^{ - \frac{0}{RC}}}\, =\, U\,{e^{ - 0}}\, = \,U\, \cdot\, 1\, =\, U\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_C}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{0}{RC}}}} \right) \,= \,U\left( {1\, -\, 1} \right) \,= \,0</latex>

<latex>t \,\to\, \infty \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_R} \,= \,U\,{e^{ - \frac{\infty }{RC}}} \,=\, U\,{e^{ - \infty }} \,=\, U \,\cdot\, 0\, = \,0\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_C}\, = \,U\,\left( {1 \,-\, {e^{ - \frac{\infty }{RC}}}} \right)\, =\, U\,\left( {1\, -\, 0} \right) \,= \,U</latex>

<pomembno>
*Po priključitvi zaporedne vezave upora in kondenzatorja na enosmerno napetost narašča '''napetost''' na '''kondenzatorju''' '''''uC''''' od '''0 V''' na napetost '''izvora''' po '''eksponentni''' zakonitosti.
*Po priključitvi zaporedne ''RC'' vezave na enosmerno napetost '''pada''' '''napetost na uporu''' od napetosti izvora proti 0 V po eksponentni zakonitosti.
</pomembno>

Tok v krogu v času polnjenja kondenzatorja je premo sorazmeren z napetostjo na uporu:

<latex>i\, =\, \frac{u_R}{R} \,=\, \frac{U{e^{ - \frac{t}{RC}}}}{R} \,= \,\frac{U}{R}{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(A)</latex>

Preverimo začetni in končni tok:

<latex>t \,=\, 0 \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, i\, =\, \frac{U}{R}{e^{ - \frac{0}{RC}}}\, =\, \frac{U}{R} \,\cdot\, 1\, =\, \frac{U}{R}</latex>

<latex>t \,\to\, \infty \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, i \,=\, \frac{U}{R}{e^{ - \frac{\infty }{RC}}} \,=\, \frac{U}{R} \,\cdot\, 0 \,= \,0</latex>

<pomembno>
*Tok polnjenja kondenzatorja pada od začetne vrednosti ''U'' /''R'' proti nič po '''eksponentni''' zakonitosti.
</pomembno>

V imenovalcu eksponenta vseh izrazov količin v prehodnem pojavu je produkt ''RC''. Poglejmo, čemu je enak produkt pripadajočih enot:

<latex>\Omega \, \cdot \,{\rm{F}}\, =\, \frac{\rm{V}}{\rm{A}} \,\cdot \,\frac{\rm{As}}{\rm{V}} \,=\, {\rm{s}}</latex>

<pomembno>
Produkt ''RC'' ima dimenzijo časa. Imenujemo ga '''časovna konstanta''' prehodnega pojava ('''''τ''''').
</pomembno>

<latex>{\tau \, =\, RC}|||(s)</latex>

Vstavimo v enačbo prehodnega pojava, npr. napetosti na kondenzatorju in uporu čas ''t'', ki je enak časovni konstanti prehodnega pojava ''τ'':

<latex>t \,= \,\tau \, = \,RC \,{\rm{:}}</latex>

<latex>{u_R}\,= \,U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}\, =\, U\,{e^{ - \frac{RC}{RC}}} \,=\, U\,{e^{ - 1}}\, =\, U\,\frac{1}{\rm{2,71}}\, \approx\, {\rm{0,37}}\,U\,\,\,\,\,{\rm{ali}}\,\,\,\,\,37\,\% \,U</latex>

<latex>{u_C}\, =\, U \,- \,{u_R}\, =\, U \,- \,U\,{e^{ - \frac{RC}{RC}}}\, =\, U\, -\, {\rm{0,37}}\,U \,\approx \,{\rm{0,63}}\,U\,\,\,\,\,{\rm{ali}}\,\,\,\,\,63\,\%\, U</latex>

<pomembno>
*Po času ''t'' = ''τ'' vrednost količin v prehodnem pojavu '''naraste''' na '''63 %''' '''končne''' vrednosti ali '''pade''' na '''37 % začetne''' vrednosti.
</pomembno>

Čeprav prehodni pojav izzveni šele po času ''t'' → ∞, pa računsko in tudi z merjenjem (poskus 6.1.1) lahko ugotovimo, da se prehodni pojav praktično konča po času ≈ '''5''τ''''' , ko vrednost količine v prehodnem pojavu naraste na praktično '''99,5 %''' končne ali pade na '''0,5 %''' začetne vrednosti.

<pomembno>
*Prehodni pojavi trajajo '''''t''pp ≈ 5 ''τ''''' .
*Trajanje prehodnih pojavov v ''RC'' krogih je praktično '''premo sorazmerno''' z upornostjo upora '''''R''''' in kapacitivnostjo kondenzatorja '''''C'''''.
</pomembno>

Podobno kot pri polnjenju bi dobili enačbe časovnih potekov količin v prehodnem pojavu pri praznjenju kondenzatorja prek upornosti ''R'' (slika 6.1.2). Ker je bil kondenzator naelektren, ima pri praznjenju po sliki 6.1.3 vlogo izvora napetosti, ki poganja tok v električnem krogu v obratni smeri kot pri polnjenju. Napetosti na kondenzatorju in uporu sta si do izpraznitve kondenzatorja po velikosti '''enaki''' in '''nasprotno''' usmerjeni.

[[Image:eele_slika_6_1_2.svg|thumb|right|Slika 6.1.2: Praznjenje kondenzatorja prek ohmske upornosti]]

[[Image:eele_slika_6_1_3.svg|thumb|right|Slika 6.1.3: Časovni potek napetosti praznjenja kondenzatorja]]

<latex>{u_C}\, =\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

<latex>{u_R}\, =\, - U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

in

<latex>i\, =\, - \frac{U}{R}{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(A)</latex>

Zaradi boljše preglednosti nad ugotovljenim povzemimo značilnosti prehodnih pojavov v ''RC'' krogih s sliko 6.1.4.

[[Image:eele_slika_6_1_4.svg|thumb|right|Slika 6.1.4: Prehodni pojavi v "RC" krogih]]

Poglejmo še, kaj se v prehodnem pojavu dogaja z energijo. Pri polnjenju kondenzatorja se del energije, ki odteka iz generatorja, na ohmski upornosti ''R'' pretvarja v '''toplotno energijo''' in sprošča iz električnega kroga, drugi del pa se kopiči v električnem polju kondenzatorja. V času polnjenja kondenzatorja odteče tako iz generatorja energija:

<latex>W \,=\, C{U^2}|||(Ws)</latex>

kondenzator pa od te, zaradi delne pretvorbe v toploto, shrani le polovico:

<latex>W \,=\, \frac{C{U^2}}{2}|||(Ws)</latex>

Pri praznjenju kondenzatorja na način, ki ga prikazuje slika 6.1.3, se tudi v električnem polju kondenzatorja shranjena energija v obliki toplote prek iste ohmske upornosti ''R'' sprosti iz električnega kroga.

'''Primera:'''

<primer>
1. Zaporedno vezavo upora z upornostjo 2 kΩ in kondenzatorja s kapacitivnostjo 4,7 μF priključimo na enosmerno napetost 12 V. Izračunaj časovno konstanto in čas trajanja prehodnega pojava v krogu ter napetost na kondenzatorju po času '''''τ''''' in 20 ms.|||

<latex>\tau \, = \,RC \,= \,2 \,\cdot\, {10^3} \,\cdot \, {\rm{4,7}} \,\cdot \,{10^{-6}}\, =\, {\rm{9,4\,ms}}</latex>

<latex>{t_{\rm{pp}}} \,= \,5\tau \, = \,5 \,\cdot\, {\rm{9,4}} \,=\, 47\,{\rm{ms}}</latex>

<latex>t \,=\, \tau \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {u_C}\, =\, {\rm{0,63}}\,U\, = \,{\rm{0,63}}\, \cdot\, 12\, =\, {\rm{7,56\,V}}</latex>

<latex>t \,=\, 20\,{\rm{ms}} \,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,{u_C}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{t}{RC}}}} \right) \,= \,12\,\left( {1 \,-\, {e^{ - \frac{20}{\rm{9,4}}}}} \right)\, = \,12\,\left( {1\, -\, {\rm{0,12}}} \right)\, = \,{\rm{10,5\,V}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Kolikšna mora biti upornost upora zaporedno vezanega s kondenzatorjem, katerega kapacitivnost je 1 μF, če želimo, da napetost na uporu po 0,5 ms po priključitvi vezave na enosmerno napetost 6 V, pade na 2 V? Kolikšen je tok ob vklopu?|||

<latex>{u_R}\, =\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}</latex>

<latex>\ln {u_R}\, = \,\ln U \,- \,\frac{t}{RC}\, \cdot\, \ln e \,= \,\ln U\, -\, \frac{t}{RC} \,\cdot\, 1</latex>

<latex>\frac{t}{RC}\, =\, \ln U \,- \,\ln {u_R}\, =\, ln\frac{U}{u_R}\, =\, ln\frac{6}{2} \,= \,\ln 3\, = {\rm{1,098}}</latex>

<latex>R\, =\, \frac{t}{{\rm{1,098}}C} \,=\, \frac{{\rm{0,5}}\, \cdot \,{10}^{ - 3}}{{\rm{1,098}} \,\cdot\, 1\, \cdot\, {10}^{ - 6}}\, = \,455\,\Omega </latex>

<latex>t \,=\, 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,i\, =\, \frac{U}{R}\, = \,\frac{6}{455} \,= \,12\,{\rm{mA}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Časovni poteki RC prehodnih pojavov

2010-05-12T15:30:35Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 6.1.1:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 4,4 kΩ in kondenzatorja s kapacitivnostjo 1000 μF priključimo prek stikala na izvor enosmerne napetosti npr. 15 V (sl. 6.1.1 a).

Slika 6.1.1: Časovni potek napetosti na kondenzatorju po vklopu (''t'' = 0)
[[Image:eele_slika_6_1_1.svg|thumb|right|Slika 6.1.1: Časovni potek števila vrtljajev po vklopu in izklopu elektromotorja]]

Od trenutka vklopa stikala (''t'' = 0) spremljamo potek spreminjanja napetosti na kondenzatorju z odčitavanjem V-metra v časih, ki so podani v preglednici (sl. 6.1.1 b).

*Napetost na kondenzatorju narašča od 0 V in se šele po več kot 20 sekundah ustali približno na napetosti izvora.
</poskus>

V trenutku vklopa, ko je kondenzator še ni naelektren, med oblogama kondenzatorja ni napetosti, ki bi '''nasprotovala''' polnjenju kondenzatorja. V trenutku vklopa je zato celotna napetost izvora na ohmskem uporu ''R'', začetni tok polnjenja kondenzatorja pa je določen z napetostjo izvora in ohmsko upornostjo.

<pomembno>
*Prazen kondenzator pomeni v trenutku priključitve na enosmerno napetost '''kratek stik'''.
</pomembno>

<latex>t\, = \,0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_C}\, =\, 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_R}\, =\, U \,- \,{u_C}\, =\, U\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,i\, =\, \frac{U}{R}</latex>

Po določenem času se kondenzator naelektri z elektrino ''Q'' = ''C'' • ''U'', napetost na kondenzatorju pa se izenači z napetostjo izvora. Nadaljnje elektrenje kondenzatorja ni več mogoče, zato tok v krogu preneha teči:

<latex>t \,\to\,\infty \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, i \,\to\, 0\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {u_R}\, \to \,0\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{u_C}\, \to\, U</latex>

Zakonitost spreminjanja napetosti na kondenzatorju in ostalih električnih količin kroga med obema stacionarnima stanjema dobimo iz enačbe napetostne zanke:

<latex>U\, = \,{u_R} \,+\, {u_C}\, =\, iR\, + \,{u_C},</latex>

ki jo z upoštevanjem izraza za tok polnjenja kondenzatorja

<latex>i \,=\, \frac{\Delta Q}{\Delta t}\, =\, C\,\frac{\Delta {u_C}}{\Delta t}</latex>

preoblikujemo v

<latex>U\, = \,iR \,+\, {u_C}\, =\, RC\,\frac{\Delta {u_C}}{\Delta t} \,+\, {u_C}.</latex>

Iz dobljene enačbe je razvidno, da je padec napetosti na uporu premo sorazmeren s hitrostjo spreminjanja napetosti na kondenzatorju. Vemo, da je ta največja na samem začetku polnjenja kondenzatorja.

Za nadaljnje razvijanje dobljene enačbe nimamo potrebnega znanja matematike, zato se z rešitvijo enačbe<ref>diferencialna enačba, področje višje matematike</ref> le seznanimo:

<latex>{u_R} \,= \,U{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

<latex>u_C \,= \,U \,- \,u_R\, =\, U\, -\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{t}{RC}}}} \right)|||(V)</latex>

<pomembno>
*Količine se v prehodnem pojavu spreminjajo po '''eksponetni''' zakonitosti.
</pomembno>

Člen '''''e(-t/RC)''''' v enačbah odraža '''naravno''' zakonitost '''časovnega poteka''' prehodnih pojavov pri padcih napetosti na uporu in kondenzatorju. To je splošna zakonitost in velja tudi za druge vrste prehodnih pojavov. Preverimo dobljeni enačbi na začetnih in končnih vrednostih prehodnega pojava iz poskusa 6.1.1:

<latex>t \,=\, 0\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, {u_R} \,=\, U\,{e^{ - \frac{0}{RC}}}\, =\, U\,{e^{ - 0}}\, = \,U\, \cdot\, 1\, =\, U\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_C}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{0}{RC}}}} \right) \,= \,U\left( {1\, -\, 1} \right) \,= \,0</latex>

<latex>t \,\to\, \infty \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{u_R} \,= \,U\,{e^{ - \frac{\infty }{RC}}} \,=\, U\,{e^{ - \infty }} \,=\, U \,\cdot\, 0\, = \,0\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,{u_C}\, = \,U\,\left( {1 \,-\, {e^{ - \frac{\infty }{RC}}}} \right)\, =\, U\,\left( {1\, -\, 0} \right) \,= \,U</latex>

<pomembno>
*Po priključitvi zaporedne vezave upora in kondenzatorja na enosmerno napetost narašča '''napetost''' na '''kondenzatorju''' '''''uC''''' od '''0 V''' na napetost '''izvora''' po '''eksponentni''' zakonitosti.
*Po priključitvi zaporedne ''RC'' vezave na enosmerno napetost '''pada''' '''napetost na uporu''' od napetosti izvora proti 0 V po eksponentni zakonitosti.
</pomembno>

Tok v krogu v času polnjenja kondenzatorja je premo sorazmeren z napetostjo na uporu:

<latex>i\, =\, \frac{u_R}{R} \,=\, \frac{U{e^{ - \frac{t}{RC}}}}{R} \,= \,\frac{U}{R}{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(A)</latex>

Preverimo začetni in končni tok:

<latex>t \,=\, 0 \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, i\, =\, \frac{U}{R}{e^{ - \frac{0}{RC}}}\, =\, \frac{U}{R} \,\cdot\, 1\, =\, \frac{U}{R}</latex>

<latex>t \,\to\, \infty \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, i \,=\, \frac{U}{R}{e^{ - \frac{\infty }{RC}}} \,=\, \frac{U}{R} \,\cdot\, 0 \,= \,0</latex>

<pomembno>
*Tok polnjenja kondenzatorja pada od začetne vrednosti ''U'' /''R'' proti nič po '''eksponentni''' zakonitosti.
</pomembno>

V imenovalcu eksponenta vseh izrazov količin v prehodnem pojavu je produkt ''RC''. Poglejmo, čemu je enak produkt pripadajočih enot:

<latex>\Omega \, \cdot \,{\rm{F}}\, =\, \frac{\rm{V}}{\rm{A}} \,\cdot \,\frac{\rm{As}}{\rm{V}} \,=\, {\rm{s}}</latex>

<pomembno>
Produkt ''RC'' ima dimenzijo časa. Imenujemo ga '''časovna konstanta''' prehodnega pojava ('''''τ''''').
</pomembno>

<latex>{\tau \, =\, RC}|||(s)</latex>

Vstavimo v enačbo prehodnega pojava, npr. napetosti na kondenzatorju in uporu čas ''t'', ki je enak časovni konstanti prehodnega pojava ''τ'':

<latex>t \,= \,\tau \, = \,RC \,{\rm{:}}</latex>

<latex>{u_R}\,= \,U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}\, =\, U\,{e^{ - \frac{RC}{RC}}} \,=\, U\,{e^{ - 1}}\, =\, U\,\frac{1}{\rm{2,71}}\, \approx\, {\rm{0,37}}\,U\,\,\,\,\,{\rm{ali}}\,\,\,\,\,37\,\% \,U</latex>

<latex>{u_C}\, =\, U \,- \,{u_R}\, =\, U \,- \,U\,{e^{ - \frac{RC}{RC}}}\, =\, U\, -\, {\rm{0,37}}\,U \,\approx \,{\rm{0,63}}\,U\,\,\,\,\,{\rm{ali}}\,\,\,\,\,63\,\%\, U</latex>

<pomembno>
*Po času ''t'' = ''τ'' vrednost količin v prehodnem pojavu '''naraste''' na '''63 %''' '''končne''' vrednosti ali '''pade''' na '''37 % začetne''' vrednosti.
</pomembno>

Čeprav prehodni pojav izzveni šele po času ''t'' → ∞, pa računsko in tudi z merjenjem (poskus 6.1.1) lahko ugotovimo, da se prehodni pojav praktično konča po času ≈ '''5''τ''''' , ko vrednost količine v prehodnem pojavu naraste na praktično '''99,5 %''' končne ali pade na '''0,5 %''' začetne vrednosti.

<pomembno>
*Prehodni pojavi trajajo '''''t''pp ≈ 5 ''τ''''' .
*Trajanje prehodnih pojavov v ''RC'' krogih je praktično '''premo sorazmerno''' z upornostjo upora '''''R''''' in kapacitivnostjo kondenzatorja '''''C'''''.
</pomembno>

Podobno kot pri polnjenju bi dobili enačbe časovnih potekov količin v prehodnem pojavu pri praznjenju kondenzatorja prek upornosti ''R'' (slika 6.1.2). Ker je bil kondenzator naelektren, ima pri praznjenju po sliki 6.1.3 vlogo izvora napetosti, ki poganja tok v električnem krogu v obratni smeri kot pri polnjenju. Napetosti na kondenzatorju in uporu sta si do izpraznitve kondenzatorja po velikosti '''enaki''' in '''nasprotno''' usmerjeni.

[[Image:eele_slika_6_1_2.svg|thumb|right|Slika 6.1.2: Praznjenje kondenzatorja prek ohmske upornosti]]

[[Image:eele_slika_6_1_3.svg|thumb|right|Slika 6.1.3: Časovni potek napetosti praznjenja kondenzatorja]]

<latex>{u_C}\, =\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

<latex>{u_R}\, =\, - U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(V)</latex>

in

<latex>i\, =\, - \frac{U}{R}{e^{ - \frac{t}{RC}}}|||(A)</latex>

Zaradi boljše preglednosti nad ugotovljenim povzemimo značilnosti prehodnih pojavov v ''RC'' krogih s sliko 6.1.4.

[[Image:eele_slika_6_1_4.svg|thumb|right|Slika 6.1.4: Prehodni pojavi v "RC" krogih]]

Poglejmo še, kaj se v prehodnem pojavu dogaja z energijo. Pri polnjenju kondenzatorja se del energije, ki odteka iz generatorja, na ohmski upornosti ''R'' pretvarja v '''toplotno energijo''' in sprošča iz električnega kroga, drugi del pa se kopiči v električnem polju kondenzatorja. V času polnjenja kondenzatorja odteče tako iz generatorja energija:

<latex>W \,=\, C{U^2}|||(Ws)</latex>

kondenzator pa od te, zaradi delne pretvorbe v toploto, shrani le polovico:

<latex>W \,=\, \frac{C{U^2}}{2}|||(Ws)</latex>

Pri praznjenju kondenzatorja na način, ki ga prikazuje slika 6.1.3, se tudi v električnem polju kondenzatorja shranjena energija v obliki toplote prek iste ohmske upornosti ''R'' sprosti iz električnega kroga.

'''Primera:'''

<primer>
1. Zaporedno vezavo upora z upornostjo 2 kΩ in kondenzatorja s kapacitivnostjo 4,7 μF priključimo na enosmerno napetost 12 V. Izračunaj časovno konstanto in čas trajanja prehodnega pojava v krogu ter napetost na kondenzatorju po času '''''τ''''' in 20 ms.|||

<latex>\tau \, = \,RC \,= \,2 \,\cdot\, {10^3} \,\cdot \, {\rm{4,7}} \,\cdot \,{10^{-6}}\, =\, {\rm{9,4\,ms}}</latex>

<latex>{t_{\rm{pp}}} \,= \,5\tau \, = \,5 \,\cdot\, {\rm{9,4}} \,=\, 47\,{\rm{ms}}</latex>

<latex>t \,=\, \tau \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {u_C}\, =\, {\rm{0,63}}\,U\, = \,{\rm{0,63}}\, \cdot\, 12\, =\, {\rm{7,56\,V}}</latex>

<latex>t \,=\, 20\,{\rm{ms}} \,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,{u_C}\, =\, U\,\left( {1\, -\, {e^{ - \frac{t}{RC}}}} \right) \,= \,12\,\left( {1 \,-\, {e^{ - \frac{20}{\rm{9,4}}}}} \right)\, = \,12\,\left( {1\, -\, {\rm{0,12}}} \right)\, = \,{\rm{10,5\,V}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Kolikšna mora biti upornost upora zaporedno vezanega s kondenzatorjem, katerega kapacitivnost je 1 μF, če želimo, da napetost na uporu po 0,5 ms po priključitvi vezave na enosmerno napetost 6 V, pade na 2 V? Kolikšen je tok ob vklopu?|||

<latex>{u_R}\, =\, U\,{e^{ - \frac{t}{RC}}}</latex>

<latex>\ln {u_R}\, = \,\ln U \,- \,\frac{t}{RC}\, \cdot\, \ln e \,= \,\ln U\, -\, \frac{t}{RC} \,\cdot\, 1</latex>

<latex>\frac{t}{RC}\, =\, \ln U \,- \,\ln {u_R}\, =\, ln\frac{U}{u_R}\, =\, ln\frac{6}{2} \,= \,\ln 3\, = {\rm{1,098}}</latex>

<latex>R\, =\, \frac{t}{{\rm{1,098}}C} \,=\, \frac{{\rm{0,5}}\, \cdot \,{10}^{ - 3}}{{\rm{1,098}} \,\cdot\, 1\, \cdot\, {10}^{ - 6}}\, = \,455\,\Omega </latex>

<latex>t \,=\, 0\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,i\, =\, \frac{U}{R}\, = \,\frac{6}{455} \,= \,12\,{\rm{mA}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Prehodni pojavi

2010-05-12T15:29:39Z

Latac:

Elektromotor po vklopu zaradi vztrajnosti rotorja in obremenitve doseže nazivno število vrtljajev šele po določenem času. Podobno je s speljevanjem na primer avtomobila ali vlaka in v vseh treh primerih tudi ustavljanje ni izvedljivo kar v trenutku.

V navedenih in podobnih primerih imamo opraviti s '''spremembami oblike''' in '''velikosti energije''', torej '''energijskega stanja''' telesa ali naprave.

<pomembno>
*Za '''spremembo energijskega stanja''' je potreben določen '''čas'''.
</pomembno>

Spremembe energijskih stanj so rezultat '''spreminjanja''' fizikalnih količin, kot so na primer '''hitrost''' gibanja, vrtenja, '''temperature''', '''pritiska''' in podobno, v elektrotehniki pa predvsem '''naelektrenosti''', '''magnetnih polj''', '''toka''' ...

Približni časovni potek števila vrtljajev elektromotorja po vklopu in izklopu prikazuje slika 6.1, časovni poteki drugih količin pa imajo pri spreminjanju energijskih stanj podobno obliko.

[[Image:eele_slika_6_1.svg|thumb|right|Slika 6.1: Časovni potek števila vrtljajev po vklopu in izklopu elektromotorja]]

<pomembno>
*Stanje fizikalne količine, ki se '''ne spreminja''', imenujemo '''stacionarno''' stanje.
*Pojave, ki spremljajo prehod fizikalne količine iz enega stacionarnega stanja v drugo, imenujemo '''prehodni''' pojavi.
*Vrednosti fizikalne količine na '''začetku''' in '''koncu''' prehodnega pojava imenujemo '''začetne''' in '''končne''' ali tudi '''robne''' vrednosti količine v prehodnem pojavu.
</pomembno>

Prehodna pojava, ki ju kaže slika 6.1, sta pojava postopnega spreminjanja števila vrtljajev po vklopu in izklopu motorja, stacionarni stanji prehodnih pojavov pa sta ''n'' = 0 in ''n'' = ''nn''.

Prehodni pojavi v elektrotehniki so pojavi, ki spremljajo spreminjanje predvsem energije '''električnih''' in '''magnetnih''' polj. S primeri le-teh se najpreprosteje seznanimo v krogih z upori, kondenzatorji in tuljavami.

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator z obremenitvijo

2010-05-12T15:29:16Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 5.3.2:'''

Na sekundarno navitje transformatorja iz poskusa 5.3.1 priključimo prek A-metra porabnik z ohmsko upornostjo ''R'', pri kateri bo po priključitvi primarnega navitja na nazivno napetost ''U''1N v porabniku nazivni tok ''I''2N (sl. 5.3.5). Tudi v tem primeru merimo moč na primarni strani.

[[Image:eele_slika_5_3_5.svg|thumb|right|Slika 5.3.5: Merjenje količin obremenjenega realnega transformatorja]]

*Moč primarne strani se v primerjavi z močjo neobremenjenega transformatorja, '''poveča'''.
</poskus>

V primeru idealnega transformatorja bi napetost lastne indukcije ''U''i1 po obremenitvi transformatorja ostala po velikosti '''enaka''' primarni napetosti ''U''1.

<pomembno>
*Amperni ovoji primarne strani ''I''0 • ''N''1 in magnetni pretok ''Ф'' ostanejo po obremenitvi '''idealiziranega''' transformatorja '''nespremenjeni'''.
</pomembno>

Ker je po Lenzovem pravilu smer sekundarnega toka taka, da amperni ovoji sekundarne strani ''I''2 • ''N''2 '''nasprotujejo''' ampernim ovojem primarne strani, mora primarni tok po obremenitvi idealiziranega transformatorja '''narasti''' na '''''I''1''', pri katerem bodo '''skupni''' amperni ovoji '''primarne''' strani ostali enaki ampernim ovojem primarne strani pred obremenitvijo transformatorja. Za idealizirani transformator torej lahko napišemo enačbo magnetnih napetosti:

<latex>{I_1}{N_1}\, -\, {I_2}{N_2} \,= \,{I_0}{N_1},</latex>

z deljenjem leve in desne strani z ''N''1 in ureditvi enačbe pa dobimo:

<latex>{I_1} \,=\, {I_0} \,+\, \frac{I_2}{n}</latex>

<pomembno>
*Primarni tok '''obremenjenega''' idealiziranega transformatorja je enak vsoti '''primarnega''' toka '''neobremenjenega''' transformatorja '''''I''0''' in na primarno stran '''reduciranega sekundarnega''' toka '''''I''2''' / '''''n'''''.
</pomembno>

Če upoštevamo dobljeno tokovno enačbo idealiziranega transformatorja, ohmsko upornost primarnega navitja ''R''Cu1, na primarno stran reducirano ohmsko upornost sekundarnega navitja ''n''2 • ''R''Cu2 in breme ''n''2 • ''Z''0 ter če zanemarimo stresani magnetni pretok, lahko narišemo za večino transformatorjev sprejemljivo nadomestno vezavo realnega, obremenjenega transformatorja in pripadajoči kazalčni diagram (slika 5.3.6). Kazalčni diagram je narisan za primer ohmsko-induktivnega značaja bremena ''Z''.

[[Image:eele_slika_5_3_6.svg|thumb|right|Slika 5.3.6: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega obremenjenega transformatorja]]

Nadomestna vezava in kazalčni diagram na sl. 5.3.6 imata za nas zgolj '''informativni''' pomen. Zgovorno pa povesta, da je upoštevanje realnosti lahko veliko zahtevnejše opravilo od obravnave izmeničnih krogov v idealiziranih razmerah. Kljub temu pa lahko na osnovi dobljenega kazalčnega diagrama in primerjave s kazalčnim diagramom neobremenjenega transformatorja ugotovimo zanimivo dejstvo. Napetost izvora ''U''1 je namreč enaka geometrični vsoti padca napetosti ''U''i1 in padca napetosti na ohmski upornosti navitja ''U''Cu1:

<pomembno>
*Z obremenitvijo '''realnega''' transformatorja se '''napetost lastne indukcije''' v '''primarnem''' navitju nekoliko '''zmanjša'''.
</pomembno>

Zmanjšanje napetosti ''U''i1 pomeni tudi manjši magnetni pretok ''Ф'', zato velja:

<pomembno>
*Izgube energije v '''jedru''' realnega, '''obremenjenega''' transformatorja so nekoliko '''manjše''' od izgub v jedru realnega '''neobremenjenega''' transformatorja.
</pomembno>

Zaradi bistveno večjega primarnega in sekundarnega toka izguba energije v navitjih obremenjenega realnega transformatorja '''nista''' več zanemarljivi.

<latex>{P_{Cu}} \,=\, I_1^2{R_{Cu1}} \,+\, I_2^2{R_{Cu2}}</latex>

Iz kazalčnega diagrama na sliki 5.3.6 lahko ugotovimo, da obremenitev transformatorja vpliva tudi na fazni kot ''φ''1 med primarno napetostjo in primarnim tokom.

<pomembno>
*'''Ohmska''' obremenitev transformatorja povzroči '''zmanjšanje''' faznega kota na primarni strani, induktivna obremenitev '''povečanje''', ohmsko-kapacitivna ali kapacitivna obremenitev pa lahko poleg '''zmanjšanja''' povzroči tudi '''spremembo predznaka''' faznega kota.
</pomembno>

Za lažjo nadaljnjo obravnavo obremenjenega transformatorja naredimo še poskus s kratko sklenjenim transformatorjem:

<poskus>
'''Poskus 5.3.3:'''

Transformatorju iz prejšnjih poskusov kratko sklenimo sponke sekundarnega navitja, primarno navitje pa prek merilnikov (sl. 5.3.7) priključimo na izvor nastavljive izmenične napetosti.

[[Image:eele_slika_5_3_7.svg|thumb|right|Slika 5.3.7: Merjenje električnih količin transformatorja v kratkem stiku]]

Napetost ''U''1 počasi povečujmo od 0 V, dokler A-metra ne pokažeta, da sta v navitjih nazivna toka ''I''1N in ''I''2N.

*Pri kratko sklenjenem sekundarnem navitju sta v navitjih nazivna toka pri primarni napetosti, ki je veliko nižja od nazivne.
*W-meter kaže določeno moč, čeprav na sekundarni strani ni moči.
</poskus>

<pomembno>
*'''Primarno''' napetost, ki pri kratko sklenjenem sekundarnem navitju povzroči v navitjih '''nazivna toka''', imenujemo '''kratkostična napetost''' transformatorja ('''''U''k''').
</pomembno>

V praksi je kratkostična napetost transformatorjev ''U''k praviloma le '''3''' do '''15 %''' nazivne primarne napetosti ''U''1N in sodi med nazivne podatke transformatorjev.

Ker je ''U''k << ''U''1N, so tudi magnetilni tok, magnetni pretok in posledično izgube energije v Fe jedru pri ''U''k '''veliko manjši''' kot pri nazivni primarni napetosti ''U''1N in nazivni obremenitvi transformatorja. Toka transformatorja pa sta '''nazivna''', zato so izgube v Fe jedru pri ''U''1 = ''U''k v primerjavi z izgubami v Cu navitju praviloma zanemarljive.

<pomembno>
*Pri kratko sklenjenem sekundarnem navitju kaže W-meter v primarnem krogu pri ''U''1 = ''U''k '''izgubo moči''' v '''navitjih''' transformatorja.
</pomembno>

Navedeno izgubo moči v navitjih povzročata '''nazivna''' toka ''I''1N in ''I''2N, torej toka '''nazivne moči obremenjenega''' transformatorja. Če zadnjo ugotovitev povežemo z ugotovitvijo glede izgub transformatorja v prostem teku, lahko zaključimo:

<pomembno>
*Izgubno moč '''nazivno obremenjenega''' transformatorja lahko v večini primerov dovolj točno določimo kot vsoto izgubnih moči transformatorja v '''prostem teku''' (izgubne moči v Fe jedru) in transformatorja s '''kratko sklenjenim''' sekundarnim navitjem pri ''U''1 = ''U''k (izgubne moči v Cu navitju).
</pomembno>

<latex>P \,=\, {P_{\rm{Fe}}}\, +\, {P_{\rm{Cu}}}</latex>

Tako ugotovljeni izgubi moči krojita '''izkoristek''' transformatorja:

<latex>\eta \, =\, \frac{P_2}{P_1}\, =\, \frac{P_2}{{P_2} \,+\, P}</latex>

ali

<latex>\eta \, =\, \frac{P_2}{{P_2} \,+\, {P_{\rm{Fe}}}\, +\, {P_{\rm{Cu}}}}</latex>

V praksi so izkoristki transformatorjev med približno '''0,7''' (transformatorji majhnih moči, predvsem na področju elektronike) in '''0,99''' (transformatorji velikih moči na področju elektroenergetike).

In kaj če transformatorju kratko sklenemo sekundarno navitje pri nazivni napetosti primarja ''U''1N? '''Raje ne!''' Magnetilni tok in magnetni pretok transformatorja sta pri ''U''1N bistveno večja kot pri ''U''k, kar v navitjih povzroči toka, katerih jakosti bosta veliko večji (tudi do 33 krat!)<ref>Pri ''U''k 3 % ''U''1N</ref> od nazivnih. Toplotne izgube v jedru in navitjih zaradi le-teh transformator v kratkem času '''segrejejo do uničenja''', zaradi mehanskih sil pa se lahko transformatorsko navitje poškoduje ali tudi raztrga.

S konstrukcijskimi prijemi lahko dosežemo ''U''k > 0.5 ''U''1N. Pri takih transformatorjih (varilni, zvončni ... ) kratkostični tok ne pomeni več nevarnosti za uničenje transformatorja, saj '''ne preseže dvakratne vrednosti nazivnih tokov'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator v praznem teku

2010-05-12T15:28:43Z

Latac:

O neobremenjenem transformatorju ali tudi transformatorju v praznem teku govorimo takrat, ko je primarno navitje transformatorja priključeno na izvor izmenične napetosti, sekundarni krog pa '''ni sklenjen''' (slika 5.3.2).

[[Image:eele_slika_5_3_2.svg|thumb|right|Slika 5.3.2: Transformator v praznem teku]]

<poskus>
'''Poskus 5.3.1:'''

Transformator z nazivnimi podatki npr. 230 V / 12 V, 40 W priključimo prek merilnikov (sl. 5.3.3) na omrežno napetost.

[[Image:eele_slika_5_3_3.svg|thumb|right|Slika 5.3.3 Merjenje električnih količin transformatorja v praznem teku]]

*V primarnem navitju transformatorja je tok '''''I''0'''.
*W-meter kaže določeno delovno moč '''''P''0'''.

</poskus>

Kljub temu da ni odjema moči na sekundarni strani transformatorja, le-ta '''obremenjuje''' izvor napetosti z navidezno močjo:

<latex>{S_0} \,=\, {U_1}{I_0}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,delovno\,\,mocjo}}\,\,\,\,\,{P_0}.</latex>

Vzrok delovne moči ''P''0 so pri tem '''izgube''' v obliki '''toplotne''' energije v navitju in jedru, ki smo jih pri obravnavi realnih navitij že spoznali.

'''Primer:'''

<primer>
Pri transformatorju s primarno nazivno napetostjo ''U''1 = 230 V smo z vezavo merilnikov po sliki 5.3.3 izmerili v praznem teku transformatorja ''I''0 = 0,22 A in ''P''0 = 18 W ter z Ω-metrom upornost primarnega navitja ''R''Cu = 2,43 Ω. Izračunaj in primerjaj med seboj izgube v navitju in Fe jedru!|||

<latex>{P_{0Cu}}\, =\, I_0^2{R_{Cu}} \,= \,{{\rm{0,22}}^2}\, \cdot\, {\rm{2,43}} \,=\, {\rm{0,118\,W}} \,=\, {\rm{0,65}}\,\% \,{P_0}</latex>

<latex>{P_{0Fe}} \,=\, {P_0} \,- \,{P_{0Cu}}\, =\, 18\, -\, {\rm{0,118}} \,=\, {\rm{17,88\,W}} \,=\, {\rm{99,35}}\,\%\, {P_0}</latex>

</primer>

Izgube moči v bakrenem navitju so v praznem teku v primerjavi z izgubami v železnem jedru '''energetskih''' transformatorjev praviloma '''zanemarljive'''. Ker se navedeno razmerje ne spremeni tudi po obremenitvi transformatorja, velja:

<pomembno>
*Z merjenjem izgubne moči transformatorja v praznem teku dejansko merimo '''izgubno moč''' v '''železnem jedru'''.
</pomembno>

Ob '''zanemarjanju''' izgub v '''navitju''' in delnega stresanja magnetnega pretoka zunaj jedra ter ob '''upoštevanju''' izgub v '''jedru''' lahko narišemo poenostavljeno nadomestno vezavo realnega transformatorja (slika 5.3.4 a) in pripadajoči kazalčni diagram (slika 5.3.4 b).

[[Image:eele_slika_5_3_4.svg|thumb|right|Slika 5.3.4: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega transformatorja v praznem teku]]

<pomembno>
*Izmenični krog z realnim neobremenjenim transformatorjem ima lastnosti '''vzporednega ohmsko- induktivnega''' kroga (0 < ''φ'' < 90 °).
</pomembno>

Tok '''''I''0''' je pri nazivni primarni napetosti ''U''1 '''energetskih''' transformatorjev 2 do 5 %, pri transformatorjih v '''elektroniki''' pa do 15 % '''nazivnega''' primarnega toka; njegovo odvisnost od primarne napetosti kaže slika 5.3.5.

[[Image:eele_slika_5_3_5.svg|thumb|right|Slika 5.3.5: Odvisnost primarnega toka transformatorja v praznem teku od primarne napetosti]]

Dokler Fe jedro transformatorja ni magnetno nasičeno, naraščajo s primarno napetostjo ''U''1 magnetilni tok ''I''0, magnetni pretok ''Ф'' in napetost lastne indukcije primarnega navitja ''U''i1. V področju magnetnega nasičenja Fe jedra magnetni pretok '''''Ф''''' in napetost lastne indukcije '''''U''i1''' naraščata s primarno napetostjo ''U''1 bistveno '''počasneje''' kot v področju ojačevanja magnetnega pretoka, zato '''''I''0''' po prekoračitvi "meje" nasičenja (slika 5.3.5) '''narašča''' z ''U''1 bistveno '''hitreje'''. Večja prekoračitev meje nasičenja je zaradi močnega segrevanja navitja za transformator lahko usodna.

<pomembno>
*Transformator mora biti konstruiran tako, da pri magnetilnem toku ''I''0, ki ga požene nazivna primarna napetost ''U''1N, ne deluje v '''nasičenju'''.
*Transformatorja ne smemo priključiti na napetost, ki je višja od '''nazivne''' primarne napetosti.
</pomembno>

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator

2010-05-12T15:28:16Z

Latac:

S fizikalnimi osnovami delovanja '''idealiziranega''' električnega transformatorja (slika 5.3.1) smo se že seznanili<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 238</ref> in pri tem ugotovili:

[[Image:eele_slika_5_3_1.svg|thumb|right|Slika 5.3.1: Transformator v izmeničnem krogu]]

<pomembno>
*Električni transformator nespremenjeni moči spreminja električno '''napetost''' v '''premem''', električni '''tok''' pa v '''obratnem''' sorazmerju '''primarnega''' in '''sekundarnega''' števila ovojev.
</pomembno>

<latex>\frac{U_1}{U_2}\, = \,\frac{N_1}{N_2}{\rm{;}}\,\,\,\,\,\frac{I_1}{I_2} \,=\, \frac{N_2}{N_1}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,\frac{N_1}{N_2}\, = \,n</latex>

<pomembno>
*Razmerje primarnega in sekundarnega števila ovojev imenujemo '''prestavno''' razmerje ali '''prestava''' transformatorja ('''''n''''').
</pomembno>

Oglejmo si še eno zanimivost transformatorja, ki je še nismo omenili. Zapišimo moči na njegovi primarni in sekundarni strani (slika 5.3.1) v obliki:

<latex>{S_1}\, =\, \frac{U_1^2}{Z_1}</latex> in <latex>{S_2}\, =\, \frac{U_2^2}{Z_2}</latex>

ter upoštevajmo enakost obeh moči:

<latex>\frac{U_1^2}{Z_1}\, =\, \frac{U_2^2}{Z_2}</latex> ali <latex>\frac{Z_1}{Z_2}\, =\, \frac{U_1^2}{U_2^2}\, =\, {n^2}</latex> oziroma <latex>{{Z_1}\, =\, {n^2}{Z_2}}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
*Transformator '''pretvarja impedanco''' v razmerju '''kvadrata''' prestavnega razmerja transformatorja.
*Pri priključitvi porabnika z impedanco '''''Z''''' na izvor izmenične napetosti prek transformatorja s prestavnim razmerjem '''''n''''' je izvor obremenjen z impedanco '''''n''''''''2''''''''Z''''' .
</pomembno>

'''Primer:'''

<primer>
Porabnik z impedanco ''Z''2 = 10 Ω priključimo na izvor izmenične napetosti prek transformatorja, katerega prestavno razmerje je 8. S kolikšno impedanco smo obremenili izvor?|||
<latex>{Z_1}\, =\, {n^2}{Z_2}\, =\, {8^2}\, \cdot\, 10\, = \,640\,\Omega </latex>
Ugotovljeno lastnost transformatorja pogosto uporabljamo na področju elektronike za '''prilagoditev''' upornosti oziroma impedance porabnika na maksimalno '''razpoložljivo moč''' izvora (npr. za priključevanje nizkoohmskih zvočnikov na ojačevalnike z visokoohmskim izhodom in podobno).
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Medsebojni vplivi tuljav v izmeničnih krogih

2010-05-12T15:28:00Z

Latac:

Tuljave kot elektronske elemente redkeje vežemo zaporedno ali vzporedno. Navitja elektroenergetskih strojev in naprav pa so pogosti primeri različnim vezavam navitij (sl. 5.2.1), transformatorski sklopi tuljav (sl. 5.2.1 c) pa so pogosti tudi na področju elektronike.

[[Image:eele_slika_5_2_1.svg|thumb|right|Slika 5.2.1: Vezave navitij in tuljav v izmeničnih krogih]]

V navedenih in podobnih primerih obstaja velika verjetnost, da se magnetni pretok ene tuljave delno sklene tudi skozi ovoje druge tuljave.

<pomembno>
*Če se magnetni pretok ene tuljave delno ali v celoti sklene tudi skozi ovoje druge tuljave, pravimo, da sta tuljavi '''magnetno povezani'''.</pomembno>

Tako galvanska vezava kot medsebojni magnetni sklepi vplivajo na '''skupno induktivnost''' in '''induktivno upornost''' tuljav v izmeničnih krogih.

== Medsebojna induktivnost tuljav ==

Izhajajmo iz predpostavke, da se magnetna pretoka tuljav 1 in 2 (slika 5.2.2) deloma skleneta tudi skozi ovoje druge tuljave.

[[Image:eele_slika_5_2_2.svg|thumb|right|Slika 5.2.2: Magnetno sklenjeni tuljavi]]

Celotni magnetni pretok prve tuljave označimo s ''Ф''1 druge s ''Ф''2, del magnetnega pretoka prve tuljave, ki se sklene tudi skozi ovoje druge tuljave, s ''Ф''12 in del ''Ф''2, ki se sklene tudi skozi ovoje prve tuljave, s ''Ф''21. Delna magnetna pretoka potem lahko zapišemo v obliki:

<latex>{\Phi _{12}}\, =\, {k_{12}} \,\cdot\, {\Phi _1}</latex>

<latex>{\Phi _{21}}\, =\, {k_{21}} \,\cdot \,{\Phi _2}</latex>

Faktorja k12 in k21 sta '''sklopna faktorja''' tuljav.

<pomembno>
*Sklopni faktor dveh tuljav je število, ki pove, kolikšen del magnetnega pretoka ene tuljave se sklene tudi skozi ovoje druge tuljave.
*Teoretično možne vrednosti sklopnih faktorjev so med '''0''' in '''1'''.
</pomembno>

Do končnih enačb, ki povedo nekaj več o lastnostih in medsebojnih vplivih magnetno sklenjenih tuljav,
je relativno zahtevna pot. Ker se izven razvoja električnih naprav v praksi s tovrstnimi računi praktično
ne bomo ukvarjali, se s končnimi enačbami in lastnostmi magnetno sklenjenih tuljav le seznanimo.

<pomembno>
Razmerje med magnetnim sklepom<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 242</ref> sklenjenega magnetnega pretoka v drugi tuljavi in električnim tokom v prvi tuljavi, ki ga ustvarja, imenujemo '''medsebojna induktivnost''' ('''''M'''''). </pomembno>

<latex>{M\, =\, k\sqrt {{L_1}{L_2}} }|||(H)</latex>

<pomembno>
*Medsebojna induktivnost dveh tuljav '''''M''''' je premo sorazmerna s '''sklopnim faktorjem'''<ref><latex>k\, =\, \sqrt {{k_{12}}{k_{21}}} </latex></ref> tuljav '''''k''''' in '''srednjo geometrično''' vrednostjo induktivnosti tuljav.</pomembno>

Medsebojna induktivnost ''M'' ima enake fizikalne lastnosti kot induktivnost tuljave, zato povzroča '''indukcijo napetosti''' v dveh sosednjih tuljavah, ki je lahko koristna ali moteča. Med najbolj pogostimi koristnimi primeri uporabe medsebojne induktivnosti je npr. električni '''transformator''', med motečimi pa je gotovo škodljiv vpliv magnetnih polj '''energetskih vodnikov''' na občutljive '''elektronske sisteme'''.

<pomembno>
*Škodljive primere medsebojnih induktivnosti pogosto imenujemo '''parazitne''' induktivnosti.</pomembno>

Medsebojne induktivnosti tuljav ni (''M'' ≈ 0), le v primerih, če sta tuljavi vsaka zase v zaprtem '''feromagnetnem jedru''' ali če sta njuni osi med seboj '''pravokotni''' (slika 5.2.3) ali če sta med seboj dovolj '''oddaljeni'''.

[[Image:eele_slika_5_2_3.svg|thumb|right|Slika 5.2.3: Medsebojne lege tuljave brez medsebojne induktivnosti]]

== Induktivnost zaporedne vezave tuljav ==

V primeru magnetne povezave tuljav moramo v enačbi napetostne zanke električnega kroga z zaporedno vezavo tuljav (sl. 5.2.4) poleg napetosti lastne indukcije tuljav (''UL'' = ''I'' • ''XL'') upoštevati tudi napetosti '''medsebojne indukcije'''.

[[Image:eele_slika_5_2_4.svg|thumb|right|Slika 5.2.4: Izmenični krog z zaporednima tuljavama in medsebojno induktivnostjo]]

V zaporedno vezanih tuljavah ima tok sicer isto smer, toda glede na smer navijanja tuljav se sklenjena magnetna pretoka lastnemu pretoku tuljave lahko '''prištevata''' ali '''odštevata'''.

<pomembno>
*Napetost medsebojne indukcije ima '''enako''' ali '''nasprotno''' smer napetosti lastne indukcije tuljave.
*Razlikujemo '''pozitivni''' in '''negativni''' medsebojni magnetni sklep tuljav
</pomembno>

Enačba napetostne zanke izmeničnega kroga z zaporednima tuljavama (slika 5.2.4) se potem glasi:

<latex>U\, =\, {U_{L1}}\, +\, {U_{1M}}\, +\, {U_{L2}}\, + \,{U_{2M}}\, =\, I\, \cdot \,\omega {L_1} \,\pm \,I\, \cdot \,\omega M \,+\, I \,\cdot \,\omega {L_2} \,\pm \,I \,\cdot\, \omega M</latex>
<latex> \,\,\,=\, I\, \cdot\, \omega \left( {{L_1} \,+\, {L_2} \,\pm\, 2M} \right)</latex>
<latex> \,\,\,=\, I\, \cdot\, \omega L</latex>

''L'' je skupna oziroma nadomestna induktivnost zaporedne vezave dveh tuljav, zato lahko zapišemo:

<latex>{L\, =\, {L_1} \,+ \,{L_2}\, \pm\, 2M}|||(H)</latex>

<pomembno>
*Skupna induktivnost zaporedno vezanih in '''magnetno sklenjenih tuljav''' je enaka vsoti induktivnosti tuljav, '''povečani''' ali '''zmanjšani''' za '''dvakratno medsebojno induktivnost'''.
</pomembno>

Če se z drugo tuljavo sklenjena magnetna pretoka ''Ф''12 in ''Ф''21 prištevata lastnima magnetnima pretokoma tuljav ''Ф''1 in ''Ф''2, sta tuljavi povezani magnetno '''istosmiselno''', sicer pa '''protismiselno'''. Smiselnost magnetne povezave tuljav označujemo s '''pikami''' ob simbolih tuljav (slika 5.2.5).

[[Image:eele_slika_5_2_5.svg|thumb|right|Slika 5.2.5: lstosmiselna a) in b) ter protismiselna c) in d) magnetna povezava tuljav]]

<pomembno>
*Če električna toka vstopata v tuljavi na označenih koncih, sta tuljavi magnetno povezani '''istosmiselno''', sicer pa '''protismiselno'''.
</pomembno>

Zadnja ugotovitev omogoča fizikalno razlago, zakaj '''bifilarno'''<ref>Dvojno navitje, ki omogoča tok v ovojih v nasprotnih smereh – navitje brez magnetnega polja.</ref> navitje žičnih uporov nima induktivnosti. Zaradi k ≈ 1 je magnetni sklep sklenjenega magnetnega pretoka popoln in je medsebojna induktivnost zaradi ''L''1 = ''L''2 = ''L''t kar

<latex>M \,=\, k\sqrt {{L_1}{L_2}} \, =\, {L_{\rm{t}}}</latex>

in zaradi protismiselne vezave tuljav

<latex>L \,=\, {L_{\rm{t}}}\, +\, {L_{\rm{t}}}\, -\, 2{L_{\rm{t}}} \,=\, 0</latex>

Če sta zaporedno vezani tuljavi na '''veliki''' medsebojni '''razdalji''' ali sta v zaprtih '''feromagnetnih jedrih''' ali pa sta osi tuljav med seboj '''pravokotni''', medsebojne induktivnosti tuljav '''''M''''' '''ni''' (''M'' ≈ 0). V tem primeru je skupna induktivnost tuljav kar

<latex>{L \,=\, {L_1} \,+\, {L_2}}|||(H)</latex>

<pomembno>
*Skupna induktivnost '''zaporedno''' vezanih in magnetno '''nepovezanih''' tuljav je enaka '''vsoti''' induktivnosti tuljav.
</pomembno>

== Induktivnost vzporedne vezave tuljav ==

Pot do izrazov za skupno induktivnost vzporedno vezanih tuljav (slika 5.2.6) je podobna kot pri zaporedni vezavi, zato napišimo le končne oblike le-teh:

[[Image:eele_slika_5_2_6.svg|thumb|right|Slika 5.2.6: Vzporedna vezava tuljav z medsebojno induktivnostjo]]

<latex>L\, =\, \frac{{L_1}{L_1} \,- \,{M^2}}{{L_1} \,+\, {L_1}\, \pm \,2M},</latex>

pri čemer velja »- 2''M''« v imenovalcu izraza za '''istosmiselno''', »+ 2''M''« pa za '''protismiselno''' magnetno povezavo tuljav. Če pa je medsebojna induktivnost tuljav '''zanemarljiva''' (''k'' ≈ 0 in ''M'' ≈ 0), dobimo:

<latex>{L\, =\, \frac{{L_1}{L_1}}{{L_1}\, +\, {L_1}}}|||(H)</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj induktivnost zaporedno vezanih tuljav z induktivnostmi ''L''1 = 200 mH in ''L''2 = 300 mH, in sicer: a) tuljavi nista magnetno sklenjeni in b) tuljavi sta negativno magnetno sklenjeni s ''k'' = 0,2.|||
<latex>L \,=\, {L_1} \,+\, {L_2}\, =\, 200 \,+\, 300\, =\, 500{\rm{\,mH}}</latex>

<latex>M \,=\, k\sqrt {{L_1}{L_2}}\, = \,{\rm{0,2}}\sqrt {200 \,\cdot \,300} \, =\, 49{\rm{\,mH}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Tuljavi iz prvega primera priključimo v zaporedni vezavi na izmenično napetost 24 V / 1000 Hz. Izračunaj tok skozi tuljavi pri pozitivnem in negativnem medsebojnem magnetnem sklepu k = 0,2.|||
a) pozitivni magnetni sklep

<latex>L \,=\, {L_1}\, +\, {L_2}\, +\, 2M\, =\, 200\, +\, 300\, +\, 2\, \cdot\, 49\, =\, {\rm{598\,mH}}</latex>

<latex>{X_L} \,=\, 2\pi fL \,= \,2\pi \, \cdot \,1000 \,\cdot\, {\rm{0,598}}\, =\, 3755\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, = \,\frac{U}{X_L} \,=\, \frac{24}{3755}\, =\, {\rm{6,4\,mA}}</latex>

b) negativni magnetni sklep

<latex>L\, =\, {L_1}\, +\, {L_2}\, -\, 2M\, =\, 200\, +\, 300\, - \,2 \,\cdot\, 49\,= \,{\rm{402\,mH}}</latex>

<latex>{X_L} \,=\, 2\pi fL \,=\, 2\pi\, \cdot\, 1000 \,\cdot \,{\rm{0,402}} \,=\, 2492\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I \,=\, \frac{U}{X_L}\, =\, \frac{24}{2492}\, =\,{\rm{9,6\,mA}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni kondenzator

2010-05-12T15:27:20Z

Latac:

Tudi kondenzatorja, ki bi imel čisto kapacitivno upornost, ni mogoče izdelati. Dielektrik '''ni absolutno neprevoden''', segreva pa se tudi zaradi svoje izmenične '''dielektrične polarizacije'''<ref>Osnove elektrotehnike 1, str.181</ref>.

<pomembno>
*Tudi kondenzator se v izmeničnem krogu nekoliko '''greje'''. </pomembno>

To pomeni, da ima realni kondenzator tudi določeno '''delovno''' upornost '''''RC''''', prek katere se del energije izvora sprošča iz električnega kroga in predstavlja '''izgube''' energije. Ker sta kondenzator in dielektrik kondenzatorja na '''isti napetosti''', lahko realni kondenzator obravnavamo kot '''vzporedno''' vezavo idealiziranega kondenzatorja in '''upora''' z upornostjo '''''RC'''''.

<pomembno>
*Realni kondenzator ima lastnost '''vzporedne''' vezave '''upora''' in idealiziranega '''kondenzatorja'''.</pomembno>

Realni kondenzator (sl. 5.1.5 a) torej lahko prikažemo z nadomestno vzporedno vezavo upora in kondenzatorja (sl. 5.1.5 a).

[[Image:eele_slika_5_1_5.svg|thumb|right|Slika 5.1.5: Nadomestna vezava (b), kazalčni diagram (c) in trikotnik prevodnosti realnega kondenzatorja (d]]

Glede na namen kondenzatorja je '''delovna prevodnost''' dielektrika '''neželena lastnost''' kondenzatorja.

<pomembno>
*Fazni kot, ki ga v izmeničnem krogu povzroča '''realni kondenzator''', je za kot '''''δ''''' '''manjši''' od '''90 º'''.
*Odstopanje faznega kota realnega kondenzatorja od '''- 90 º''' je posledica izgub energije v kondenzatorju, zato imenujemo kot '''''δ''''' '''izgubni''' kot.
</pomembno>

<latex>{\delta \, =\, 90^{\,\circ} \, -\, \varphi }</latex>

<pomembno>
*Razmerju delovne in jalove prevodnosti oziroma '''tangensu''' izgubnega kota pravimo '''izgubni faktor''' kondenzatorja ('''''d''''').
</pomembno>

<latex>d \,=\, \tan \delta \, =\, \frac{I_{iC}}{I_C}\, =\, \frac{G_{iC}}{B_C}</latex>

<pomembno>
*Čim '''manjši''' je '''izgubni faktor''' kondenzatorja, tem bliže je ''φ'' kotu - 90 º, tem '''boljši''' je kondenzator.
*Obratno vrednost izgubnega faktorja imenujemo '''faktor kakovosti''' kondenzatorja ('''''Q''''').
</pomembno>

<latex>{Q \,= \,\frac{1}{d}\, =\, \frac{I_C}{I_{iC}}\, =\, \frac{B_C}{G_{iC}}}</latex>

<pomembno>
*Faktor kakovosti realnega kondenzatorja '''''Q''''' pove, kolikokrat je jalova prevodnost kondenzatorja večja od delovne prevodnosti kondenzatorja.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližje idealnosti kot tuljava, zato je njegova kakovost še posebej na področju energetike manj problematična kot pri tuljavi. V določenih primerih visokih frekvenc na področju elektronike pa je kakovost kondenzatorja tudi odločilnega pomena za njegovo uporabo.

'''Primer:'''

<primer>
1. Kondenzator ima pri določeni kapacitivnosti in frekvenci jalovo prevodnost 100 mS in delovno prevodnost dielektrika 5 mS. Izračunaj admitanco, izgubni in fazni kot ter faktor kakovosti kondenzatorja.|||

<latex>Y \,=\, \sqrt {{G_{iC}}^2 \,+\, {B_C}^2}\, =\, \sqrt {{5^2} \,+\, {{100}^2}} \, =\, {\rm{100,12\,mS}}</latex>

<latex>\tan \delta \, =\, \frac{G_{iC}}{B_C}\, =\, \frac{5}{100}\, =\, {\rm{0,05}} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\delta \, =\, {\rm{2,8}}^{\,\circ} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\varphi \, =\, 90^{\,\circ} \, -\, \delta \, =\, {\rm{87,2}}^{\,\circ} </latex>

<latex>Q \,=\, \frac{1}{d} \,=\, \frac{1}{\rm{0,05}} \,=\, 20</latex>

</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realna tuljava

2010-05-12T15:26:46Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 5.1.1:'''

Na jedro zvončnega transformatorja (230 V /6 V) pritrdimo sondo termometra (slika 5.1.3). Primarno navitje transformatorja priključimo na omrežno napetost, sekundarno navitje pa prek ustreznega reostata obremenimo s tokom npr. 2 A in spremljamo temperaturo jedra.

[[Image:eele_slika_5_1_3.svg|thumb|right|Slika 5.1.3]]

*Temperatura jedra relativno hitro naraste za več kot petnajst stopinj C.

</poskus>

<pomembno>
*Delovna energija v izmeničnem krogu z realno tuljavo pomeni '''izgubo''' električne energije (''W'').
*Vzrok za segrevanje tuljav v izmeničnih električnih krogih je vsota delovnih energij zaradi '''ohmske upornosti navitja''', '''vrtinčnih tokov''' in '''histereze''' v feromagnetnem jedru tuljave.
</pomembno>

== Realna tuljava brez feromagnetnega jedra ==

V realni tuljavi brez Fe jedra (npr. zračni tuljavi) imamo izgubo energije oziroma moči predvsem zaradi ohmske upornosti navitja. Te izgube sicer pri zelo visokih frekvencah nekoliko povečuje tudi '''kožni pojav'''<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 241</ref> v ovojih tuljave, manjša '''kapacitivnost''' med ovoji pa izvor napetosti zaposluje še z manjšim deležem '''jalove''' energije. Oba navedena vpliva sta za splošno prakso zanemarljiva, zato lahko za izgubno moč tuljave zapišemo:

<latex>{P_{\rm{Cu}}}\, = \,{I^2}{R_{\rm{Cu}}}|||(W)</latex>

Glede na znano odvisnost ohmske upornosti vodnika navitja velja:

<pomembno>
*Izgubna moč tuljave je premo sorazmerna s specifično upornostjo vodnika navitja '''''ρ''''' in dolžino vodnika '''''l''''' ter obratno sorazmerna s prerezom '''''A''''' vodnika navitja.
</pomembno>

Isti tok realne tuljave premaguje induktivno in ohmsko upornost navitja. Po definiciji načina vezave elementov vemo, da sta v primeru skupnega toka elementa vezana '''zaporedno''':

<pomembno>
*Realna tuljava je v bistvu zaporedna vezava ohmske in induktivne upornosti navitja (sl. 5.1.4 b).
</pomembno>

[[Image:eele_slika_5_1_4.svg|thumb|right|Slika 5.1.4: Zračna tuljava (a),nadomestna vezava (b) kazalčni diagram (c) in trikotnik upornost zračne tuljave (d)]]

Glede na namen tuljave je '''ohmska upornost''' navitja in izguba energije '''neželena lastnost''' tuljave.

<pomembno>
*Fazni kot, ki ga v izmeničnem krogu povzroča '''realna tuljava''', je za kot '''''δ''''' '''manjši''' od '''90 º'''.
*Odstopanje faznega kota realne tuljave od '''90 º''' je posledica izgub energije v tuljavi, zato imenujemo kot '''''δ''''' '''izgubni''' kot.
</pomembno>

<latex>{\delta \, =\, 90^{\,\circ}\, -\, \varphi }</latex>

<pomembno>
*Razmerju ohmske in induktivne upornosti oziroma '''tangensu''' izgubnega kota pravimo '''izgubni faktor''' tuljave ('''''d''''').
</pomembno>

<latex>d\, = \,\tan \delta \, =\, \frac{U_R}{U_L} \,= \,\frac{R}{X_L}</latex>

<pomembno>
*Čim '''manjši''' je '''izgubni faktor''' realne tuljave, tem bliže ''φ'' kotu 90 º, tem '''boljša''' je tuljava.
*Obratno vrednost izgubnega faktorja tuljave imenujemo '''faktor kakovosti''' tuljave ('''''Q''''').
</pomembno>

<latex>Q \,=\, \frac{1}{d} \,=\, \frac{U_L}{U_R}\, =\, \frac{X_L}{R}</latex>

<pomembno>
*Faktor kakovosti realne tuljave '''''Q''''' pove, kolikokrat je '''induktivna upornost''' realne tuljave večja od '''ohmske''' upornosti navitja tuljave.
*Kakovost realne zračne tuljave je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco'''<ref>če zanemarimo vpliv kožnega pojava in kapacitivnosti ovojev</ref> izmeničnega toka in '''induktivnostjo''' ter '''obratno sorazmerna''' z ohmsko '''upornostjo''' ovojev tuljave.
</pomembno>

'''Primer:'''

<primer>
1. Realna tuljava ima pri določeni induktivnosti in frekvenci induktivno upornost 100 Ω in ohmsko upornost navitja 10 Ω. Izračunaj impedanco, izgubni in fazni kot ter faktor kakovosti tuljave.|||

<latex>{Z_{\rm{t}}}\, =\, \sqrt {{R_{\rm{t}}}^2\, + \,{X_{L{\rm{t}}}}^2} \, =\, \sqrt {{{10}^2} \,+\, {{100}^2}}\, =\, \sqrt {10100} \, =\, {\rm{100,5}}\,\Omega </latex>

<latex>\tan \delta \, =\, \frac{R}{X_L}\, =\, \frac{10}{100}\, = {\rm{0,1}} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\delta \, =\, {\rm{5,7}}^{\,\circ} \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \varphi \, = \,90^{\,\circ} \,-\, \delta \, =\, {\rm{84,3}}^{\,\circ} </latex>

<latex>Q\, = \,\frac{1}{d} \,=\, \frac{1}{\rm{0,1}}\, =\, 10</latex>

</primer>

== Realna tuljava s feromagnetnim jedrom ==

S fizikalnimi osnovami segrevanja Fe jedra zaradi magnetne histereze in vrtinčnih tokov smo se že seznanili<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 217 in 240</ref>, zato si le informativno oglejmo vpliv omenjenih pojavov na izgubo moči v realni tuljavi.

Toplotne izgube nastajajo na '''ohmski''' upornosti. Ker je vzrok za segrevanje Fe jedra isti tok kot za segrevanja navitja, pomeni, da se v primeru tuljave z Fe jedrom toplotnim izgubam zaradi ohmske '''upornosti navitja''', pridružijo še toplotne izgube zaradi '''histereze''' in '''vrtinčnih tokov'''.

<pomembno>
*Kakovost realne tuljave s Fe jedrom je '''manjša''' od kakovosti iste tuljave '''brez''' Fe jedra še posebej v primeru '''lameliranih''' Fe jeder.</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni upor

2010-05-12T15:26:22Z

Latac:

Lastnosti realnih uporov v izmeničnem krogu so odvisne od tehnološke izvedbe uporov. Med najbolj občutljive na izmenični tok so naviti '''žični''' upori za velike moči in '''spiralizirani'''<ref>Spiralo zarezana uporovno plast na cilindričnem keramičnem telesu upora</ref> plastni upori (slika 5.1.1 a in b). Taki upori imajo poleg ohmske upornosti tudi določeno '''induktivnost''', med ovoji uporovne žice pa tudi določeno '''kapacitivnost'''. Za take upore smemo narisati nadomestno vezavo, ki jo informativno prikazuje slika 5.1.1 c.

[[Image:eele_slika_5_1_1.svg|thumb|right|]]

<pomembno>
*Realni upor ima tudi določene lastnosti '''tuljave''' in '''kondenzatorja'''.</pomembno>

Induktivnost in kapacitivnost sta '''neželeni''' lastnosti realnega upora, saj vplivata na '''fazni kot''' in tvorita '''impedanco''' upora, zato ju imenujemo '''parazitni''' lastnosti. Vpliv induktivnosti, predvsem navitega žičnega upora, moramo upoštevati že pri nekoliko višjih frekvencah, zato se žičnim uporom pri teh frekvencah izogibamo. Če pa jih zaradi potrebne nazivne moči moramo uporabiti, jih navijamo '''bifilarno'''<ref>Ovoj ob ovoju v povratni smeri tako, da je v navitju tok nasprotnih smeri – izničene magnetne lastnosti toka</ref>, s čimer kompenziramo '''induktivnost''', ne pa tudi kapacitivnosti med ovoji.

Plastni spiralizirani upori imajo manjšo induktivnost in kapacitivnost in oboje lahko v večini primerov zanemarimo tudi pri nekoliko višjih frekvencah. Induktivnost in kapacitivnost nespiraliziranih plastnih uporov (slika 5.1.2) praviloma lahko zanemarimo tudi pri visokih frekvencah.

[[Image:eele_slika_5_1_2.svg|thumb|right|]]

<references />

{{Hierarchy footer}}

Računanje električnih količin v kompleksi ravnini

2010-05-12T15:24:57Z

Latac:

Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''.

Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. '''''K''''', sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku:

[[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kompleksorji in kompleksni račun so le '''matematično orodje''', ki '''poenostavlja''' računanje.
*Kompleksno obliko »nadenemo« '''sinusnim''' električnim količinam '''pred računanjem'''.
*Med računanjem z električnimi količinami v kompleksni obliki upoštevamo vsa '''pravila računanja''' s '''kompleksnimi''' števili, ko pa dobimo rezultat, kompleksno obliko praviloma '''opustimo'''.
</pomembno>

Matematika ob robu:
<informacije>
Računanje v kompleksni ravnini

Večino problemov v splošni in tudi elektrotehniški praksi znamo rešiti z matematiko, ki temelji na realnih – predstavljivih številih, kot so npr. ± (1; 2; 36,8; π; 0,4; 2/3 ... ). V določenih primerih pa računi z realnimi števili obstanejo na problemu. kot je npr. '''kvadratni''' koren iz '''negativnega''' števila, za katerega med vso silno množico realnih števil ne najdemo rezultata. Matematiki so se pri tem zatekli k zvijači: ker √(-1) niso znali izračunati, so ga kot nekaj '''nepredstavljivega''' enostavno samo poimenovali z '''imaginarno<ref>imaginarius, lat. = le v mislih, domišljiji obstoječ, izmišljen, neresničen ...</ref> enoto''' in označili z »'''''i'''''«. V elektrotehniki bi oznako za imaginarno enoto lahko zamenjali z oznako za trenutno vrednost toka (''i''), zato v elektrotehniki uporabljamo za imaginarno enoto oznako »'''''j'''''«.
Naloga npr. √(-4) je tako postala »rešljiva« na način √(-4) = √(4(-1)) = √4 √(-1) = 2''j''. Rezultata si sicer ne znamo predstavljati, toda pomembno je, kot bomo videli, da se z njim da '''računati'''.

Produktu imaginarne enote in poljubnega '''realnega''' števila, npr. 2j, pravimo '''imaginarno''' število.

Tako kot realna števila tvorijo '''horizontalno''' številsko premico oziroma '''realno os''', po dogovoru domujejo imaginarna števila na '''vertikalni''' številski premici oziroma '''imaginarni osi'''. Obe osi določata ravnino, v kateri je poljubna točka določena z realno in imaginarno komponento.

Točki v ravnini, ki je določena z realno in imaginarno komponento, pravimo '''kompleksno število''' npr. ''Z'', ravnini pa '''kompleksna ravnina'''. Kazalcu, ki določa kompleksno število s svojo dolžino in kotom s pozitivno realno osjo, pravimo '''kompleksor'''.

Splošni zapis kompleksnega števila oziroma kompleksorja:

SLIKE

Dolžina kazalca oziroma kompleksorja, ki določa kompleksno število, predstavlja '''absolutno vrednost''' kompleksnega števila:

<latex>\left| {\underline{Z}} \right|\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2} \,+\, {{\rm{Im}}^2}} </latex>

Kompleksnemu številu <latex>\underline {Z} = a +{\mathrm{j}}b</latex> '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, <latex>\underline {Z} = a -{\mathrm{j}}b</latex> imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število.

'''Pravila računanja s kompleksnimi števili v algebrski obliki'''

'''Seštevanje in odštevanje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\, \pm\, {\underline{Z}_2} \,=\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\, \pm\, \left( {{a_{\rm{2}}}\, + \,{\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}} \,\pm\, {a_{\rm{2}}}} \right)\, +\, {\rm{ j}}\left( {{b_{\rm{1}}}\, \pm\, {b_{\rm{2}}}} \right)</latex>

'''Množenje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\,\cdot\,{\underline{Z}_2}\, =\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\,\cdot\,\left( {{a_{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+\, {a_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}} \,+\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+ \,{\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}}\, -\, {b_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, + \,{\rm{ j}}\left( {{a_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}\, +\, {a_{\rm{2}}}{b_{\rm{1}}}} \right)</latex>

'''Zanimiv produkt:'''
<latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex>
Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je '''realno''' število!

'''Deljenje:'''
<latex>\frac{{\underline{Z}}_1}{{\underline{Z}}_2} \,= \,\frac{{a_1} \,+\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2} \,+ \,{\rm{j}}{b_2}} \,= \,\frac{{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2}\, +\, {\rm{j}}{b_2}}\, \cdot\, \frac{{\underline{Z}_2}^*}{{\underline{Z}_2}^*}\, =\, \frac{\left( {{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}} \right) \,\cdot \,\left( {{a_2} \,- \,{\rm{j}}{b_2}} \right)}{a_2^2\, + \,b_2^2} = \frac{{a_1}{a_2} \,+\, {b_1}{b_2}}{a_2^2\, +\, b_2^2} \,+\, {\rm{j}}\frac{{a_2}{b_1}\, -\, {a_1}{b_2}}{a_2^2 \,+ \,b_2^2}</latex>

Zaradi enostavnejšega računanja je za operaciji množenja in deljenja ugodneje imeti kompleksna števila v eksponentni obliki:

<latex>{\underline{Z}_1}\, \cdot \,{\underline{Z}_2} \,= \,{Z_1} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}} \,\cdot\, {Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}\, =\, {Z_1}{Z_2} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1}\, + \,{\alpha _2})}}</latex>

<latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex>
</informacije>

== Računanje impedance in admitance v algebrski kompleksni obliki ==

»Prehod« realnih električnih količin v algebrsko kompleksno obliko si oglejmo najprej na preprostih primerih impedance in admitance. Če trikotnik upornosti, npr. izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora in tuljave (sl. 3.4.10 a), prenesemo v '''kompleksno ravnino''' tako, kot kaže sl. 3.4.10 b, smo impedanci »nadeli« algebrsko '''kompleksno''' obliko.

[[Image:eele_slika_3_4_10.svg|thumb|right|Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kazalcu impedance '''''Z''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' ('''''Z'''''), delovni komponenti '''''R''''' '''pozitivno realno''' komponento ('''''R''''') kompleksorja '''''Z''''' ter jalovi induktivni komponenti '''''XL''''' impedance '''''Z''''' '''pozitivno imaginarno''' komponento (+ j'''''XL''''') kompleksorja '''''Z'''''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance zaporedne vezave upora in tuljave ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z}\, =\, R \,+\, {\rm{j}}{X_L}}|||(Ω)

<pomembno>
*Impedanca ''Z'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Z'''''| kompleksorja impedance ''Z''.
</pomembno>

<latex>Z \,=\, \left| \underline{Z} \right|</latex>

oziroma

<latex>Z\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right) \,+\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 20 Ω in tuljave z induktivno 30 Ω zapišemo potem v kompleksni obliki na način:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {20\, + \,{\rm{j}}30} \right)\left( {\rm{\Omega }} \right) \,\,\,\,\, {\rm{in}} \,\,\,\,\, \left| \underline{Z} \right|\, = \,Z\, =\, \sqrt {{{20}^2} \,+ \,{{30}^2}}\, =\, 36\,\Omega </latex>

Fazni kot zaporedne vezave izračunamo v kompleksni obliki na osnovi '''imaginarne''' in '''realne''' komponente kompleksorja impedance ali admitance:

<latex>\tan \varphi\, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,= \,\frac{X_L}{R},</latex>
kar je že znana zgodba.

Podobno bi lahko naredili z impedanco kapacitivnega značaja, kompleksor impedance pa bi imel '''negativno''' imaginarno komponento (- j''XC'').

<pomembno>
*Induktivna jalova komponenta '''''XL''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''pozitivne''' imaginarne komponente (j''XL'') kompleksorja ''Z''.
*Kapacitivna jalova komponenta '''''XC''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''negativne imaginarne komponente''' (- j''XC'') kompleksorja ''Z''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance kapacitivnega značaja ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z} \,= \,R\, -\, {\rm{j}}{X_C}}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 40 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 50 Ω zapišemo potem v obliki:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {40 \,- \,{\rm{j}}50} \right)\,{\rm{\Omega }},</latex>

njena absolutna vrednost pa je

<latex>\left| \underline{Z} \right|\, =\, Z\, =\, \sqrt {{{40}^2} \,+\, {{50}^2}} \, =\, 64\,\Omega </latex>

Vidimo, da se zapisa impedanc induktivnega in kapacitivnega značaja v kompleksni obliki razlikujeta v '''predznakih imaginarnih''' komponent. Ta ugotovitev je pomembna tudi za določitev značaja impedance ter delovne in jalove upornosti iz rezultata reševanja naloge sestavljene vezave.

<pomembno>
*Pozitivni predznak imaginarne komponente (+ j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''induktivni''' značaj impedance ''Z'' in '''pozitivni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
*Negativni predznak imaginarne komponente (- j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''kapacitivni''' značaj impedance ''Z'' in '''negativni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
</pomembno>

Kompleksni obliki zapisov admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja dobimo na podoben način na osnovi trikotnikov admitanc (slika 3.4.12):
[[Image:eele_slika_3_4_12.svg|thumb|right|Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja]]

<pomembno>
*Kazalcu admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' '''''Y'''''.
*Delovni komponenti '''''G''''' admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''pozitivno''' realno komponento ('''''G'''''), '''induktivni''' jalovi komponenti '''''BL''''' '''negativno''' imaginarno komponento (- j''BL'') in '''kapacitivni''' jalovi komponenti '''''BC''''' admitance '''''Y''''' '''pozitivno''' (+ j''BC'') kompleksorja '''''Y'''''.
</pomembno>

Algebrska zapisa admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja imata torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Y}\, = \,\left( {G \,- \,{\rm{j}}{B_L}} \right)}|||(S)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, \left( {G\, + \,{\rm{j}}{B_C}} \right)}|||(S)</latex>

Admitanca ''Y'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Y'''''| kompleksorja admitance '''''Y'''''.

<latex>Y \,= \,\left| \underline{Y} \right|\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Y} \right) \,+ \,{{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Y} \right)} \, = \,\sqrt {{G^2}\, + \,{B^2}}|||(S)</latex>

Fazni kot vzporedne vezave izračunamo na osnovi imaginarne in realne komponente na podoben način, kot smo to ugotovili za primer impedance.

Iz slike 3.4.12 in dobljenih izrazov za admitanco ''Y'' ugotavljamo, da ima predznak imaginarne komponente kompleksorja '''admitance nasproten''' pomen kot predznak imaginarne komponente kompleksorja '''impedance'''.

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj impedanco in fazni kot vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.13 a. Upornost upora je 2 Ω, kapacitivna upornost je 4 Ω in induktivna upornost je 1Ω.|||

[[Image:eele_slika_3_4_13.svg|thumb|right|Slika 3.4.13]]

Potek računanja nakazujeta nadomestni vezavi b in c:

<latex>{\underline{Y}_{RC}} \,= \,G \,+\, {\rm{j}}{B_C}\, = \,{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}} \,= \,\frac{1}{\underline{Y}_{RC}}\, = \,\frac{1}{{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}}\, = \,\frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{({\rm{0,5}} \,+\, {\rm{j\,0,25}})\left( {\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}} \right)}\, =\, \frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{{\rm{0,25}}\, +\, {\rm{0,0625}}} \,= \,{\rm{1,6}}\, -\, {\rm{j\,0,8\,\Omega}} </latex>

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_{RC}}\, +\, {\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{1,6}} \,-\, {\rm{j\,0,8}} \,+\, {\rm{j}} \,= \,\left( {{\rm{1,6}} \,+\, {\rm{j\,0,2}}} \right)\,\Omega </latex>

Iz izračunane impedance vezave v kompleksni obliki ugotavljamo:

1. Impedanca ima zaradi pozitivnega predznaka imaginarne komponente, '''induktivni''' značaj.

2. Upornost '''delovne''' komponente impedance je 1,6 Ω, upornost '''jalove''' komponente pa 0,2 Ω.

3. Sestavljeno vezavo upornosti na sliki 3.4.13 a. bi lahko glede izvora enakovredno nadomestili z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' z upornostjo 1,6 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 0,2 Ω.

Impedanca vezave:

<latex>Z\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right)\, +\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{\rm{1,6}^2} \,+\, {\rm{0,2}^2}}\, =\, {\rm{1,61}}\,\Omega </latex>

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{\rm{0,2}}{\rm{1,6}} \,=\, {\rm{0,125}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \,=\, {\rm{7,12}}^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj impedanco in fazni kot sestavljene vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.14 (''R''1 = 3 Ω, ''XL'' = 4 Ω, ''XC''1 = 4 Ω, ''R''2 = 2 Ω in ''XC''2 = 4 Ω).|||

[[Image:eele_slika_3_4_14.svg|thumb|right|Slika 3.4.14]]

Delne nadomestne impedance in admitance v kompleksni obliki:

<latex>{\underline{Z}_2} \,= \,{R_2} \,- \,{\rm{j}}{X_{C2}}\, =\, \left( {2 \,-\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Z}_1}\, = \,{R_1} \,+\, {\rm{j}}{X_L} \,= \,\left( {3\, +\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{1}{{\underline{Z}_1}}\, +\, {\rm{j}}{B_{C1}}\, =\, \frac{1}{{3 \,+ \,{\rm{j}}4}}\, + \,{\rm{j}}\frac{1}{4}\, =\, \frac{{\rm{j}}3}{12 \,+\, {\rm{j}}16}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_3}\, =\, \frac{1}{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{12\, +\, {\rm{j}}16}{{\rm{j}}3}\, =\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Impedanca celotne vezave v kompleksni obliki je po tem:

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_2} \,+\, {\underline{Z}_3}\, = \,2\, - \,{\rm{j}}4\, +\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\, =\, \frac{6\, -\, {\rm{j}}12\, + \,16\, -\, {\rm{j}}12}{3} \,= \,(\frac{22}{3}\, -\, {\rm{j}}\frac{24}{3})\,\Omega </latex>

Impedanca vezave ima kapacitivni značaj (- j). Glede obremenitve izvora bi jo lahko nadomestili z zaporedno vezavo upora z upornostjo 22/3 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 24/3 Ω.

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{ - \frac{24}{3}}{\frac{22}{3}} \,= \, -\, {\rm{1,091}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \, =\, -\, {\rm{47,5}}^{\,\circ} </latex>

</primer>

== Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki ==

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni '''delovna''' in '''jalova komponenta''' impedance, prevodnosti, toka ... in '''značaj jalovih''' komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi '''preprosto''' seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.

'''Algebrska oblika''' zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje '''impedanc''' in '''prevodnosti''' pa tudi '''napetosti''' in '''tokov''' na osnovi zakonov '''napetostnih zank''' in '''tokovnih''' vozlišč.

Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama '''množenja''' in '''deljenja'''. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.

Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):

[[Image:eele_slika_3_4_15.svg|thumb|right|Slika 3.4.15]]

Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor ''U''m v trigonometrični obliki, in sicer:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, \left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}\left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\sin \left( {\omega t} \right)\, =\, {U_{\rm{m}}}\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}{U_{\rm{m}}}\,\sin \left( {\omega t} \right)\, = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos \left( {\omega t} \right) \,+\, {\rm{j}}\sin \left( {\omega t} \right)} \right)</latex>

Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni '''operator''' '''''ej(ωt)''''' <ref><latex>\cos \alpha \,+\, {\rm{j}}\sin \alpha\, = \,{e^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,e\, =\, {\rm{osnova\,\,naravnih\,\,logaritmov\,\,}}( \approx \,{\rm{2,71}} \ldots )</latex></ref>, dobimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, {U_{\rm{m}}}{e^{{\rm{j}}\left( {\omega t} \right)}}</latex>

Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z '''efektivnimi''' vrednostmi izmeničnih količin.

Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (''ωt'' = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor '''napetosti''' izvora na '''pozitivno''' realno os (kot če bi izbrali ''αu'' = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom ''φ'', dobimo za računanje obliko:

<latex>\underline{U}\, =\, \left| \underline{U} \right|{e^{{\rm{j}}{0^{\,\circ} }}}\, =\, U\, \cdot\, 1\, =\, U</latex>

oziroma

<latex>{\underline{U} \,= \,U} \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, {\underline{I} \,=\, I{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:

<latex>{\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(Ω)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, Y{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča '''preprosto množenje''' in '''deljenje''' kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne '''impedance''' in '''admitance''', '''maksimalne''' ali '''efektivne''' vrednosti '''napetosti''' in '''tokov''' ter '''fazni kot''' in iz njegovega predznaka '''značaj''' jalovih komponent računanih količin.

'''Primera:'''

<primer>
1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.|||

[[Image:eele_slika_3_4_16.svg|thumb|right|Slika 3.4.16]]

Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz '''algebrske''' v '''eksponencialno''' obliko:

<latex>\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}\, = \,1,61\,{e^{{\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}</latex>

Tok skozi tuljavo je tok izvora:

<latex>\underline{I}\, =\, {\underline{I}_L}\, =\, \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\, = \,\frac{U}{{Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}} \,= \,\frac{\rm{1,2}}{\rm{1,61}}{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}}e{\rm{j}}\alpha </latex>
<ref>Množenje kompleksorja z operatorjem ej''α'' povzroča v kompleksni ravnini zasuk kompleksorja za kot ''α''</ref>

Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.

Kompleksor induktivne upornosti j''XL'' prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:

<latex>{\rm{j}}{X_L}\, =\, {X_L}\,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, 1\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}</latex>

Napetost na tuljavi je potem:

<latex>{\underline{U}_L} \,= \,{\underline{I}_L}\, \cdot \,{\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{{\rm{j\,82,8}}^{\,\circ} }}{\rm{\,V}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{U_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{{\rm{U}}L}} \,=\, {\rm{82,8}}^{\,\circ} </latex>

Kompleksor impedance ''ZRC'' prevedemo v eksponentno obliko:

<latex>{Z_{RC}} \,=\, \sqrt {{\rm{1,6}^2}\, + \,{\rm{0,8}^2}} \, =\, {\rm{1,79}}\,{\rm{\Omega }}\,\,;\,\,\,\,\,\tan {\varphi _{RC}}\, = \,\frac{ - {\rm{0,8}}}{\rm{1,6}} \,=\, - {\rm{0,5}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {\varphi _{RC}}\, =\, - {\rm{26,6}}^{\,\circ} </latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}}\, =\, {Z_{RC}}{e^{{\rm{j}}{\varphi _{RC}}}}\, =\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Napetost na uporu in kondenzatorju je:

<latex>{\underline{U}_R} \,=\, {\underline{U}_C}\, =\, {\underline{IZ}_{RC}}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}</latex>

<latex>{U_R} \,= \,{U_C} \,=\, {\rm{1,33}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{U_R}}\, =\, {{\rm{\alpha }}_{U_C}}\, = \, - {\rm{33,7}}^{\,\circ} </latex>

Ker je kazalec napetosti ''UL'' za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti ''UC'' pa za kazalcem ''U'' zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.

Tok skozi upor:

<latex>{\underline{I}_R} \,=\, \frac{\underline{U}_R}{R}\, =\, \frac{{\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{2}\, = \,{\rm{0,66}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_R} \,=\, {\rm{0,66}}\,{\rm{A\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{{\rm{\alpha }}_{{\rm{I}}R}} \,=\, - {\rm{33,7}}^{\,\circ}</latex>

Tok skozi kondenzator:

<latex>{\underline{I}_C}\, =\, \frac{\underline{U}_C}{ - {\rm{j}}{X_C}} \,=\, {\rm{j}}\frac{\underline{U}_C}{X_C}\, =\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, \cdot\, \frac{{\rm{1,33}}{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{4} \,= \,{\rm{0,33}}\,{e^{{\rm{j\,56,3}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_C} \,=\, {\rm{0,33}}\,{\rm{A}}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{\rm{\alpha }}_{I_C} \,=\, {\rm{56,3}}^{\,\circ}</latex>

Geometrična vsota tokov ''IR'' in ''IC'' mora biti seveda enaka toku ''IL''.

Ker sta toka ''IR'' in ''IC'' med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mesta). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.
</primer>
[[Image:eele_slika_3_4_17.svg|thumb|right|Slika 3.4.17]]
<primer>
2. Izračunaj tok skozi tuljavo ''L''4 in njegov fazni kot v izmeničnem krogu, ki ga prikazuje slika 3.4.17|||
NI RESITVE

</primer>

== Računanje moči sinusnega toka v eksponentni kompleksni obliki ==

Če trikotnik moči poljubne vezave upora, tuljave in/ali kondenzatorja narišemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.18), lahko ugotovimo:

[[Image:eele_slika_3_4_18.svg|thumb|right|Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Navidezno moč izmeničnega toka je v kompleksni ravnini ponazorjena s kompleksorjem ''S'', katerega realna komponenta je '''delovna''' moč '''''P''''', imaginarna komponenta pa '''jalova''' moč ''j'''Q'''''.</pomembno>

Jalova moč ima lahko pri tem induktivni (j''QL'') ali kapacitivni (- j''QC'') značaj. V algebrski obliki zapišemo kompleksor moči ''S'':

<latex>{\underline{S}\, = \,P \,+ \,{\rm{j}}Q}|||(VA),</latex>

v eksponentni obliki pa

<latex>{\underline{S} \,= \,S{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(VA)</latex>

Pri računanju moči v eksponentni kompleksni obliki pa moramo biti previdni. Poglejmo:

<latex>\underline{S}\,=\,UIe^{\rm{j}\varphi}\,=\,UIe^{\rm{j}(\alpha_u \,-\,\alpha_i)}\,=\,Ue^{\rm{j}\alpha_u}Ie^{-\rm{j}\alpha_i}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}*</latex>

ali

<latex>\underline{S}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}^*|||(VA)</latex>

<pomembno>
*Kompleksor moči ''S'' izmeničnega toka je določen s produktom kompleksorja napetosti ''U'' in '''konjugiranega''' kompleksorja toka ''I*''.</pomembno>

Problem bi sicer lahko pričakovali, saj v istem kazalčnem diagramu lahko enakovredno obravnavamo le sinusne količine '''enakih frekvenc'''. Obravnavana navidezna moč pa je sestavljena iz delovne in izmenične jalove komponente, ki ima dvojno frekvenco toka oziroma napetosti.

Če upoštevamo še Ohmov zakon, ki velja tudi v kompleksni obliki ''U'' = ''I'' • ''Z'', lahko izmenično moč računamo tudi v obliki:

<latex>\underline{S}\, =\, \frac{U^2}{\underline{Z}^*}\, =\, {U^2} \underline{Z}\,= \,{U^2}\, \cdot\, {\underline{Y}^*}\, = \,{I^2}\, \cdot\, \underline{Z}\, =\, \frac{I^2}{\underline{Y}}</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj navidezno, delovno in jalovo moč izmeničnega toka pri podatkih ''U'' = 230 V, ''αU'' = 78 º, ''I'' = 2 A in ''αI'' = 48 º.|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U} \,\cdot \,{\underline{I}^*}\, = \,230{e^{{\rm{j}}78^{\,\circ} }}\, \cdot \,2{e^{ - {\rm{j}}48^{\,\circ} }}\, =\, 460{e^{{\rm{j}}30^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, S \,= \,460{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>P \,= \,S\,\cos \varphi \, =\, 460\cos 30^{\,\circ} \, =\, 398{\rm{\,W}}</latex>

<latex>Q \,=\, S\,\sin \varphi \,=\, 460\sin 30^{\,\circ} \, =\, 230{\rm{\,VAr}}</latex>

</primer>

<primer>
2. Izračunaj navidezno delovno in jalovo moč izmeničnega toka v vezavi iz prvega primera tega poglavja (''U'' = 1,2 • ''e''j0º V, ''I'' = 0,745 • ''e''-j7,12º A).|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U}\, \cdot\, {\underline{I}^*} \,=\, {\rm{1,2}}{e^{{\rm{j}}0^{\,\circ} }} \,\cdot\, {\rm{0,745}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{0,894}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>S\, =\, {\rm{0,894\,VA}}</latex>

<latex>P\, =\, S\,\cos \varphi \, = {\rm{0,894}} \,\cos {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, = \,{\rm{0,887\,W}}</latex>

<latex>Q\, =\, S\,\sin \varphi \, = {\rm{0,894}}\,\sin {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, =\, {\rm{0,11\,VAr}}</latex>

</primer>

V sestavljenem izmeničnem krogu na splošno velja:

<pomembno>
*Kompleksna moč '''večjega števila porabnikov''' je enaka '''vsoti''' kompleksnih moči posameznih porabnikov ne glede na vezavo le-teh.
</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Računanje električnih količin v kompleksi ravnini

2010-05-12T15:23:51Z

Latac:

Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''.

Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. '''''K''''', sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku:

[[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kompleksorji in kompleksni račun so le '''matematično orodje''', ki '''poenostavlja''' računanje.
*Kompleksno obliko »nadenemo« '''sinusnim''' električnim količinam '''pred računanjem'''.
*Med računanjem z električnimi količinami v kompleksni obliki upoštevamo vsa '''pravila računanja''' s '''kompleksnimi''' števili, ko pa dobimo rezultat, kompleksno obliko praviloma '''opustimo'''.
</pomembno>

Matematika ob robu:
<informacije>
Računanje v kompleksni ravnini

Večino problemov v splošni in tudi elektrotehniški praksi znamo rešiti z matematiko, ki temelji na realnih – predstavljivih številih, kot so npr. ± (1; 2; 36,8; π; 0,4; 2/3 ... ). V določenih primerih pa računi z realnimi števili obstanejo na problemu. kot je npr. '''kvadratni''' koren iz '''negativnega''' števila, za katerega med vso silno množico realnih števil ne najdemo rezultata. Matematiki so se pri tem zatekli k zvijači: ker √(-1) niso znali izračunati, so ga kot nekaj '''nepredstavljivega''' enostavno samo poimenovali z '''imaginarno<ref>imaginarius, lat. = le v mislih, domišljiji obstoječ, izmišljen, neresničen ...</ref> enoto''' in označili z »'''''i'''''«. V elektrotehniki bi oznako za imaginarno enoto lahko zamenjali z oznako za trenutno vrednost toka (''i''), zato v elektrotehniki uporabljamo za imaginarno enoto oznako »'''''j'''''«.
Naloga npr. √(-4) je tako postala »rešljiva« na način √(-4) = √(4(-1)) = √4 √(-1) = 2''j''. Rezultata si sicer ne znamo predstavljati, toda pomembno je, kot bomo videli, da se z njim da '''računati'''.

Produktu imaginarne enote in poljubnega '''realnega''' števila, npr. 2j, pravimo '''imaginarno''' število.

Tako kot realna števila tvorijo '''horizontalno''' številsko premico oziroma '''realno os''', po dogovoru domujejo imaginarna števila na '''vertikalni''' številski premici oziroma '''imaginarni osi'''. Obe osi določata ravnino, v kateri je poljubna točka določena z realno in imaginarno komponento.

Točki v ravnini, ki je določena z realno in imaginarno komponento, pravimo '''kompleksno število''' npr. ''Z'', ravnini pa '''kompleksna ravnina'''. Kazalcu, ki določa kompleksno število s svojo dolžino in kotom s pozitivno realno osjo, pravimo '''kompleksor'''.

Splošni zapis kompleksnega števila oziroma kompleksorja:

SLIKE

Dolžina kazalca oziroma kompleksorja, ki določa kompleksno število, predstavlja '''absolutno vrednost''' kompleksnega števila:

<latex>\left| {\underline{Z}} \right|\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2} \,+\, {{\rm{Im}}^2}} </latex>

Kompleksnemu številu <latex>\underline {Z} = a +{\mathrm{j}}b</latex> '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, <latex>\underline {Z} = a -{\mathrm{j}}b</latex> imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število.

'''Pravila računanja s kompleksnimi števili v algebrski obliki'''

'''Seštevanje in odštevanje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\, \pm\, {\underline{Z}_2} \,=\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\, \pm\, \left( {{a_{\rm{2}}}\, + \,{\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}} \,\pm\, {a_{\rm{2}}}} \right)\, +\, {\rm{ j}}\left( {{b_{\rm{1}}}\, \pm\, {b_{\rm{2}}}} \right)</latex>

'''Množenje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\,\cdot\,{\underline{Z}_2}\, =\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\,\cdot\,\left( {{a_{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+\, {a_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}} \,+\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+ \,{\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}}\, -\, {b_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, + \,{\rm{ j}}\left( {{a_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}\, +\, {a_{\rm{2}}}{b_{\rm{1}}}} \right)</latex>

'''Zanimiv produkt:'''
<latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex>
Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je '''realno''' število!

'''Deljenje:'''
<latex>\frac{{\underline{Z}}_1}{{\underline{Z}}_2} \,= \,\frac{{a_1} \,+\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2} \,+ \,{\rm{j}}{b_2}} \,= \,\frac{{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2}\, +\, {\rm{j}}{b_2}}\, \cdot\, \frac{{\underline{Z}_2}^*}{{\underline{Z}_2}^*}\, =\, \frac{\left( {{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}} \right) \,\cdot \,\left( {{a_2} \,- \,{\rm{j}}{b_2}} \right)}{a_2^2\, + \,b_2^2} = \frac{{a_1}{a_2} \,+\, {b_1}{b_2}}{a_2^2\, +\, b_2^2} \,+\, {\rm{j}}\frac{{a_2}{b_1}\, -\, {a_1}{b_2}}{a_2^2 \,+ \,b_2^2}</latex>

Zaradi enostavnejšega računanja je za operaciji množenja in deljenja ugodneje imeti kompleksna števila v eksponentni obliki:

<latex>{\underline{Z}_1}\, \cdot \,{\underline{Z}_2} \,= \,{Z_1} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}} \,\cdot\, {Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}\, =\, {Z_1}{Z_2} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1}\, + \,{\alpha _2})}}</latex>

<latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex>
</informacije>

== Računanje impedance in admitance v algebrski kompleksni obliki ==

»Prehod« realnih električnih količin v algebrsko kompleksno obliko si oglejmo najprej na preprostih primerih impedance in admitance. Če trikotnik upornosti, npr. izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora in tuljave (sl. 3.4.10 a), prenesemo v '''kompleksno ravnino''' tako, kot kaže sl. 3.4.10 b, smo impedanci »nadeli« algebrsko '''kompleksno''' obliko.

[[Image:eele_slika_3_4_10.svg|thumb|right|Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kazalcu impedance '''''Z''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' ('''''Z'''''), delovni komponenti '''''R''''' '''pozitivno realno''' komponento ('''''R''''') kompleksorja '''''Z''''' ter jalovi induktivni komponenti '''''XL''''' impedance '''''Z''''' '''pozitivno imaginarno''' komponento (+ j'''''XL''''') kompleksorja '''''Z'''''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance zaporedne vezave upora in tuljave ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z}\, =\, R \,+\, {\rm{j}}{X_L}}|||(Ω)

<pomembno>
*Impedanca ''Z'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Z'''''| kompleksorja impedance ''Z''.
</pomembno>

<latex>Z \,=\, \left| \underline{Z} \right|</latex>

oziroma

<latex>Z\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right) \,+\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 20 Ω in tuljave z induktivno 30 Ω zapišemo potem v kompleksni obliki na način:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {20\, + \,{\rm{j}}30} \right)\left( {\rm{\Omega }} \right) \,\,\,\,\, {\rm{in}} \,\,\,\,\, \left| \underline{Z} \right|\, = \,Z\, =\, \sqrt {{{20}^2} \,+ \,{{30}^2}}\, =\, 36\,\Omega </latex>

Fazni kot zaporedne vezave izračunamo v kompleksni obliki na osnovi '''imaginarne''' in '''realne''' komponente kompleksorja impedance ali admitance:

<latex>\tan \varphi\, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,= \,\frac{X_L}{R},</latex>
kar je že znana zgodba.

Podobno bi lahko naredili z impedanco kapacitivnega značaja, kompleksor impedance pa bi imel '''negativno''' imaginarno komponento (- j''XC'').

<pomembno>
*Induktivna jalova komponenta '''''XL''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''pozitivne''' imaginarne komponente (j''XL'') kompleksorja ''Z''.
*Kapacitivna jalova komponenta '''''XC''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''negativne imaginarne komponente''' (- j''XC'') kompleksorja ''Z''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance kapacitivnega značaja ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z} \,= \,R\, -\, {\rm{j}}{X_C}}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 40 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 50 Ω zapišemo potem v obliki:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {40 \,- \,{\rm{j}}50} \right)\,{\rm{\Omega }},</latex>

njena absolutna vrednost pa je

<latex>\left| \underline{Z} \right|\, =\, Z\, =\, \sqrt {{{40}^2} \,+\, {{50}^2}} \, =\, 64\,\Omega </latex>

Vidimo, da se zapisa impedanc induktivnega in kapacitivnega značaja v kompleksni obliki razlikujeta v '''predznakih imaginarnih''' komponent. Ta ugotovitev je pomembna tudi za določitev značaja impedance ter delovne in jalove upornosti iz rezultata reševanja naloge sestavljene vezave.

<pomembno>
*Pozitivni predznak imaginarne komponente (+ j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''induktivni''' značaj impedance ''Z'' in '''pozitivni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
*Negativni predznak imaginarne komponente (- j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''kapacitivni''' značaj impedance ''Z'' in '''negativni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
</pomembno>

Kompleksni obliki zapisov admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja dobimo na podoben način na osnovi trikotnikov admitanc (slika 3.4.12):
[[Image:eele_slika_3_4_12.svg|thumb|right|Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja]]

<pomembno>
*Kazalcu admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' '''''Y'''''.
*Delovni komponenti '''''G''''' admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''pozitivno''' realno komponento ('''''G'''''), '''induktivni''' jalovi komponenti '''''BL''''' '''negativno''' imaginarno komponento (- j''BL'') in '''kapacitivni''' jalovi komponenti '''''BC''''' admitance '''''Y''''' '''pozitivno''' (+ j''BC'') kompleksorja '''''Y'''''.
</pomembno>

Algebrska zapisa admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja imata torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Y}\, = \,\left( {G \,- \,{\rm{j}}{B_L}} \right)}|||(S)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, \left( {G\, + \,{\rm{j}}{B_C}} \right)}|||(S)</latex>

Admitanca ''Y'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Y'''''| kompleksorja admitance '''''Y'''''.

<latex>Y \,= \,\left| \underline{Y} \right|\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Y} \right) \,+ \,{{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Y} \right)} \, = \,\sqrt {{G^2}\, + \,{B^2}}|||(S)</latex>

Fazni kot vzporedne vezave izračunamo na osnovi imaginarne in realne komponente na podoben način, kot smo to ugotovili za primer impedance.

Iz slike 3.4.12 in dobljenih izrazov za admitanco ''Y'' ugotavljamo, da ima predznak imaginarne komponente kompleksorja '''admitance nasproten''' pomen kot predznak imaginarne komponente kompleksorja '''impedance'''.

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj impedanco in fazni kot vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.13 a. Upornost upora je 2 Ω, kapacitivna upornost je 4 Ω in induktivna upornost je 1Ω.|||

[[Image:eele_slika_3_4_13.svg|thumb|right|Slika 3.4.13]]

Potek računanja nakazujeta nadomestni vezavi b in c:

<latex>{\underline{Y}_{RC}} \,= \,G \,+\, {\rm{j}}{B_C}\, = \,{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}} \,= \,\frac{1}{\underline{Y}_{RC}}\, = \,\frac{1}{{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}}\, = \,\frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{({\rm{0,5}} \,+\, {\rm{j\,0,25}})\left( {\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}} \right)}\, =\, \frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{{\rm{0,25}}\, +\, {\rm{0,0625}}} \,= \,{\rm{1,6}}\, -\, {\rm{j\,0,8\,\Omega}} </latex>

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_{RC}}\, +\, {\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{1,6}} \,-\, {\rm{j\,0,8}} \,+\, {\rm{j}} \,= \,\left( {{\rm{1,6}} \,+\, {\rm{j\,0,2}}} \right)\,\Omega </latex>

Iz izračunane impedance vezave v kompleksni obliki ugotavljamo:

1. Impedanca ima zaradi pozitivnega predznaka imaginarne komponente, '''induktivni''' značaj.

2. Upornost '''delovne''' komponente impedance je 1,6 Ω, upornost '''jalove''' komponente pa 0,2 Ω.

3. Sestavljeno vezavo upornosti na sliki 3.4.13 a. bi lahko glede izvora enakovredno nadomestili z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' z upornostjo 1,6 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 0,2 Ω.

Impedanca vezave:

<latex>Z\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right)\, +\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{\rm{1,6}^2} \,+\, {\rm{0,2}^2}}\, =\, {\rm{1,61}}\,\Omega </latex>

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{\rm{0,2}}{\rm{1,6}} \,=\, {\rm{0,125}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \,=\, {\rm{7,12}}^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj impedanco in fazni kot sestavljene vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.14 (''R''1 = 3 Ω, ''XL'' = 4 Ω, ''XC''1 = 4 Ω, ''R''2 = 2 Ω in ''XC''2 = 4 Ω).|||

[[Image:eele_slika_3_4_14.svg|thumb|right|Slika 3.4.14]]

Delne nadomestne impedance in admitance v kompleksni obliki:

<latex>{\underline{Z}_2} \,= \,{R_2} \,- \,{\rm{j}}{X_{C2}}\, =\, \left( {2 \,-\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Z}_1}\, = \,{R_1} \,+\, {\rm{j}}{X_L} \,= \,\left( {3\, +\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{1}{{\underline{Z}_1}}\, +\, {\rm{j}}{B_{C1}}\, =\, \frac{1}{{3 \,+ \,{\rm{j}}4}}\, + \,{\rm{j}}\frac{1}{4}\, =\, \frac{{\rm{j}}3}{12 \,+\, {\rm{j}}16}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_3}\, =\, \frac{1}{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{12\, +\, {\rm{j}}16}{{\rm{j}}3}\, =\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Impedanca celotne vezave v kompleksni obliki je po tem:

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_2} \,+\, {\underline{Z}_3}\, = \,2\, - \,{\rm{j}}4\, +\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\, =\, \frac{6\, -\, {\rm{j}}12\, + \,16\, -\, {\rm{j}}12}{3} \,= \,(\frac{22}{3}\, -\, {\rm{j}}\frac{24}{3})\,\Omega </latex>

Impedanca vezave ima kapacitivni značaj (- j). Glede obremenitve izvora bi jo lahko nadomestili z zaporedno vezavo upora z upornostjo 22/3 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 24/3 Ω.

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{ - \frac{24}{3}}{\frac{22}{3}} \,= \, -\, {\rm{1,091}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \, =\, -\, {\rm{47,5}}^{\,\circ} </latex>

</primer>

== Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki ==

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni '''delovna''' in '''jalova komponenta''' impedance, prevodnosti, toka ... in '''značaj jalovih''' komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi '''preprosto''' seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.

'''Algebrska oblika''' zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje '''impedanc''' in '''prevodnosti''' pa tudi '''napetosti''' in '''tokov''' na osnovi zakonov '''napetostnih zank''' in '''tokovnih''' vozlišč.

Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama '''množenja''' in '''deljenja'''. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.

Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):

[[Image:eele_slika_3_4_15.svg|thumb|right|Slika 3.4.15]]

Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor ''U''m v trigonometrični obliki, in sicer:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, \left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}\left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\sin \left( {\omega t} \right)\, =\, {U_{\rm{m}}}\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}{U_{\rm{m}}}\,\sin \left( {\omega t} \right)\, = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos \left( {\omega t} \right) \,+\, {\rm{j}}\sin \left( {\omega t} \right)} \right)</latex>

Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni '''operator''' '''''ej(ωt)''''' <ref><latex>\cos \alpha \,+\, {\rm{j}}\sin \alpha\, = \,{e^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,e\, =\, {\rm{osnova\,\,naravnih\,\,logaritmov\,\,}}( \approx \,{\rm{2,71}} \ldots )</latex></ref>, dobimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, {U_{\rm{m}}}{e^{{\rm{j}}\left( {\omega t} \right)}}</latex>

Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z '''efektivnimi''' vrednostmi izmeničnih količin.

Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (''ωt'' = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor '''napetosti''' izvora na '''pozitivno''' realno os (kot če bi izbrali ''αu'' = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom ''φ'', dobimo za računanje obliko:

<latex>\underline{U}\, =\, \left| \underline{U} \right|{e^{{\rm{j}}{0^{\,\circ} }}}\, =\, U\, \cdot\, 1\, =\, U</latex>

oziroma

<latex>{\underline{U} \,= \,U} \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, {\underline{I} \,=\, I{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:

<latex>{\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(Ω)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, Y{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča '''preprosto množenje''' in '''deljenje''' kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne '''impedance''' in '''admitance''', '''maksimalne''' ali '''efektivne''' vrednosti '''napetosti''' in '''tokov''' ter '''fazni kot''' in iz njegovega predznaka '''značaj''' jalovih komponent računanih količin.

'''Primera:'''

<primer>
1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.|||

[[Image:eele_slika_3_4_16.svg|thumb|right|Slika 3.4.16]]

Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz '''algebrske''' v '''eksponencialno''' obliko:

<latex>\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}\, = \,1,61\,{e^{{\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}</latex>

Tok skozi tuljavo je tok izvora:

<latex>\underline{I}\, =\, {\underline{I}_L}\, =\, \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\, = \,\frac{U}{{Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}} \,= \,\frac{\rm{1,2}}{\rm{1,61}}{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}}e{\rm{j}}\alpha </latex>
<ref>Množenje kompleksorja z operatorjem ej''α'' povzroča v kompleksni ravnini zasuk kompleksorja za kot ''α''</ref>

Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.

Kompleksor induktivne upornosti j''XL'' prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:

<latex>{\rm{j}}{X_L}\, =\, {X_L}\,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, 1\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}</latex>

Napetost na tuljavi je potem:

<latex>{\underline{U}_L} \,= \,{\underline{I}_L}\, \cdot \,{\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{{\rm{j\,82,8}}^{\,\circ} }}{\rm{\,V}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{U_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{{\rm{U}}L}} \,=\, {\rm{82,8}}^{\,\circ} </latex>

Kompleksor impedance ''ZRC'' prevedemo v eksponentno obliko:

<latex>{Z_{RC}} \,=\, \sqrt {{\rm{1,6}^2}\, + \,{\rm{0,8}^2}} \, =\, {\rm{1,79}}\,{\rm{\Omega }}\,\,;\,\,\,\,\,\tan {\varphi _{RC}}\, = \,\frac{ - {\rm{0,8}}}{\rm{1,6}} \,=\, - {\rm{0,5}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {\varphi _{RC}}\, =\, - {\rm{26,6}}^{\,\circ} </latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}}\, =\, {Z_{RC}}{e^{{\rm{j}}{\varphi _{RC}}}}\, =\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Napetost na uporu in kondenzatorju je:

<latex>{\underline{U}_R} \,=\, {\underline{U}_C}\, =\, {\underline{IZ}_{RC}}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}</latex>

<latex>{U_R} \,= \,{U_C} \,=\, {\rm{1,33}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{U_R}}\, =\, {{\rm{\alpha }}_{U_C}}\, = \, - {\rm{33,7}}^{\,\circ} </latex>

Ker je kazalec napetosti ''UL'' za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti ''UC'' pa za kazalcem ''U'' zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.

Tok skozi upor:

<latex>{\underline{I}_R} \,=\, \frac{\underline{U}_R}{R}\, =\, \frac{{\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{2}\, = \,{\rm{0,66}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_R} \,=\, {\rm{0,66}}\,{\rm{A\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{{\rm{\alpha }}_{{\rm{I}}R}} \,=\, - {\rm{33,7}}^{\,\circ}</latex>

Tok skozi kondenzator:

<latex>{\underline{I}_C}\, =\, \frac{\underline{U}_C}{ - {\rm{j}}{X_C}} \,=\, {\rm{j}}\frac{\underline{U}_C}{X_C}\, =\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, \cdot\, \frac{{\rm{1,33}}{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{4} \,= \,{\rm{0,33}}\,{e^{{\rm{j\,56,3}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_C} \,=\, {\rm{0,33}}\,{\rm{A}}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{\rm{\alpha }}_{I_C} \,=\, {\rm{56,3}}^{\,\circ}</latex>

Geometrična vsota tokov ''IR'' in ''IC'' mora biti seveda enaka toku ''IL''.

Ker sta toka ''IR'' in ''IC'' med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mesta). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.
</primer>

<primer>
2. Izračunaj tok skozi tuljavo ''L''4 in njegov fazni kot v izmeničnem krogu, ki ga prikazuje slika 3.4.17|||
NI RESITVE

[[Image:eele_slika_3_4_17.svg|thumb|right|Slika 3.4.17]]
</primer>

== Računanje moči sinusnega toka v eksponentni kompleksni obliki ==
[[Image:eele_slika_3_4_18.svg|thumb|right|Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini]]

Če trikotnik moči poljubne vezave upora, tuljave in/ali kondenzatorja narišemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.18), lahko ugotovimo:

Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini

<pomembno>
*Navidezno moč izmeničnega toka je v kompleksni ravnini ponazorjena s kompleksorjem ''S'', katerega realna komponenta je '''delovna''' moč '''''P''''', imaginarna komponenta pa '''jalova''' moč ''j'''Q'''''.</pomembno>

Jalova moč ima lahko pri tem induktivni (j''QL'') ali kapacitivni (- j''QC'') značaj. V algebrski obliki zapišemo kompleksor moči ''S'':

<latex>{\underline{S}\, = \,P \,+ \,{\rm{j}}Q}|||(VA),</latex>

v eksponentni obliki pa

<latex>{\underline{S} \,= \,S{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(VA)</latex>

Pri računanju moči v eksponentni kompleksni obliki pa moramo biti previdni. Poglejmo:

<latex>\underline{S}\,=\,UIe^{\rm{j}\varphi}\,=\,UIe^{\rm{j}(\alpha_u \,-\,\alpha_i)}\,=\,Ue^{\rm{j}\alpha_u}Ie^{-\rm{j}\alpha_i}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}*</latex>

ali

<latex>\underline{S}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}^*|||(VA)</latex>

<pomembno>
*Kompleksor moči ''S'' izmeničnega toka je določen s produktom kompleksorja napetosti ''U'' in '''konjugiranega''' kompleksorja toka ''I*''.</pomembno>

Problem bi sicer lahko pričakovali, saj v istem kazalčnem diagramu lahko enakovredno obravnavamo le sinusne količine '''enakih frekvenc'''. Obravnavana navidezna moč pa je sestavljena iz delovne in izmenične jalove komponente, ki ima dvojno frekvenco toka oziroma napetosti.

Če upoštevamo še Ohmov zakon, ki velja tudi v kompleksni obliki ''U'' = ''I'' • ''Z'', lahko izmenično moč računamo tudi v obliki:

<latex>\underline{S}\, =\, \frac{U^2}{\underline{Z}^*}\, =\, {U^2} \underline{Z}\,= \,{U^2}\, \cdot\, {\underline{Y}^*}\, = \,{I^2}\, \cdot\, \underline{Z}\, =\, \frac{I^2}{\underline{Y}}</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj navidezno, delovno in jalovo moč izmeničnega toka pri podatkih ''U'' = 230 V, ''αU'' = 78 º, ''I'' = 2 A in ''αI'' = 48 º.|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U} \,\cdot \,{\underline{I}^*}\, = \,230{e^{{\rm{j}}78^{\,\circ} }}\, \cdot \,2{e^{ - {\rm{j}}48^{\,\circ} }}\, =\, 460{e^{{\rm{j}}30^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, S \,= \,460{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>P \,= \,S\,\cos \varphi \, =\, 460\cos 30^{\,\circ} \, =\, 398{\rm{\,W}}</latex>

<latex>Q \,=\, S\,\sin \varphi \,=\, 460\sin 30^{\,\circ} \, =\, 230{\rm{\,VAr}}</latex>

</primer>

<primer>
2. Izračunaj navidezno delovno in jalovo moč izmeničnega toka v vezavi iz prvega primera tega poglavja (''U'' = 1,2 • ''e''j0º V, ''I'' = 0,745 • ''e''-j7,12º A).|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U}\, \cdot\, {\underline{I}^*} \,=\, {\rm{1,2}}{e^{{\rm{j}}0^{\,\circ} }} \,\cdot\, {\rm{0,745}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{0,894}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>S\, =\, {\rm{0,894\,VA}}</latex>

<latex>P\, =\, S\,\cos \varphi \, = {\rm{0,894}} \,\cos {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, = \,{\rm{0,887\,W}}</latex>

<latex>Q\, =\, S\,\sin \varphi \, = {\rm{0,894}}\,\sin {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, =\, {\rm{0,11\,VAr}}</latex>

</primer>

V sestavljenem izmeničnem krogu na splošno velja:

<pomembno>
*Kompleksna moč '''večjega števila porabnikov''' je enaka '''vsoti''' kompleksnih moči posameznih porabnikov ne glede na vezavo le-teh.
</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Računanje električnih količin v kompleksi ravnini

2010-05-11T09:56:37Z

Latac:

Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''.

Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. '''''K''''', sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku:

Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini
[[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kompleksorji in kompleksni račun so le '''matematično orodje''', ki '''poenostavlja''' računanje.
*Kompleksno obliko »nadenemo« '''sinusnim''' električnim količinam '''pred računanjem'''.
*Med računanjem z električnimi količinami v kompleksni obliki upoštevamo vsa '''pravila računanja''' s '''kompleksnimi''' števili, ko pa dobimo rezultat, kompleksno obliko praviloma '''opustimo'''.
</pomembno>

Matematika ob robu:
<informacije>
Računanje v kompleksni ravnini

Večino problemov v splošni in tudi elektrotehniški praksi znamo rešiti z matematiko, ki temelji na realnih – predstavljivih številih, kot so npr. ± (1; 2; 36,8; π; 0,4; 2/3 ... ). V določenih primerih pa računi z realnimi števili obstanejo na problemu. kot je npr. '''kvadratni''' koren iz '''negativnega''' števila, za katerega med vso silno množico realnih števil ne najdemo rezultata. Matematiki so se pri tem zatekli k zvijači: ker √(-1) niso znali izračunati, so ga kot nekaj '''nepredstavljivega''' enostavno samo poimenovali z '''imaginarno<ref>imaginarius, lat. = le v mislih, domišljiji obstoječ, izmišljen, neresničen ...</ref> enoto''' in označili z »'''''i'''''«. V elektrotehniki bi oznako za imaginarno enoto lahko zamenjali z oznako za trenutno vrednost toka (''i''), zato v elektrotehniki uporabljamo za imaginarno enoto oznako »'''''j'''''«.
Naloga npr. √(-4) je tako postala »rešljiva« na način √(-4) = √(4(-1)) = √4 √(-1) = 2''j''. Rezultata si sicer ne znamo predstavljati, toda pomembno je, kot bomo videli, da se z njim da '''računati'''.

Produktu imaginarne enote in poljubnega '''realnega''' števila, npr. 2j, pravimo '''imaginarno''' število.

Tako kot realna števila tvorijo '''horizontalno''' številsko premico oziroma '''realno os''', po dogovoru domujejo imaginarna števila na '''vertikalni''' številski premici oziroma '''imaginarni osi'''. Obe osi določata ravnino, v kateri je poljubna točka določena z realno in imaginarno komponento.

Točki v ravnini, ki je določena z realno in imaginarno komponento, pravimo '''kompleksno število''' npr. ''Z'', ravnini pa '''kompleksna ravnina'''. Kazalcu, ki določa kompleksno število s svojo dolžino in kotom s pozitivno realno osjo, pravimo '''kompleksor'''.

Splošni zapis kompleksnega števila oziroma kompleksorja:

SLIKE

Dolžina kazalca oziroma kompleksorja, ki določa kompleksno število, predstavlja '''absolutno vrednost''' kompleksnega števila:

<latex>\left| {\underline{Z}} \right|\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2} \,+\, {{\rm{Im}}^2}} </latex>

Kompleksnemu številu ''Z'' = ''a'' + j''b'' '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, ''Z''* = ''a'' - j''b'' imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število.

'''Pravila računanja s kompleksnimi števili v algebrski obliki'''

'''Seštevanje in odštevanje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\, \pm\, {\underline{Z}_2} \,=\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\, \pm\, \left( {{a_{\rm{2}}}\, + \,{\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}} \,\pm\, {a_{\rm{2}}}} \right)\, +\, {\rm{ j}}\left( {{b_{\rm{1}}}\, \pm\, {b_{\rm{2}}}} \right)</latex>

'''Množenje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\,\cdot\,{\underline{Z}_2}\, =\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\,\cdot\,\left( {{a_{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+\, {a_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}} \,+\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+ \,{\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}}\, -\, {b_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, + \,{\rm{ j}}\left( {{a_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}\, +\, {a_{\rm{2}}}{b_{\rm{1}}}} \right)</latex>

'''Zanimiv produkt:'''
<latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}^* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex>
Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je '''realno''' število!

'''Deljenje:'''
<latex>\frac{{\underline{Z}}_1}{{\underline{Z}}_2} \,= \,\frac{{a_1} \,+\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2} \,+ \,{\rm{j}}{b_2}} \,= \,\frac{{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2}\, +\, {\rm{j}}{b_2}}\, \cdot\, \frac{{\underline{Z}_2}^*}{{\underline{Z}_2}^*}\, =\, \frac{\left( {{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}} \right) \,\cdot \,\left( {{a_2} \,- \,{\rm{j}}{b_2}} \right)}{a_2^2\, + \,b_2^2} = \frac{{a_1}{a_2} \,+\, {b_1}{b_2}}{a_2^2\, +\, b_2^2} \,+\, {\rm{j}}\frac{{a_2}{b_1}\, -\, {a_1}{b_2}}{a_2^2 \,+ \,b_2^2}</latex>

Zaradi enostavnejšega računanja je za operaciji množenja in deljenja ugodneje imeti kompleksna števila v eksponentni obliki:

<latex>{\underline{Z}_1}\, \cdot \,{\underline{Z}_2} \,= \,{Z_1} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}} \,\cdot\, {Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}\, =\, {Z_1}{Z_2} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1}\, + \,{\alpha _2})}}</latex>

<latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex>
</informacije>

== Računanje impedance in admitance v algebrski kompleksni obliki ==

»Prehod« realnih električnih količin v algebrsko kompleksno obliko si oglejmo najprej na preprostih primerih impedance in admitance. Če trikotnik upornosti, npr. izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora in tuljave (sl. 3.4.10 a), prenesemo v '''kompleksno ravnino''' tako, kot kaže sl. 3.4.10 b, smo impedanci »nadeli« algebrsko '''kompleksno''' obliko.

Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini
[[Image:eele_slika_3_4_10.svg|thumb|right|Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini]]

<pomembno>
*Kazalcu impedance '''''Z''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' ('''''Z'''''), delovni komponenti '''''R''''' '''pozitivno realno''' komponento ('''''R''''') kompleksorja '''''Z''''' ter jalovi induktivni komponenti '''''XL''''' impedance '''''Z''''' '''pozitivno imaginarno''' komponento (+ j'''''XL''''') kompleksorja '''''Z'''''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance zaporedne vezave upora in tuljave ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z}\, =\, R \,+\, {\rm{j}}{X_L}}|||(Ω)

<pomembno>
*Impedanca ''Z'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Z'''''| kompleksorja impedance ''Z''.
</pomembno>

<latex>Z \,=\, \left| \underline{Z} \right|</latex>

oziroma

<latex>Z\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right) \,+\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 20 Ω in tuljave z induktivno 30 Ω zapišemo potem v kompleksni obliki na način:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {20\, + \,{\rm{j}}30} \right)\left( {\rm{\Omega }} \right) \,\,\,\,\, {\rm{in}} \,\,\,\,\, \left| \underline{Z} \right|\, = \,Z\, =\, \sqrt {{{20}^2} \,+ \,{{30}^2}}\, =\, 36\,\Omega </latex>

Fazni kot zaporedne vezave izračunamo v kompleksni obliki na osnovi '''imaginarne''' in '''realne''' komponente kompleksorja impedance ali admitance:

<latex>\tan \varphi\, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,= \,\frac{X_L}{R},</latex>
kar je že znana zgodba.

Podobno bi lahko naredili z impedanco kapacitivnega značaja, kompleksor impedance pa bi imel '''negativno''' imaginarno komponento (- j''XC'').

<pomembno>
*Induktivna jalova komponenta '''''XL''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''pozitivne''' imaginarne komponente (j''XL'') kompleksorja ''Z''.
*Kapacitivna jalova komponenta '''''XC''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''negativne imaginarne komponente''' (- j''XC'') kompleksorja ''Z''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance kapacitivnega značaja ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z} \,= \,R\, -\, {\rm{j}}{X_C}}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 40 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 50 Ω zapišemo potem v obliki:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {40 \,- \,{\rm{j}}50} \right)\,{\rm{\Omega }},</latex>

njena absolutna vrednost pa je

<latex>\left| \underline{Z} \right|\, =\, Z\, =\, \sqrt {{{40}^2} \,+\, {{50}^2}} \, =\, 64\,\Omega </latex>

Vidimo, da se zapisa impedanc induktivnega in kapacitivnega značaja v kompleksni obliki razlikujeta v '''predznakih imaginarnih''' komponent. Ta ugotovitev je pomembna tudi za določitev značaja impedance ter delovne in jalove upornosti iz rezultata reševanja naloge sestavljene vezave.

<pomembno>
*Pozitivni predznak imaginarne komponente (+ j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''induktivni''' značaj impedance ''Z'' in '''pozitivni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
*Negativni predznak imaginarne komponente (- j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''kapacitivni''' značaj impedance ''Z'' in '''negativni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
</pomembno>

Kompleksni obliki zapisov admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja dobimo na podoben način na osnovi trikotnikov admitanc (slika 3.4.12):

Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja
[[Image:eele_slika_3_4_12.svg|thumb|right|Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja]]

<pomembno>
*Kazalcu admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' '''''Y'''''.
*Delovni komponenti '''''G''''' admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''pozitivno''' realno komponento ('''''G'''''), '''induktivni''' jalovi komponenti '''''BL''''' '''negativno''' imaginarno komponento (- j''BL'') in '''kapacitivni''' jalovi komponenti '''''BC''''' admitance '''''Y''''' '''pozitivno''' (+ j''BC'') kompleksorja '''''Y'''''.
</pomembno>

Algebrska zapisa admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja imata torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Y}\, = \,\left( {G \,- \,{\rm{j}}{B_L}} \right)}|||(S)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, \left( {G\, + \,{\rm{j}}{B_C}} \right)}|||(S)</latex>

Admitanca ''Y'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Y'''''| kompleksorja admitance '''''Y'''''.

<latex>Y \,= \,\left| \underline{Y} \right|\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Y} \right) \,+ \,{{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Y} \right)} \, = \,\sqrt {{G^2}\, + \,{B^2}}|||(S)</latex>

Fazni kot vzporedne vezave izračunamo na osnovi imaginarne in realne komponente na podoben način, kot smo to ugotovili za primer impedance.

Iz slike 3.4.12 in dobljenih izrazov za admitanco ''Y'' ugotavljamo, da ima predznak imaginarne komponente kompleksorja '''admitance nasproten''' pomen kot predznak imaginarne komponente kompleksorja '''impedance'''.

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj impedanco in fazni kot vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.13 a. Upornost upora je 2 Ω, kapacitivna upornost je 4 Ω in induktivna upornost je 1Ω.|||

Slika 3.4.13
[[Image:eele_slika_3_4_13.svg|thumb|right|Slika 3.4.13]]

Potek računanja nakazujeta nadomestni vezavi b in c:

<latex>{\underline{Y}_{RC}} \,= \,G \,+\, {\rm{j}}{B_C}\, = \,{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}} \,= \,\frac{1}{\underline{Y}_{RC}}\, = \,\frac{1}{{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}}\, = \,\frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{({\rm{0,5}} \,+\, {\rm{j\,0,25}})\left( {\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}} \right)}\, =\, \frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{{\rm{0,25}}\, +\, {\rm{0,0625}}} \,= \,{\rm{1,6}}\, -\, {\rm{j\,0,8\,\Omega}} </latex>

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_{RC}}\, +\, {\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{1,6}} \,-\, {\rm{j\,0,8}} \,+\, {\rm{j}} \,= \,\left( {{\rm{1,6}} \,+\, {\rm{j\,0,2}}} \right)\,\Omega </latex>

Iz izračunane impedance vezave v kompleksni obliki ugotavljamo:

1. Impedanca ima zaradi pozitivnega predznaka imaginarne komponente, '''induktivni''' značaj.

2. Upornost '''delovne''' komponente impedance je 1,6 Ω, upornost '''jalove''' komponente pa 0,2 Ω.

3. Sestavljeno vezavo upornosti na sliki 3.4.13 a. bi lahko glede izvora enakovredno nadomestili z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' z upornostjo 1,6 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 0,2 Ω.

Impedanca vezave:

<latex>Z\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right)\, +\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{\rm{1,6}^2} \,+\, {\rm{0,2}^2}}\, =\, {\rm{1,61}}\,\Omega </latex>

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{\rm{0,2}}{\rm{1,6}} \,=\, {\rm{0,125}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \,=\, {\rm{7,12}}^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj impedanco in fazni kot sestavljene vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.14 (''R''1 = 3 Ω, ''XL'' = 4 Ω, ''XC''1 = 4 Ω, ''R''2 = 2 Ω in ''XC''2 = 4 Ω).|||

Slika 3.4.14
[[Image:eele_slika_3_4_14.svg|thumb|right|Slika 3.4.14]]

Delne nadomestne impedance in admitance v kompleksni obliki:

<latex>{\underline{Z}_2} \,= \,{R_2} \,- \,{\rm{j}}{X_{C2}}\, =\, \left( {2 \,-\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Z}_1}\, = \,{R_1} \,+\, {\rm{j}}{X_L} \,= \,\left( {3\, +\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{1}{{\underline{Z}_1}}\, +\, {\rm{j}}{B_{C1}}\, =\, \frac{1}{{3 \,+ \,{\rm{j}}4}}\, + \,{\rm{j}}\frac{1}{4}\, =\, \frac{{\rm{j}}3}{12 \,+\, {\rm{j}}16}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_3}\, =\, \frac{1}{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{12\, +\, {\rm{j}}16}{{\rm{j}}3}\, =\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Impedanca celotne vezave v kompleksni obliki je po tem:

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_2} \,+\, {\underline{Z}_3}\, = \,2\, - \,{\rm{j}}4\, +\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\, =\, \frac{6\, -\, {\rm{j}}12\, + \,16\, -\, {\rm{j}}12}{3} \,= \,(\frac{22}{3}\, -\, {\rm{j}}\frac{24}{3})\,\Omega </latex>

Impedanca vezave ima kapacitivni značaj (- j). Glede obremenitve izvora bi jo lahko nadomestili z zaporedno vezavo upora z upornostjo 22/3 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 24/3 Ω.

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{ - \frac{24}{3}}{\frac{22}{3}} \,= \, -\, {\rm{1,091}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \, =\, -\, {\rm{47,5}}^{\,\circ} </latex>

</primer>

== Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki ==

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni '''delovna''' in '''jalova komponenta''' impedance, prevodnosti, toka ... in '''značaj jalovih''' komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi '''preprosto''' seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.

'''Algebrska oblika''' zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje '''impedanc''' in '''prevodnosti''' pa tudi '''napetosti''' in '''tokov''' na osnovi zakonov '''napetostnih zank''' in '''tokovnih''' vozlišč.

Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama '''množenja''' in '''deljenja'''. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.

Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):

Slika 3.4.15
[[Image:eele_slika_3_4_15.svg|thumb|right|Slika 3.4.15]]

Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor ''U''m v trigonometrični obliki, in sicer:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, \left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}\left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\sin \left( {\omega t} \right)\, =\, {U_{\rm{m}}}\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}{U_{\rm{m}}}\,\sin \left( {\omega t} \right)\, = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos \left( {\omega t} \right) \,+\, {\rm{j}}\sin \left( {\omega t} \right)} \right)</latex>

Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni '''operator''' '''''ej(ωt)''''' <ref><latex>\cos \alpha \,+\, {\rm{j}}\sin \alpha\, = \,{e^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,e\, =\, {\rm{osnova\,\,naravnih\,\,logaritmov\,\,}}( \approx \,{\rm{2,71}} \ldots )</latex></ref>, dobimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, {U_{\rm{m}}}{e^{{\rm{j}}\left( {\omega t} \right)}}</latex>

Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z '''efektivnimi''' vrednostmi izmeničnih količin.

Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (''ωt'' = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor '''napetosti''' izvora na '''pozitivno''' realno os (kot če bi izbrali ''αu'' = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom ''φ'', dobimo za računanje obliko:

<latex>\underline{U}\, =\, \left| \underline{U} \right|{e^{{\rm{j}}{0^{\,\circ} }}}\, =\, U\, \cdot\, 1\, =\, U</latex>

oziroma

<latex>{\underline{U} \,= \,U} \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, {\underline{I} \,=\, I{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:

<latex>{\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(Ω)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, Y{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča '''preprosto množenje''' in '''deljenje''' kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne '''impedance''' in '''admitance''', '''maksimalne''' ali '''efektivne''' vrednosti '''napetosti''' in '''tokov''' ter '''fazni kot''' in iz njegovega predznaka '''značaj''' jalovih komponent računanih količin.

'''Primera:'''

<primer>
1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.|||

Slika 3.4.16
[[Image:eele_slika_3_4_16.svg|thumb|right|Slika 3.4.16]]

Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz '''algebrske''' v '''eksponencialno''' obliko:

<latex>\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}\, = \,1,61\,{e^{{\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}</latex>

Tok skozi tuljavo je tok izvora:

<latex>\underline{I}\, =\, {\underline{I}_L}\, =\, \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\, = \,\frac{U}{{Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}} \,= \,\frac{\rm{1,2}}{\rm{1,61}}{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}}e{\rm{j}}\alpha </latex>
<ref>Množenje kompleksorja z operatorjem ej''α'' povzroča v kompleksni ravnini zasuk kompleksorja za kot ''α''</ref>

Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.

Kompleksor induktivne upornosti j''XL'' prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:

<latex>{\rm{j}}{X_L}\, =\, {X_L}\,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, 1\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}</latex>

Napetost na tuljavi je potem:

<latex>{\underline{U}_L} \,= \,{\underline{I}_L}\, \cdot \,{\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{{\rm{j\,82,8}}^{\,\circ} }}{\rm{\,V}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{U_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{{\rm{U}}L}} \,=\, {\rm{82,8}}^{\,\circ} </latex>

Kompleksor impedance ''ZRC'' prevedemo v eksponentno obliko:

<latex>{Z_{RC}} \,=\, \sqrt {{\rm{1,6}^2}\, + \,{\rm{0,8}^2}} \, =\, {\rm{1,79}}\,{\rm{\Omega }}\,\,;\,\,\,\,\,\tan {\varphi _{RC}}\, = \,\frac{ - {\rm{0,8}}}{\rm{1,6}} \,=\, - {\rm{0,5}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {\varphi _{RC}}\, =\, - {\rm{26,6}}^{\,\circ} </latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}}\, =\, {Z_{RC}}{e^{{\rm{j}}{\varphi _{RC}}}}\, =\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Napetost na uporu in kondenzatorju je:

<latex>{\underline{U}_R} \,=\, {\underline{U}_C}\, =\, {\underline{IZ}_{RC}}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}</latex>

<latex>{U_R} \,= \,{U_C} \,=\, {\rm{1,33}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{U_R}}\, =\, {{\rm{\alpha }}_{U_C}}\, = \, - {\rm{33,7}}^{\,\circ} </latex>

Ker je kazalec napetosti ''UL'' za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti ''UC'' pa za kazalcem ''U'' zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.

Tok skozi upor:

<latex>{\underline{I}_R} \,=\, \frac{\underline{U}_R}{R}\, =\, \frac{{\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{2}\, = \,{\rm{0,66}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_R} \,=\, {\rm{0,66}}\,{\rm{A\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{{\rm{\alpha }}_{{\rm{I}}R}} \,=\, - {\rm{33,7}}^{\,\circ}</latex>

Tok skozi kondenzator:

<latex>{\underline{I}_C}\, =\, \frac{\underline{U}_C}{ - {\rm{j}}{X_C}} \,=\, {\rm{j}}\frac{\underline{U}_C}{X_C}\, =\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, \cdot\, \frac{{\rm{1,33}}{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{4} \,= \,{\rm{0,33}}\,{e^{{\rm{j\,56,3}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_C} \,=\, {\rm{0,33}}\,{\rm{A}}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{\rm{\alpha }}_{I_C} \,=\, {\rm{56,3}}^{\,\circ}</latex>

Geometrična vsota tokov ''IR'' in ''IC'' mora biti seveda enaka toku ''IL''.

Ker sta toka ''IR'' in ''IC'' med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mesta). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.
</primer>

<primer>
2. Izračunaj tok skozi tuljavo ''L''4 in njegov fazni kot v izmeničnem krogu, ki ga prikazuje slika 3.4.17|||
NI RESITVE

Slika 3.4.17
[[Image:eele_slika_3_4_17.svg|thumb|right|Slika 3.4.17]]
</primer>

== Računanje moči sinusnega toka v eksponentni kompleksni obliki ==
[[Image:eele_slika_3_4_18.svg|thumb|right|Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini]]

Če trikotnik moči poljubne vezave upora, tuljave in/ali kondenzatorja narišemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.18), lahko ugotovimo:

Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini

<pomembno>
*Navidezno moč izmeničnega toka je v kompleksni ravnini ponazorjena s kompleksorjem ''S'', katerega realna komponenta je '''delovna''' moč '''''P''''', imaginarna komponenta pa '''jalova''' moč ''j'''Q'''''.</pomembno>

Jalova moč ima lahko pri tem induktivni (j''QL'') ali kapacitivni (- j''QC'') značaj. V algebrski obliki zapišemo kompleksor moči ''S'':

<latex>{\underline{S}\, = \,P \,+ \,{\rm{j}}Q}|||(VA),</latex>

v eksponentni obliki pa

<latex>{\underline{S} \,= \,S{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(VA)</latex>

Pri računanju moči v eksponentni kompleksni obliki pa moramo biti previdni. Poglejmo:

<latex>\underline{S}\,=\,UIe^{\rm{j}\varphi}\,=\,UIe^{\rm{j}(\alpha_u \,-\,\alpha_i)}\,=\,Ue^{\rm{j}\alpha_u}Ie^{-\rm{j}\alpha_i}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}*</latex>

ali

<latex>\underline{S}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}^*|||(VA)</latex>

<pomembno>
*Kompleksor moči ''S'' izmeničnega toka je določen s produktom kompleksorja napetosti ''U'' in '''konjugiranega''' kompleksorja toka ''I*''.</pomembno>

Problem bi sicer lahko pričakovali, saj v istem kazalčnem diagramu lahko enakovredno obravnavamo le sinusne količine '''enakih frekvenc'''. Obravnavana navidezna moč pa je sestavljena iz delovne in izmenične jalove komponente, ki ima dvojno frekvenco toka oziroma napetosti.

Če upoštevamo še Ohmov zakon, ki velja tudi v kompleksni obliki ''U'' = ''I'' • ''Z'', lahko izmenično moč računamo tudi v obliki:

<latex>\underline{S}\, =\, \frac{U^2}{\underline{Z}^*}\, =\, {U^2} \underline{Z}\,= \,{U^2}\, \cdot\, {\underline{Y}^*}\, = \,{I^2}\, \cdot\, \underline{Z}\, =\, \frac{I^2}{\underline{Y}}</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj navidezno, delovno in jalovo moč izmeničnega toka pri podatkih ''U'' = 230 V, ''αU'' = 78 º, ''I'' = 2 A in ''αI'' = 48 º.|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U} \,\cdot \,{\underline{I}^*}\, = \,230{e^{{\rm{j}}78^{\,\circ} }}\, \cdot \,2{e^{ - {\rm{j}}48^{\,\circ} }}\, =\, 460{e^{{\rm{j}}30^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, S \,= \,460{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>P \,= \,S\,\cos \varphi \, =\, 460\cos 30^{\,\circ} \, =\, 398{\rm{\,W}}</latex>

<latex>Q \,=\, S\,\sin \varphi \,=\, 460\sin 30^{\,\circ} \, =\, 230{\rm{\,VAr}}</latex>

</primer>

<primer>
2. Izračunaj navidezno delovno in jalovo moč izmeničnega toka v vezavi iz prvega primera tega poglavja (''U'' = 1,2 • ''e''j0º V, ''I'' = 0,745 • ''e''-j7,12º A).|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U}\, \cdot\, {\underline{I}^*} \,=\, {\rm{1,2}}{e^{{\rm{j}}0^{\,\circ} }} \,\cdot\, {\rm{0,745}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{0,894}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>S\, =\, {\rm{0,894\,VA}}</latex>

<latex>P\, =\, S\,\cos \varphi \, = {\rm{0,894}} \,\cos {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, = \,{\rm{0,887\,W}}</latex>

<latex>Q\, =\, S\,\sin \varphi \, = {\rm{0,894}}\,\sin {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, =\, {\rm{0,11\,VAr}}</latex>

</primer>

V sestavljenem izmeničnem krogu na splošno velja:

<pomembno>
*Kompleksna moč '''večjega števila porabnikov''' je enaka '''vsoti''' kompleksnih moči posameznih porabnikov ne glede na vezavo le-teh.
</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Računanje električnih količin v kompleksi ravnini

2010-05-11T09:53:10Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]]
[[Image:eele_slika_3_4_10.svg|thumb|right|Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini]]
[[Image:eele_slika_3_4_12.svg|thumb|right|Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja]]
[[Image:eele_slika_3_4_13.svg|thumb|right|Slika 3.4.13]]
[[Image:eele_slika_3_4_14.svg|thumb|right|Slika 3.4.14]]
[[Image:eele_slika_3_4_15.svg|thumb|right|Slika 3.4.15]]
[[Image:eele_slika_3_4_16.svg|thumb|right|Slika 3.4.16]]
[[Image:eele_slika_3_4_17.svg|thumb|right|Slika 3.4.17]]

Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''.

Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. '''''K''''', sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku:

Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini

<pomembno>
*Kompleksorji in kompleksni račun so le '''matematično orodje''', ki '''poenostavlja''' računanje.
*Kompleksno obliko »nadenemo« '''sinusnim''' električnim količinam '''pred računanjem'''.
*Med računanjem z električnimi količinami v kompleksni obliki upoštevamo vsa '''pravila računanja''' s '''kompleksnimi''' števili, ko pa dobimo rezultat, kompleksno obliko praviloma '''opustimo'''.
</pomembno>

Matematika ob robu:
<informacije>
Računanje v kompleksni ravnini

Večino problemov v splošni in tudi elektrotehniški praksi znamo rešiti z matematiko, ki temelji na realnih – predstavljivih številih, kot so npr. ± (1; 2; 36,8; π; 0,4; 2/3 ... ). V določenih primerih pa računi z realnimi števili obstanejo na problemu. kot je npr. '''kvadratni''' koren iz '''negativnega''' števila, za katerega med vso silno množico realnih števil ne najdemo rezultata. Matematiki so se pri tem zatekli k zvijači: ker √(-1) niso znali izračunati, so ga kot nekaj '''nepredstavljivega''' enostavno samo poimenovali z '''imaginarno<ref>imaginarius, lat. = le v mislih, domišljiji obstoječ, izmišljen, neresničen ...</ref> enoto''' in označili z »'''''i'''''«. V elektrotehniki bi oznako za imaginarno enoto lahko zamenjali z oznako za trenutno vrednost toka (''i''), zato v elektrotehniki uporabljamo za imaginarno enoto oznako »'''''j'''''«.
Naloga npr. √(-4) je tako postala »rešljiva« na način √(-4) = √(4(-1)) = √4 √(-1) = 2''j''. Rezultata si sicer ne znamo predstavljati, toda pomembno je, kot bomo videli, da se z njim da '''računati'''.

Produktu imaginarne enote in poljubnega '''realnega''' števila, npr. 2j, pravimo '''imaginarno''' število.

Tako kot realna števila tvorijo '''horizontalno''' številsko premico oziroma '''realno os''', po dogovoru domujejo imaginarna števila na '''vertikalni''' številski premici oziroma '''imaginarni osi'''. Obe osi določata ravnino, v kateri je poljubna točka določena z realno in imaginarno komponento.

Točki v ravnini, ki je določena z realno in imaginarno komponento, pravimo '''kompleksno število''' npr. ''Z'', ravnini pa '''kompleksna ravnina'''. Kazalcu, ki določa kompleksno število s svojo dolžino in kotom s pozitivno realno osjo, pravimo '''kompleksor'''.

Splošni zapis kompleksnega števila oziroma kompleksorja:

SLIKE

Dolžina kazalca oziroma kompleksorja, ki določa kompleksno število, predstavlja '''absolutno vrednost''' kompleksnega števila:

<latex>\left| {\underline{Z}} \right|\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2} \,+\, {{\rm{Im}}^2}} </latex>

Kompleksnemu številu ''Z'' = ''a'' + j''b'' '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, ''Z''* = ''a'' - j''b'' imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število.

'''Pravila računanja s kompleksnimi števili v algebrski obliki'''

'''Seštevanje in odštevanje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\, \pm\, {\underline{Z}_2} \,=\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\, \pm\, \left( {{a_{\rm{2}}}\, + \,{\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}} \,\pm\, {a_{\rm{2}}}} \right)\, +\, {\rm{ j}}\left( {{b_{\rm{1}}}\, \pm\, {b_{\rm{2}}}} \right)</latex>

'''Množenje:'''
<latex>{\underline{Z}_1}\,\cdot\,{\underline{Z}_2}\, =\, \left( {{a_{\rm{1}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}} \right)\,\cdot\,\left( {{a_{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+\, {a_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}} \,+\, {\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}} \,+ \,{\rm{ j}}{b_{\rm{1}}}{\rm{j}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, = \,\left( {{a_{\rm{1}}}{a_{\rm{2}}}\, -\, {b_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}} \right)\, + \,{\rm{ j}}\left( {{a_{\rm{1}}}{b_{\rm{2}}}\, +\, {a_{\rm{2}}}{b_{\rm{1}}}} \right)</latex>

'''Zanimiv produkt:'''
<latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}^* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex>
Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je '''realno''' število!

'''Deljenje:'''
<latex>\frac{{\underline{Z}}_1}{{\underline{Z}}_2} \,= \,\frac{{a_1} \,+\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2} \,+ \,{\rm{j}}{b_2}} \,= \,\frac{{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}}{{a_2}\, +\, {\rm{j}}{b_2}}\, \cdot\, \frac{{\underline{Z}_2}^*}{{\underline{Z}_2}^*}\, =\, \frac{\left( {{a_1}\, +\, {\rm{j}}{b_1}} \right) \,\cdot \,\left( {{a_2} \,- \,{\rm{j}}{b_2}} \right)}{a_2^2\, + \,b_2^2} = \frac{{a_1}{a_2} \,+\, {b_1}{b_2}}{a_2^2\, +\, b_2^2} \,+\, {\rm{j}}\frac{{a_2}{b_1}\, -\, {a_1}{b_2}}{a_2^2 \,+ \,b_2^2}</latex>

Zaradi enostavnejšega računanja je za operaciji množenja in deljenja ugodneje imeti kompleksna števila v eksponentni obliki:

<latex>{\underline{Z}_1}\, \cdot \,{\underline{Z}_2} \,= \,{Z_1} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}} \,\cdot\, {Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}\, =\, {Z_1}{Z_2} \,\cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1}\, + \,{\alpha _2})}}</latex>

<latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex>
</informacije>

== Računanje impedance in admitance v algebrski kompleksni obliki ==

»Prehod« realnih električnih količin v algebrsko kompleksno obliko si oglejmo najprej na preprostih primerih impedance in admitance. Če trikotnik upornosti, npr. izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora in tuljave (sl. 3.4.10 a), prenesemo v '''kompleksno ravnino''' tako, kot kaže sl. 3.4.10 b, smo impedanci »nadeli« algebrsko '''kompleksno''' obliko.

Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini

<pomembno>
*Kazalcu impedance '''''Z''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' ('''''Z'''''), delovni komponenti '''''R''''' '''pozitivno realno''' komponento ('''''R''''') kompleksorja '''''Z''''' ter jalovi induktivni komponenti '''''XL''''' impedance '''''Z''''' '''pozitivno imaginarno''' komponento (+ j'''''XL''''') kompleksorja '''''Z'''''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance zaporedne vezave upora in tuljave ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z}\, =\, R \,+\, {\rm{j}}{X_L}}|||(Ω)

<pomembno>
*Impedanca ''Z'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Z'''''| kompleksorja impedance ''Z''.
</pomembno>

<latex>Z \,=\, \left| \underline{Z} \right|</latex>

oziroma

<latex>Z\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right) \,+\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 20 Ω in tuljave z induktivno 30 Ω zapišemo potem v kompleksni obliki na način:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {20\, + \,{\rm{j}}30} \right)\left( {\rm{\Omega }} \right) \,\,\,\,\, {\rm{in}} \,\,\,\,\, \left| \underline{Z} \right|\, = \,Z\, =\, \sqrt {{{20}^2} \,+ \,{{30}^2}}\, =\, 36\,\Omega </latex>

Fazni kot zaporedne vezave izračunamo v kompleksni obliki na osnovi '''imaginarne''' in '''realne''' komponente kompleksorja impedance ali admitance:

<latex>\tan \varphi\, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,= \,\frac{X_L}{R},</latex>
kar je že znana zgodba.

Podobno bi lahko naredili z impedanco kapacitivnega značaja, kompleksor impedance pa bi imel '''negativno''' imaginarno komponento (- j''XC'').

<pomembno>
*Induktivna jalova komponenta '''''XL''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''pozitivne''' imaginarne komponente (j''XL'') kompleksorja ''Z''.
*Kapacitivna jalova komponenta '''''XC''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''negativne imaginarne komponente''' (- j''XC'') kompleksorja ''Z''.
</pomembno>

Algebrski zapis impedance kapacitivnega značaja ima torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Z} \,= \,R\, -\, {\rm{j}}{X_C}}|||(Ω)</latex>

Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 40 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 50 Ω zapišemo potem v obliki:

<latex>\underline{Z} \,=\, \left( {40 \,- \,{\rm{j}}50} \right)\,{\rm{\Omega }},</latex>

njena absolutna vrednost pa je

<latex>\left| \underline{Z} \right|\, =\, Z\, =\, \sqrt {{{40}^2} \,+\, {{50}^2}} \, =\, 64\,\Omega </latex>

Vidimo, da se zapisa impedanc induktivnega in kapacitivnega značaja v kompleksni obliki razlikujeta v '''predznakih imaginarnih''' komponent. Ta ugotovitev je pomembna tudi za določitev značaja impedance ter delovne in jalove upornosti iz rezultata reševanja naloge sestavljene vezave.

<pomembno>
*Pozitivni predznak imaginarne komponente (+ j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''induktivni''' značaj impedance ''Z'' in '''pozitivni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
*Negativni predznak imaginarne komponente (- j''X'') kompleksorja impedance ''Z'' določa '''kapacitivni''' značaj impedance ''Z'' in '''negativni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
</pomembno>

Kompleksni obliki zapisov admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja dobimo na podoben način na osnovi trikotnikov admitanc (slika 3.4.12):

Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja

<pomembno>
*Kazalcu admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' '''''Y'''''.
*Delovni komponenti '''''G''''' admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''pozitivno''' realno komponento ('''''G'''''), '''induktivni''' jalovi komponenti '''''BL''''' '''negativno''' imaginarno komponento (- j''BL'') in '''kapacitivni''' jalovi komponenti '''''BC''''' admitance '''''Y''''' '''pozitivno''' (+ j''BC'') kompleksorja '''''Y'''''.
</pomembno>

Algebrska zapisa admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja imata torej v kompleksni ravnini obliko:

<latex>{\underline{Y}\, = \,\left( {G \,- \,{\rm{j}}{B_L}} \right)}|||(S)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, \left( {G\, + \,{\rm{j}}{B_C}} \right)}|||(S)</latex>

Admitanca ''Y'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |'''''Y'''''| kompleksorja admitance '''''Y'''''.

<latex>Y \,= \,\left| \underline{Y} \right|\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Y} \right) \,+ \,{{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Y} \right)} \, = \,\sqrt {{G^2}\, + \,{B^2}}|||(S)</latex>

Fazni kot vzporedne vezave izračunamo na osnovi imaginarne in realne komponente na podoben način, kot smo to ugotovili za primer impedance.

Iz slike 3.4.12 in dobljenih izrazov za admitanco ''Y'' ugotavljamo, da ima predznak imaginarne komponente kompleksorja '''admitance nasproten''' pomen kot predznak imaginarne komponente kompleksorja '''impedance'''.

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj impedanco in fazni kot vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.13 a. Upornost upora je 2 Ω, kapacitivna upornost je 4 Ω in induktivna upornost je 1Ω.|||

Slika 3.4.13

Potek računanja nakazujeta nadomestni vezavi b in c:

<latex>{\underline{Y}_{RC}} \,= \,G \,+\, {\rm{j}}{B_C}\, = \,{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}} \,= \,\frac{1}{\underline{Y}_{RC}}\, = \,\frac{1}{{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}}\, = \,\frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{({\rm{0,5}} \,+\, {\rm{j\,0,25}})\left( {\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}} \right)}\, =\, \frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{{\rm{0,25}}\, +\, {\rm{0,0625}}} \,= \,{\rm{1,6}}\, -\, {\rm{j\,0,8\,\Omega}} </latex>

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_{RC}}\, +\, {\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{1,6}} \,-\, {\rm{j\,0,8}} \,+\, {\rm{j}} \,= \,\left( {{\rm{1,6}} \,+\, {\rm{j\,0,2}}} \right)\,\Omega </latex>

Iz izračunane impedance vezave v kompleksni obliki ugotavljamo:

1. Impedanca ima zaradi pozitivnega predznaka imaginarne komponente, '''induktivni''' značaj.

2. Upornost '''delovne''' komponente impedance je 1,6 Ω, upornost '''jalove''' komponente pa 0,2 Ω.

3. Sestavljeno vezavo upornosti na sliki 3.4.13 a. bi lahko glede izvora enakovredno nadomestili z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' z upornostjo 1,6 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 0,2 Ω.

Impedanca vezave:

<latex>Z\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right)\, +\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{\rm{1,6}^2} \,+\, {\rm{0,2}^2}}\, =\, {\rm{1,61}}\,\Omega </latex>

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{\rm{0,2}}{\rm{1,6}} \,=\, {\rm{0,125}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \,=\, {\rm{7,12}}^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj impedanco in fazni kot sestavljene vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.14 (''R''1 = 3 Ω, ''XL'' = 4 Ω, ''XC''1 = 4 Ω, ''R''2 = 2 Ω in ''XC''2 = 4 Ω).|||

Slika 3.4.14

Delne nadomestne impedance in admitance v kompleksni obliki:

<latex>{\underline{Z}_2} \,= \,{R_2} \,- \,{\rm{j}}{X_{C2}}\, =\, \left( {2 \,-\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Z}_1}\, = \,{R_1} \,+\, {\rm{j}}{X_L} \,= \,\left( {3\, +\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{1}{{\underline{Z}_1}}\, +\, {\rm{j}}{B_{C1}}\, =\, \frac{1}{{3 \,+ \,{\rm{j}}4}}\, + \,{\rm{j}}\frac{1}{4}\, =\, \frac{{\rm{j}}3}{12 \,+\, {\rm{j}}16}\,{\rm{S}}</latex>

<latex>{\underline{Z}_3}\, =\, \frac{1}{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{12\, +\, {\rm{j}}16}{{\rm{j}}3}\, =\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Impedanca celotne vezave v kompleksni obliki je po tem:

<latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_2} \,+\, {\underline{Z}_3}\, = \,2\, - \,{\rm{j}}4\, +\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\, =\, \frac{6\, -\, {\rm{j}}12\, + \,16\, -\, {\rm{j}}12}{3} \,= \,(\frac{22}{3}\, -\, {\rm{j}}\frac{24}{3})\,\Omega </latex>

Impedanca vezave ima kapacitivni značaj (- j). Glede obremenitve izvora bi jo lahko nadomestili z zaporedno vezavo upora z upornostjo 22/3 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 24/3 Ω.

Fazni kot vezave:

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{ - \frac{24}{3}}{\frac{22}{3}} \,= \, -\, {\rm{1,091}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \, =\, -\, {\rm{47,5}}^{\,\circ} </latex>

</primer>

== Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki ==

Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni '''delovna''' in '''jalova komponenta''' impedance, prevodnosti, toka ... in '''značaj jalovih''' komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi '''preprosto''' seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.

'''Algebrska oblika''' zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje '''impedanc''' in '''prevodnosti''' pa tudi '''napetosti''' in '''tokov''' na osnovi zakonov '''napetostnih zank''' in '''tokovnih''' vozlišč.

Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama '''množenja''' in '''deljenja'''. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.

Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):

Slika 3.4.15

Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor ''U''m v trigonometrični obliki, in sicer:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, \left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}\left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\sin \left( {\omega t} \right)\, =\, {U_{\rm{m}}}\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}{U_{\rm{m}}}\,\sin \left( {\omega t} \right)\, = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos \left( {\omega t} \right) \,+\, {\rm{j}}\sin \left( {\omega t} \right)} \right)</latex>

Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni '''operator''' '''''ej(ωt)''''' <ref><latex>\cos \alpha \,+\, {\rm{j}}\sin \alpha\, = \,{e^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,e\, =\, {\rm{osnova\,\,naravnih\,\,logaritmov\,\,}}( \approx \,{\rm{2,71}} \ldots )</latex></ref>, dobimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:

<latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, {U_{\rm{m}}}{e^{{\rm{j}}\left( {\omega t} \right)}}</latex>

Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z '''efektivnimi''' vrednostmi izmeničnih količin.

Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (''ωt'' = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor '''napetosti''' izvora na '''pozitivno''' realno os (kot če bi izbrali ''αu'' = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom ''φ'', dobimo za računanje obliko:

<latex>\underline{U}\, =\, \left| \underline{U} \right|{e^{{\rm{j}}{0^{\,\circ} }}}\, =\, U\, \cdot\, 1\, =\, U</latex>

oziroma

<latex>{\underline{U} \,= \,U} \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, {\underline{I} \,=\, I{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:

<latex>{\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(Ω)</latex>

in

<latex>{\underline{Y} \,=\, Y{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>

Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča '''preprosto množenje''' in '''deljenje''' kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne '''impedance''' in '''admitance''', '''maksimalne''' ali '''efektivne''' vrednosti '''napetosti''' in '''tokov''' ter '''fazni kot''' in iz njegovega predznaka '''značaj''' jalovih komponent računanih količin.

'''Primera:'''

<primer>
1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.|||

Slika 3.4.16

Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz '''algebrske''' v '''eksponencialno''' obliko:

<latex>\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}\, = \,1,61\,{e^{{\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}</latex>

Tok skozi tuljavo je tok izvora:

<latex>\underline{I}\, =\, {\underline{I}_L}\, =\, \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\, = \,\frac{U}{{Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}} \,= \,\frac{\rm{1,2}}{\rm{1,61}}{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}}e{\rm{j}}\alpha </latex>
<ref>Množenje kompleksorja z operatorjem ej''α'' povzroča v kompleksni ravnini zasuk kompleksorja za kot ''α''</ref>

Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.

Kompleksor induktivne upornosti j''XL'' prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:

<latex>{\rm{j}}{X_L}\, =\, {X_L}\,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, 1\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}</latex>

Napetost na tuljavi je potem:

<latex>{\underline{U}_L} \,= \,{\underline{I}_L}\, \cdot \,{\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{{\rm{j\,82,8}}^{\,\circ} }}{\rm{\,V}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{U_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{{\rm{U}}L}} \,=\, {\rm{82,8}}^{\,\circ} </latex>

Kompleksor impedance ''ZRC'' prevedemo v eksponentno obliko:

<latex>{Z_{RC}} \,=\, \sqrt {{\rm{1,6}^2}\, + \,{\rm{0,8}^2}} \, =\, {\rm{1,79}}\,{\rm{\Omega }}\,\,;\,\,\,\,\,\tan {\varphi _{RC}}\, = \,\frac{ - {\rm{0,8}}}{\rm{1,6}} \,=\, - {\rm{0,5}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {\varphi _{RC}}\, =\, - {\rm{26,6}}^{\,\circ} </latex>

<latex>{\underline{Z}_{RC}}\, =\, {Z_{RC}}{e^{{\rm{j}}{\varphi _{RC}}}}\, =\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }}\,{\rm{\Omega }}</latex>

Napetost na uporu in kondenzatorju je:

<latex>{\underline{U}_R} \,=\, {\underline{U}_C}\, =\, {\underline{IZ}_{RC}}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}</latex>

<latex>{U_R} \,= \,{U_C} \,=\, {\rm{1,33}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{U_R}}\, =\, {{\rm{\alpha }}_{U_C}}\, = \, - {\rm{33,7}}^{\,\circ} </latex>

Ker je kazalec napetosti ''UL'' za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti ''UC'' pa za kazalcem ''U'' zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.

Tok skozi upor:

<latex>{\underline{I}_R} \,=\, \frac{\underline{U}_R}{R}\, =\, \frac{{\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{2}\, = \,{\rm{0,66}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_R} \,=\, {\rm{0,66}}\,{\rm{A\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{{\rm{\alpha }}_{{\rm{I}}R}} \,=\, - {\rm{33,7}}^{\,\circ}</latex>

Tok skozi kondenzator:

<latex>{\underline{I}_C}\, =\, \frac{\underline{U}_C}{ - {\rm{j}}{X_C}} \,=\, {\rm{j}}\frac{\underline{U}_C}{X_C}\, =\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, \cdot\, \frac{{\rm{1,33}}{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{4} \,= \,{\rm{0,33}}\,{e^{{\rm{j\,56,3}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_C} \,=\, {\rm{0,33}}\,{\rm{A}}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{\rm{\alpha }}_{I_C} \,=\, {\rm{56,3}}^{\,\circ}</latex>

Geometrična vsota tokov ''IR'' in ''IC'' mora biti seveda enaka toku ''IL''.

Ker sta toka ''IR'' in ''IC'' med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mesta). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.
</primer>

<primer>
2. Izračunaj tok skozi tuljavo ''L''4 in njegov fazni kot v izmeničnem krogu, ki ga prikazuje slika 3.4.17|||
NI RESITVE

Slika 3.4.17
</primer>

== Računanje moči sinusnega toka v eksponentni kompleksni obliki ==
[[Image:eele_slika_3_4_18.svg|thumb|right|Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini]]

Če trikotnik moči poljubne vezave upora, tuljave in/ali kondenzatorja narišemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.18), lahko ugotovimo:

Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini

<pomembno>
*Navidezno moč izmeničnega toka je v kompleksni ravnini ponazorjena s kompleksorjem ''S'', katerega realna komponenta je '''delovna''' moč '''''P''''', imaginarna komponenta pa '''jalova''' moč ''j'''Q'''''.</pomembno>

Jalova moč ima lahko pri tem induktivni (j''QL'') ali kapacitivni (- j''QC'') značaj. V algebrski obliki zapišemo kompleksor moči ''S'':

<latex>{\underline{S}\, = \,P \,+ \,{\rm{j}}Q}|||(VA),</latex>

v eksponentni obliki pa

<latex>{\underline{S} \,= \,S{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(VA)</latex>

Pri računanju moči v eksponentni kompleksni obliki pa moramo biti previdni. Poglejmo:

<latex>\underline{S}\,=\,UIe^{\rm{j}\varphi}\,=\,UIe^{\rm{j}(\alpha_u \,-\,\alpha_i)}\,=\,Ue^{\rm{j}\alpha_u}Ie^{-\rm{j}\alpha_i}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}*</latex>

ali

<latex>\underline{S}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}^*|||(VA)</latex>

<pomembno>
*Kompleksor moči ''S'' izmeničnega toka je določen s produktom kompleksorja napetosti ''U'' in '''konjugiranega''' kompleksorja toka ''I*''.</pomembno>

Problem bi sicer lahko pričakovali, saj v istem kazalčnem diagramu lahko enakovredno obravnavamo le sinusne količine '''enakih frekvenc'''. Obravnavana navidezna moč pa je sestavljena iz delovne in izmenične jalove komponente, ki ima dvojno frekvenco toka oziroma napetosti.

Če upoštevamo še Ohmov zakon, ki velja tudi v kompleksni obliki ''U'' = ''I'' • ''Z'', lahko izmenično moč računamo tudi v obliki:

<latex>\underline{S}\, =\, \frac{U^2}{\underline{Z}^*}\, =\, {U^2} \underline{Z}\,= \,{U^2}\, \cdot\, {\underline{Y}^*}\, = \,{I^2}\, \cdot\, \underline{Z}\, =\, \frac{I^2}{\underline{Y}}</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj navidezno, delovno in jalovo moč izmeničnega toka pri podatkih ''U'' = 230 V, ''αU'' = 78 º, ''I'' = 2 A in ''αI'' = 48 º.|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U} \,\cdot \,{\underline{I}^*}\, = \,230{e^{{\rm{j}}78^{\,\circ} }}\, \cdot \,2{e^{ - {\rm{j}}48^{\,\circ} }}\, =\, 460{e^{{\rm{j}}30^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, S \,= \,460{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>P \,= \,S\,\cos \varphi \, =\, 460\cos 30^{\,\circ} \, =\, 398{\rm{\,W}}</latex>

<latex>Q \,=\, S\,\sin \varphi \,=\, 460\sin 30^{\,\circ} \, =\, 230{\rm{\,VAr}}</latex>

</primer>

<primer>
2. Izračunaj navidezno delovno in jalovo moč izmeničnega toka v vezavi iz prvega primera tega poglavja (''U'' = 1,2 • ''e''j0º V, ''I'' = 0,745 • ''e''-j7,12º A).|||

<latex>\underline{S} \,=\, \underline{U}\, \cdot\, {\underline{I}^*} \,=\, {\rm{1,2}}{e^{{\rm{j}}0^{\,\circ} }} \,\cdot\, {\rm{0,745}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{0,894}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}</latex>

<latex>S\, =\, {\rm{0,894\,VA}}</latex>

<latex>P\, =\, S\,\cos \varphi \, = {\rm{0,894}} \,\cos {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, = \,{\rm{0,887\,W}}</latex>

<latex>Q\, =\, S\,\sin \varphi \, = {\rm{0,894}}\,\sin {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, =\, {\rm{0,11\,VAr}}</latex>

</primer>

V sestavljenem izmeničnem krogu na splošno velja:

<pomembno>
*Kompleksna moč '''večjega števila porabnikov''' je enaka '''vsoti''' kompleksnih moči posameznih porabnikov ne glede na vezavo le-teh.
</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Vzporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja

2010-05-11T09:51:30Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_13.svg|thumb|right|Slika 3.2.13 ]]
[[Image:eele_slika_3_2_2.svg|thumb|right|Slika 3.2.2: Upornost sestavljenega izmeničnega kroga]]

<poskus>
'''Poskus 2.2.4:'''

Vzporedno vezavo upora z upornostjo 750 Ω, tuljave z induktivnostjo 20 mH in kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,1 µF priključimo na napetost 4,5 V/4,4 kHz (sl. 3.2.13)

Izmerimo efektivne toke '''''IR''''', '''''IL''''', '''''IC''''' in '''''I''''' ter preverimo izmerjeno z zakonom tokovnega vozlišča:

<latex>{I_R}\, +\, {I_L}\, + \,{I_C} \,=\, 6\, +\, 8\, +\, 12 \,= \,26 \,\,\gg \,\,7{\rm{\,mA}}</latex>
</poskus>

Aritmetična vsota efektivnih tokov je v danem primeru precej večja od efektivnega toka izvora. Nekaj podobnega smo ugotovili tudi pri zaporedni vezavi vseh treh elementov v poskusu 3.2.2, le da smo takrat imeli opravka z napetostmi.

== Kazalčni diagram napetosti in tokov ==
[[Image:eele_slika_3_2_14.svg|thumb|right|Slika 3.2.14: Kazalčni diagram vzporednega RLC kroga]]
[[Image:eele_slika_3_2_15.svg|thumb|right|Slika 3.2.15: Kazalčni diagrami vzporednega izmeničnega kroga]]

Skupna količina elementom kroga je napetost ''U'', na že znani način pa dobimo kazalčni diagram, ki ga prikazuje sl.3.2.14:

<pomembno>
*V vzporednem izmeničnem krogu z uporom, tuljavo in kondenzatorjem sta kazalca tokov tuljave in kondenzatorja '''nasprotno usmerjena''' in '''pravokotna''' na kazalec toka skozi upor.
*Toka tuljave in kondenzatorja sta v '''protifazi'''.
*Efektivni tok izvora je enak '''geometrični vsoti''' efektivnih tokov upora, tuljave in kondenzatorja.
</pomembno>

Razmerje tokov tuljave in kondenzatorja je odvisno od razmerja induktivne in kapacitivne upornosti. Možni so trije splošni primeri:

<latex>{I_L} \,\,\textgreater \,\, {I_C}\,;\,\,\,\,\,{I_L}\, = \,{I_C}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}\,\,\,\,\,{I_L}\,\, \textless \,\,{I_C}</latex>

Kazalčne diagrame za navedene tri primere kaže primerjalno slika 3.2.15 a, b in c.

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z vzporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja tok lahko '''prehiteva''', '''zaostaja''' ali pa je v '''fazi''' z napetostjo izvora (podobno kot pri zaporedni vezavi istih elementov).
*Vzporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja ima lahko značaj in lastnosti vzporedne vezave '''upora''' in '''tuljave''' ali '''upora''' in '''kondenzatorja''' ali samo '''upora'''.
</pomembno>

Vzporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja povzroča v izmeničnem krogu fazni kot med - 90 º in + 90 º.

<latex> - 90^{\,\circ} \,\, \textless\,\, \varphi \,\, \textless \,\, + 90^{\,\circ} </latex>

== Trikotnik tokov in prevodnosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_16.svg|thumb|right|Slika 3.2.16: Trikotnik tokov in prevodnosti vzporedne vezave upora, tuljave in kondenzatorja]]

Iz kazalčnega diagrama na sl. 3.2.15 izrišemo '''trikotnik tokov''' (sl. 3.2.16 a), z deljenjem njegovih stranic s skupno količino elementov '''''U''''' pa dobimo trikotnik prevodnosti vezave (sl. 3.2.16 b).

<pomembno>
*Toki in prevodnosti izmeničnega kroga z vzporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja tvorijo '''pravokotna trikotnika'''.
*Toke in prevodnosti vzporedne vezave upora, tuljave in kondenzatorja seštevamo '''geometrično'''.
</pomembno>

Po pravilih za računanje v pravokotnem trikotniku lahko zapišemo:

<latex>I\, = \,\sqrt {{I_R}^2\, +\, {{\left( {{I_L} \,- \,{I_C}} \right)}^2}} \,;\,\,\,\,\,Y \,=\, \sqrt {{G^2}\, +\, {{\left( {{B_L}\, -\, {B_C}} \right)}^2}}\,\,\, ...</latex>

ali tudi

<latex>\cos \varphi \, =\, \frac{I_R}{I}\, =\, \frac{G}{Y}\,;\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,\varphi \, =\, \frac{{I_L}\, - \,{I_C}}{I_R}\, =\, \frac{{B_L}\, -\, {B_C}}{G}\,\,\,...,</latex>

kar pri treh znanih količinah trikotnika omogoča računanje četrte količine.
V medsebojnem odnosu kapacitivne in induktivne prevodnosti in posledično tudi tokov vzporedne vezave elementov (sl. 3.2.15) obstajajo tri možnosti:

<latex>{B_C}\,\, \textgreater\,\, {B_L}\,;\,\,\,\,\,{B_C}\,\, \textless\,\, {B_L}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{B_C}\, =\, {B_L}.</latex>

V vseh treh primerih admitanco vezave izračunamo na enak, zgoraj navedeni način. Zanimiv primer nastopi v primeru enakosti:

<latex>{B_L}\, = \,{B_C}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {B_L}\, - \,{B_C}\, =\, 0</latex>

<latex>Y\, = \,\sqrt {{G^2}\, +\, {{\left( {{B_L} \,- \,{B_C}} \right)}^2}} \, = \,G</latex>

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{B_L}\, -\, {B_C}}{G}\, =\, 0 \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\varphi \, =\, 0</latex>

<pomembno>
*Admitanca vzporedne vezave upora, tuljave in kondenzatorja je v primeru '''enakosti''' njunih '''jalovih''' prevodnosti '''najmanjša'''. Enaka je le '''delovni''' prevodnosti in '''ne povzroča faznega premika''' med napetostjo in tokom izvora.</pomembno>

V primeru enakosti induktivne in kapacitivne prevodnosti ima vzporedni vezava upora, tuljave in kondenzatorja, podobno kot zaporedna vezava, še druge zanimive lastnosti, ki pa jih bomo obravnavali pri resonančnih pojavih.

'''Primera:'''
<primer>
1. Vzporedna vezava upora z upornostjo 750 Ω, tuljave z induktivnostjo 20 mH in kondenzatorja s kapacitivnostjo 100 nF je priključena na izvor sinusne napetosti frekvence 5 kHz. Izračunaj admitanco, impedanco ter fazni kot, ki ga vezava povzroča v električnem krogu.|||
<latex>G \,=\, \frac{1}{R} \,= \,\frac{1}{750} \,=\, {\rm{1,33\,mS}}</latex>

<latex>{B_L}\, =\, \frac{1}{2\pi fL} \,= \,\frac{1}{2\pi \, \cdot \,5 \,\cdot \,{{10}^3} \,\cdot\, 20 \,\cdot\, {{10}^{ - 3}}}\, = \,{\rm{1,6\,mS}}</latex>

<latex>{B_C}\, =\, 2\pi fC \,=\, 2\pi \, \cdot \,5\, \cdot \,{10^3} \,\cdot \,100 \,\cdot \,{10^{-9}}\, =\,{\rm{3,14\,mS}}</latex>

<latex>Y \,= \,\sqrt {{{{\rm{1,33}}}^2} \,+\, {{\left( {{\rm{1,6}} \,-\, {\rm{3,14}}} \right)}^2}} \, =\, {\rm{2,03\,mS}}</latex>

<latex>Z\, =\, \frac{1}{Y} \,=\, \frac{1}{{\rm{2,03}} \,\cdot\, {{10}^{ - 3}}}\, =\, 492\,\Omega </latex>

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{B_L} \,- \,{B_C}}{G}\, = \,\frac{{\rm{1,6}}\, - \,{\rm{3,14}}}{{\rm{1,33}}} \,=\, {\rm{- 1,157}}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\varphi \, = \, {\rm{- 49,2}}^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj kapacitivnost kondenzatorja, ki ga moramo vezati vzporedno z vzporedno vezanima uporom z upornostjo 2,7 kΩ in tuljavo z induktivnostjo 200 μH, če želimo, da bo vezava pri krožni frekvenci 2,5 • 106 s-1 povzročala zaostajanje toka za napetostjo za 30 º.|||
<latex>G \,= \,\frac{1}{R}\, =\, \frac{1}{2700} \,=\, {\rm{0,37\,mS}}</latex>

<latex>{B_L}\, =\, \frac{1}{\omega L}\, =\, \frac{1}{{\rm{2,5}} \,\cdot \,{{10}^6} \,\cdot \,200\, \cdot \,{{10}^{-6}}}\, =\, 2{\rm{\,mS}}</latex>

<latex>\tan \varphi \, = \,\frac{{B_L}\, - \,{B_C}}{G}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {B_L} \,- \,{B_C}\, = \,G \,\cdot \,\tan \varphi \, =\, {\rm{0,37}} \,\cdot \,{10^{-3}} \,\cdot \,\tan 30^{\,\circ}\, =\,{\rm{0,214\,mS}}</latex>

<latex>{B_C}\, = \,{B_L}\, -\, {\rm{0,214\,mS}} \,= \,2\, -\, {\rm{0,214}}\, =\, {\rm{1,79\,mS}}</latex>

<latex>{B_C}\, =\, \omega C \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, C \,= \,\frac{B_C}{\omega } \,= \,\frac{{\rm{1,79}} \,\cdot \,{{10}^{-3}}}{{\rm{2,5}}\, \cdot \,{{10}^6}}\, =\, 714{\rm{\,pF}}</latex>
</primer>

{{Hierarchy footer}}

Vzporedna vezava upora in kondenzatorja

2010-05-11T09:50:45Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_10.svg|thumb|right|Slika 3.2.10]]

<poskus>
'''Poskus 2.2.3:'''

Vzporedno vezavo upora z upornostjo 750 Ω in kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,1 µF priključimo na sinusno napetost 4,5 V/3 kHz (sl. 3.2.10).

Izmerimo tok '''''I''R''', '''''I''C''' in '''''I''''' ter izmerjeno preverimo z zakonom tokovnega vozlišča:

<latex>I_R \, + \, I_C \, = \, 6\,+\,8\,=\,14\,{\rm{mA}}</latex>
</poskus>

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z '''vzporedno''' vezavo upora in kondenzatorja je efektivni tok izvora '''večji''' od '''aritmetične''' vsote tokov '''''IR''''' in '''''IC''''' skozi '''upor''' in '''kondenzator'''.
</pomembno>

Odgovor na dobljeno tokovno neenačbo pa tudi nadaljevanje zgodbe zdaj že slutimo.

== Časovni potek napetosti in toka ==
[[Image:eele_slika_3_2_11.svg|thumb|right|Slika 3.2.11: Kazalčni diagram izmeničnega kroga z vzporedno vezavo upora in kondenzatorja]]

'''Skupna''' količina vzporedno vezanemu uporu in kondenzatorju je električni '''tok''', zato najprej narišemo v vodoravno os koordinatnega sistema kazalec '''efektivne''' vrednosti toka (slika 3.2.11 b).

Napetost izvora požene skozi upor delovni tok '''''IR''''' in »skozi« kondenzator kapacitivni tok '''''IC'''''. Ker sta napetost in tok upora v '''fazi''', tok kondenzatorja pa '''prehiteva''' napetost za 90 °, rišemo kazalec toka '''''IR''''' na kazalec '''napetosti''' izvora, kazalec toka '''''IC''''' pa 90 ° '''pred''' kazalec napetosti izvora.

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z vzporedno vezavo upora in kondenzatorja sta kazalca tokov upora in kondenzatorja med seboj '''pravokotna'''.
*Tok '''prehiteva''' napetost izvora za fazni kot '''''φ''''', ki lahko zavzame poljubno velikost med '''0''' in '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex> - 90^{\,\circ}\,\, < \,\,\varphi \,\, <\,\, 0^{\,\circ} </latex>

== Trikotnik tokov in prevodnosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_12.svg|thumb|right|Slika 3.2.12: Trikotnik tokov in prevodnosti vzporedne veza upora in kondenzatorja]]

Podobno kot smo v primerih zaporednih vezav v izmeničnem krogu iz kazalčnega diagrama izrisali trikotnik napetosti, izrišemo iz kazalčnega diagrama vzporedne vezave (sl. 3.2.11 b) trikotnik tokov (sl. 3.2.12 a).

Če stranice tokovnega trikotnika delimo s skupno količino vzporedne vezave, napetostjo '''''U''''',

<latex>\frac{I_R}{U}\, =\, G\,;\,\,\,\,\frac{I_L}{U}\, =\, {B_L}\,;\,\,\,\,\frac{I}{U} \,= \,Y\,,</latex>

dobimo '''podoben''' pravokotni trikotnik (sl. 3.2.12 b), katerega stranice so '''prevodnosti''' kroga.

<pomembno>
*Toki in prevodnosti v izmeničnem krogu z vzporedno vezavo upora in kondenzatorja tvorijo pravokotna trikotnika.
*Efektivni tok izvora je enak '''geometrični''' vsoti efektivnih tokov, prevodnost vezave pa '''geometrični''' vsoti prevodnosti vzporedno vezanih upora in kondenzatorja.
*Prevodnosti vezave '''''Y''''' (S) pravimo '''admitanca'''.
</pomembno>

<latex>I\, = \,\sqrt {{I_R}^2 \,+\, {I_C}^2} \,;\,\,\,\,Y\, =\, \sqrt {{G^2}\, +\, {B_C}^2}\, \,\,...</latex>

Pri računanju faznega kota ali s faznim kotom pa velja npr.:

<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{I_R}{I}\, =\, \frac{G}{Y}\,;\,\,\,\,\tan \varphi \, =\, \frac{B_C}{G}\,\,\,\,...\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, \varphi </latex>

Že pri prvi vzporedni vezavi omenimo dejstva, ki jih zaradi enostavnosti pozneje ne bomo omenjali:

<pomembno>
*Trikotnik tokov velja za efektivne in maksimalne vrednosti tokov.
*Trenutne vrednosti izmeničnih tokov vzporedno vezanih elementov seštevamo '''aritmetično'''.
</pomembno>

'''Primera:'''

<primer>
1. Vzporedna vezava upora z upornostjo 3 kΩ in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 4 kΩ je priključena na izmenično napetost 3 V. Izračunaj toke, admitanco in impedanco ter fazni kot, ki ga povzroča vezava.|||
<latex>{I_R}\, =\, \frac{U}{R} \,=\, \frac{3}{3000}\, =\, 1\,{\rm{mA}}</latex>

<latex>{I_C} \,=\, \frac{U}{X_C}\, =\, \frac{3}{4000}\, =\,{\rm{0,75\,mA}}</latex>

<latex>I\, =\, \sqrt {{I_R}^2\, +\, {I_C}^2} \, = \,\sqrt {{1^2}\, + \,{{{\rm{0,75}}}^2}} \, = {\rm{1,25}}\,{\rm{mA}}</latex>

<latex>Y \,=\, \frac{I}{U} \,=\, \frac{{{\rm{1,25}} \,\cdot\, {{10}^{-3}}}}{3}\, =\, {\rm{0,41\,mS}}\,;\,\,\,\,Z\, =\, \frac{1}{Y} \,= \,\frac{1}{{{\rm{0,41}} \,\cdot\, {{10}^{-3}}}} \,= \,{\rm{2,4\,k}}\Omega </latex>

<latex>\tan \varphi\, =\, - \frac{I_C}{I_R}\, =\, - \frac{{\rm{0,75}}}{1} \,=\, - {\rm{0,75}}\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, \varphi \, =\, - 36^{\,\circ} </latex>
</primer>

<primer>
2. Vzporedna vezava upora in kondenzatorja je priključena na sinusno napetost s frekvenco 50 kHz. Kolikšna je kapacitivnost kondenzatorja, če je tok izvora 75,8 mA in tok upora 23 mA, upornost upora pa je 10 kΩ?|||
<latex>I\, =\, \sqrt {{I_R}^2 \,+\, {I_C}^2} \,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, {I_C}\, =\, \sqrt {{I^2} \,-\, {I_R}^2} \, = \,\sqrt {{{{\rm{78,5}}}^2}\, - \,{{23}^2}} \, =\,{\rm{72,2\,mA}}</latex>

<latex>{U_R}\, =\, U\, =\, {I_R} \,\cdot\, R \,= \,23\, \cdot\, {10^{-3}} \,\cdot \,10 \,\cdot\, {10^3}\, = \,230{\rm{\,V}}</latex>

<latex>{X_C}\, = \,\frac{U}{I_C}\, =\, \frac{230}{{\rm{72,2}} \,\cdot\, {10}^{-3}}\, = \,{\rm{3,2\,k\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, \frac{1}{2\pi fC}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,C\, =\, \frac{1}{2\pi f{X_C}} \,=\, \frac{1}{2\pi\,\cdot \,50\, \cdot \,{{10}^3} \,\cdot\, {\rm{3,2}}\, \cdot\, {{10}^3}}\, =\, 1\,{\rm{nF}}</latex>
</primer>

{{Hierarchy footer}}

Zaporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja

2010-05-11T09:49:10Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_2.svg|thumb|right|Slika 3.2.2: Upornost sestavljenega izmeničnega kroga]]
[[Image:eele_slika_3_2_6.svg|thumb|right|Slika 3.2.6]]

<poskus>
'''Poskus 3.2.2:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 300 Ω, tuljave z induktivnostjo 20 mH in kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,1 μF priključimo na sinusno napetost 5 V/5,3 kHz (sl. 3.2.6).

Z merjenjem ugotovimo, da so efektivne napetosti na elementih kroga:

<latex>U_R\,\, \approx \,\,3 \,V \,; \,\,\,\,U_L\,\,\approx\,\,{\rm{7,3\,V}} \,; \,\,\,\,U_C\,\,\approx\,\,{\rm{3,3\,V}}</latex>

Primerjava aritmetične vsote efektivnih napetosti na elementih z napetostjo izvora pa pove:

<latex>U_R\,+\,U_L\,+\,U_C \,\, \approx \,\,3 \,V \,+\,{\rm{7,3\,V}} \,+\,{\rm{3,3\,V}}\,\, \approx \,\,{\rm{13,6\,V}}\,\,\gg\,\,{\rm{5\,V}}</latex>
</poskus>

V primeru poskusa 3.2.2 je že sam padec napetosti na tuljavi večji od napetosti izvora, kar daje slutiti še kakšno zanimivost tovrstne vezave.

== Kazalčni diagram napetosti in toka ==
[[Image:eele_slika_3_2_7.svg|thumb|right|Slika 3.2.7: Kazalčni diagram izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja]]
[[Image:eele_slika_3_2_8.svg|thumb|right|Slika 3.2.8: Kazalčni diagrami izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja]]
Kazalec skupne količine – toka '''''I''''' – narišemo na pozitivno vodoravno os koordinatnega sistema (sl. 3.2.7). Kazalce napetosti v krogu narišemo na enakih osnovah in na enak način kot v izmeničnem krogu z zaporedno vezavo upora in tuljave s tem, da na podoben način upoštevamo še vpliv kondenzatorja.

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z '''zaporedno''' vezavo '''upora''', '''tuljave''' in '''kondenzatorja''' sta kazalca padcev '''napetosti''' na tuljavi in kondenzatorju '''pravokotna''' na kazalec napetosti na uporu in '''nasprotno usmerjena'''.
*Padca napetosti na tuljavi in kondenzatorju sta v '''protifazi''' (medsebojni fazni premik med njima je 180 º).
*Efektivna napetost izvora je enaka '''geometrični''' vsoti efektivnih napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju.
</pomembno>

Geometrično vsoto kazalcev napetosti dobimo najpreprosteje tako, da najprej zaradi nasprotne usmerjenosti aritmetično odštejemo kazalca napetosti ''UL'' in ''UC'', kazalec razlike ''UL'' – ''UC'' pa '''geometrično''' prištejemo kazalcu napetosti ''UR''.

Razmerje napetosti na induktivni in kapacitivni upornosti je odvisno od razmerja induktivne in kapacitivne upornosti. Možni so trije splošni primeri:

<latex>{U_L}\, \textgreater \,{U_C},\,\,\,\,{U_L}\, \textless \,{U_C}\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,{U_L}\, =\, {U_C}.</latex>

Kazalčne diagrame za navedene tri primere primerjalno prikazuje slika 3.2.8 a), b) in c):

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja '''tok''' lahko '''prehiteva''', '''zaostaja''' ali pa je '''v fazi''' z napetostjo izvora.
*Zaporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja ima lahko značaj in lastnosti zaporedne vezave '''upora''' in '''tuljave''', '''upora''' in '''kondenzatorja''' ali samo '''upora'''.
*Fazni kot izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja ima lahko '''poljubno''' vrednost med '''- 90 º''' in '''+ 90 º'''.
</pomembno>

<latex>-90^{\,\circ}\,\, \textless \,\,\varphi\,\, \textless \,\,90^{\,\circ} </latex>

== Trikotnik napetosti in upornosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_9.svg|thumb|right|Slika 3.2.9: Trikotnik napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom, tuljavo in kondenzatorjem]]

Iz sl. 3.2.8 so razvidni trije možni splošni primeri značaja izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja. Iz praktičnih razlogov se za nadaljnjo obravnavo odločimo za vezavo z induktivnim značajem (sl. 3.2.9).

Iz kazalčnega diagrama lahko izrišemo '''pravokotni trikotnik napetosti''' s stranicami '''''U''''', '''''UR''''' in '''''UL''''' – '''''UC''''' (sl. 3.2.9 a). Če stranice '''napetostnega''' trikotnika delimo še s skupno količino zaporednega kroga s '''tokom ''I'''''

<latex>\frac{U_R}{I} \,=\, R\,; \,\,\,\, \frac{{U_L} \,- \,{U_C}}{I}\, =\, {X_L}\, - \,{X_C}\,;\,\,\,in\,\,\,\, \frac{U}{I} = Z,</latex>

dobimo trikotnik upornosti (sl. 3.2.9 b).

<pomembno>
*Napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom, tuljavo in kondenzatorjem tvorijo '''pravokotna trikotnika'''. Seštevamo jih '''geometrično'''.
</pomembno>

Zaradi enostavnosti bomo pri obravnavi napetostnih trikotnikov sicer operirali z efektivnimi vrednostmi napetosti. Vemo pa, da napetostni trikotnik velja tudi za '''maksimalne''' vrednosti sinusne napetosti.

Računanje količin v zaporednem krogu z uporom, tuljavo in kondenzatorjem temelji torej na enakih pravilih kot v zaporednem krogu z upornostjo in tuljavo ali kondenzatorjem. Dodatno dejstvo je v '''nasprotni kateti''' trikotnika, ki je v tem primeru '''razlika''' dveh jalovih '''napetosti''' ali '''upornosti'''. Tudi v tem primeru lahko po '''Pitagorovem''' izreku zapišemo npr.:

<latex>U\, = \,\sqrt {{U_R}^2 \,+ \,{{\left( {{U_L}\, -\, {U_C}} \right)}^2}}\,;\,\,\,\,Z \,=\, \sqrt {{R^2} \,+\, {{\left( {{X_L}\, -\, {X_C}} \right)}^2}} \,</latex>

in '''kotne''' funkcije, npr.:

<latex>\csc \varphi \, =\, \frac{{{U_R}}}{U}\,;\,\,\,\,\tan \varphi \, = \,\frac{{{X_L}\, -\, {X_C}}}{R}\,\,...</latex>

Navedene in druge enačbe reševanja pravokotnega trikotnika omogočajo pri dveh znanih količinah trikotnika računanje tretje količine.

Preskusimo prvo od dobljenih enačb na rezultatih meritev poskusa 3.2.2:

<latex>U\, =\, \sqrt {{U_R}^2 \,+\, {{\left( {{U_L}\, - \,{U_C}} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {{3^2}\, +\, {{\left( {{\rm{7,3}} \,- \,{\rm{3,3}}} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {25} \, = \,5{\rm{\,V}}</latex>

V primeru '''enakosti induktivne''' in '''kapacitivne''' upornosti ima obravnavani krog poleg lastnosti

<latex>Z \,= \,R\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,\varphi \, = \,0^{\circ}</latex>

še druge zanimive lastnosti, ki pa jih bomo obravnavali v okviru poglavja o resonančnih<ref>OE2, str. xx</ref> pojavih.

'''Primera:'''

<primer>
1. Zaporedna vezava upora z upornostjo 30 Ω, tuljave z induktivnostjo 2 H in kondenzatorja s kapacitivnostjo 6 μF je priključena na izmenično napetost 230 V/50 Hz. Izračunaj tok in padce napetosti v električnem krogu. Kolikšen bi bil tok, če bi frekvenco spremenili tako, da bi se kapacitivna in induktivna upornost izenačili?|||
<latex>{X_L}\, =\, 2\pi fL\, = \,2\pi \,\cdot \,50\, \cdot \,2 = 628\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, \frac{1}{{2\pi \, \cdot \,50\, \cdot\, 6 \,\cdot\, {{10}^{-6}}}} \,= \,530\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>Z\, =\, \sqrt {{R^2} \,+ \,{{\left( {{X_L}\, -\, {X_C}} \right)}^2}} \, =\, \sqrt {{{30}^2} \,+\, {{\left( {628\, - \,530} \right)}^2}} \, = 102\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, =\, \frac{U}{Z}\, =\, \frac{230}{102} \,= \,{\rm{2,25\,A}}</latex>

<latex>{U_R}\, =\, I \,\cdot \,R\, = \,{\rm{2,25}} \,\cdot\, 30\, = \,{\rm{67,5\,V}}</latex>

<latex>{U_L}\, =\, I\, \cdot \,{X_L}\, =\,{\rm{2,25}} \,\cdot\, 628\, = \,1413{\rm{\,V}}</latex>

<latex>{U_C}\, =\, I\, \cdot \,{X_C}\, =\, {\rm{2,25}} \,\cdot\, 530 \,= \,1192{\rm{\,V}}</latex>

<latex>{X_L}\, =\, {X_C}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{X_L}\, -\, {X_C}\, =\, 0 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, Z \,= \,R \,= \,30\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, =\, \frac{U}{Z}\, = \,\frac{230}{30}\, = \,{\rm{7,66\,A}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Kolikšna mora biti kapacitivnost kondenzatorja, ki ga vežemo zaporedno z uporom z upornostjo 82 Ω in tuljavo z induktivnostjo 0,1 H, če želimo, da bo pri krožni frekvenci 10 4 s-1 vezava elementov povzročala fazni kot 25 º?|||
<latex>{X_L}\, = \,\omega L \,=\, {10^4} \,\cdot\, {\rm{0,1}}\, =\, 1{\rm{\,k\Omega }}</latex>

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{{X_L} \,- \,{X_C}}}{R}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{X_L} \,-\, {X_C}\, =\, R \,\cdot\, \tan \varphi \, =\, 82 \,\cdot \,\tan 25^\circ \, =\, {\rm{38,2\,\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, {X_L}\, - \,{\rm{38,2}} \,= \,1000\, - \,{\rm{38,2}}\, = \,962\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, \frac{1}{\omega C}\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, C \,= \,\frac{1}{\omega \, \cdot \,{X_C}}\, =\, \frac{1}{{{10}^4}\, \cdot\, 962}\, =\, {\rm{0,1}}\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Zaporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja

2010-05-11T09:48:48Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_2.svg|thumb|right|Slika 3.2.2: Upornost sestavljenega izmeničnega kroga]]
[[Image:eele_slika_3_2_6.svg|thumb|right|Slika 3.2.6]]

[[Image:eele_slika_3_2_8.svg|thumb|right|Slika 3.2.8: Kazalčni diagrami izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja]]

<poskus>
'''Poskus 3.2.2:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 300 Ω, tuljave z induktivnostjo 20 mH in kondenzatorja s kapacitivnostjo 0,1 μF priključimo na sinusno napetost 5 V/5,3 kHz (sl. 3.2.6).

Z merjenjem ugotovimo, da so efektivne napetosti na elementih kroga:

<latex>U_R\,\, \approx \,\,3 \,V \,; \,\,\,\,U_L\,\,\approx\,\,{\rm{7,3\,V}} \,; \,\,\,\,U_C\,\,\approx\,\,{\rm{3,3\,V}}</latex>

Primerjava aritmetične vsote efektivnih napetosti na elementih z napetostjo izvora pa pove:

<latex>U_R\,+\,U_L\,+\,U_C \,\, \approx \,\,3 \,V \,+\,{\rm{7,3\,V}} \,+\,{\rm{3,3\,V}}\,\, \approx \,\,{\rm{13,6\,V}}\,\,\gg\,\,{\rm{5\,V}}</latex>
</poskus>

V primeru poskusa 3.2.2 je že sam padec napetosti na tuljavi večji od napetosti izvora, kar daje slutiti še kakšno zanimivost tovrstne vezave.

== Kazalčni diagram napetosti in toka ==
[[Image:eele_slika_3_2_7.svg|thumb|right|Slika 3.2.7: Kazalčni diagram izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja]]

Kazalec skupne količine – toka '''''I''''' – narišemo na pozitivno vodoravno os koordinatnega sistema (sl. 3.2.7). Kazalce napetosti v krogu narišemo na enakih osnovah in na enak način kot v izmeničnem krogu z zaporedno vezavo upora in tuljave s tem, da na podoben način upoštevamo še vpliv kondenzatorja.

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z '''zaporedno''' vezavo '''upora''', '''tuljave''' in '''kondenzatorja''' sta kazalca padcev '''napetosti''' na tuljavi in kondenzatorju '''pravokotna''' na kazalec napetosti na uporu in '''nasprotno usmerjena'''.
*Padca napetosti na tuljavi in kondenzatorju sta v '''protifazi''' (medsebojni fazni premik med njima je 180 º).
*Efektivna napetost izvora je enaka '''geometrični''' vsoti efektivnih napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju.
</pomembno>

Geometrično vsoto kazalcev napetosti dobimo najpreprosteje tako, da najprej zaradi nasprotne usmerjenosti aritmetično odštejemo kazalca napetosti ''UL'' in ''UC'', kazalec razlike ''UL'' – ''UC'' pa '''geometrično''' prištejemo kazalcu napetosti ''UR''.

Razmerje napetosti na induktivni in kapacitivni upornosti je odvisno od razmerja induktivne in kapacitivne upornosti. Možni so trije splošni primeri:

<latex>{U_L}\, \textgreater \,{U_C},\,\,\,\,{U_L}\, \textless \,{U_C}\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,{U_L}\, =\, {U_C}.</latex>

Kazalčne diagrame za navedene tri primere primerjalno prikazuje slika 3.2.8 a), b) in c):

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja '''tok''' lahko '''prehiteva''', '''zaostaja''' ali pa je '''v fazi''' z napetostjo izvora.
*Zaporedna vezava upora, tuljave in kondenzatorja ima lahko značaj in lastnosti zaporedne vezave '''upora''' in '''tuljave''', '''upora''' in '''kondenzatorja''' ali samo '''upora'''.
*Fazni kot izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja ima lahko '''poljubno''' vrednost med '''- 90 º''' in '''+ 90 º'''.
</pomembno>

<latex>-90^{\,\circ}\,\, \textless \,\,\varphi\,\, \textless \,\,90^{\,\circ} </latex>

== Trikotnik napetosti in upornosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_9.svg|thumb|right|Slika 3.2.9: Trikotnik napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom, tuljavo in kondenzatorjem]]

Iz sl. 3.2.8 so razvidni trije možni splošni primeri značaja izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja. Iz praktičnih razlogov se za nadaljnjo obravnavo odločimo za vezavo z induktivnim značajem (sl. 3.2.9).

Iz kazalčnega diagrama lahko izrišemo '''pravokotni trikotnik napetosti''' s stranicami '''''U''''', '''''UR''''' in '''''UL''''' – '''''UC''''' (sl. 3.2.9 a). Če stranice '''napetostnega''' trikotnika delimo še s skupno količino zaporednega kroga s '''tokom ''I'''''

<latex>\frac{U_R}{I} \,=\, R\,; \,\,\,\, \frac{{U_L} \,- \,{U_C}}{I}\, =\, {X_L}\, - \,{X_C}\,;\,\,\,in\,\,\,\, \frac{U}{I} = Z,</latex>

dobimo trikotnik upornosti (sl. 3.2.9 b).

<pomembno>
*Napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom, tuljavo in kondenzatorjem tvorijo '''pravokotna trikotnika'''. Seštevamo jih '''geometrično'''.
</pomembno>

Zaradi enostavnosti bomo pri obravnavi napetostnih trikotnikov sicer operirali z efektivnimi vrednostmi napetosti. Vemo pa, da napetostni trikotnik velja tudi za '''maksimalne''' vrednosti sinusne napetosti.

Računanje količin v zaporednem krogu z uporom, tuljavo in kondenzatorjem temelji torej na enakih pravilih kot v zaporednem krogu z upornostjo in tuljavo ali kondenzatorjem. Dodatno dejstvo je v '''nasprotni kateti''' trikotnika, ki je v tem primeru '''razlika''' dveh jalovih '''napetosti''' ali '''upornosti'''. Tudi v tem primeru lahko po '''Pitagorovem''' izreku zapišemo npr.:

<latex>U\, = \,\sqrt {{U_R}^2 \,+ \,{{\left( {{U_L}\, -\, {U_C}} \right)}^2}}\,;\,\,\,\,Z \,=\, \sqrt {{R^2} \,+\, {{\left( {{X_L}\, -\, {X_C}} \right)}^2}} \,</latex>

in '''kotne''' funkcije, npr.:

<latex>\csc \varphi \, =\, \frac{{{U_R}}}{U}\,;\,\,\,\,\tan \varphi \, = \,\frac{{{X_L}\, -\, {X_C}}}{R}\,\,...</latex>

Navedene in druge enačbe reševanja pravokotnega trikotnika omogočajo pri dveh znanih količinah trikotnika računanje tretje količine.

Preskusimo prvo od dobljenih enačb na rezultatih meritev poskusa 3.2.2:

<latex>U\, =\, \sqrt {{U_R}^2 \,+\, {{\left( {{U_L}\, - \,{U_C}} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {{3^2}\, +\, {{\left( {{\rm{7,3}} \,- \,{\rm{3,3}}} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {25} \, = \,5{\rm{\,V}}</latex>

V primeru '''enakosti induktivne''' in '''kapacitivne''' upornosti ima obravnavani krog poleg lastnosti

<latex>Z \,= \,R\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,\varphi \, = \,0^{\circ}</latex>

še druge zanimive lastnosti, ki pa jih bomo obravnavali v okviru poglavja o resonančnih<ref>OE2, str. xx</ref> pojavih.

'''Primera:'''

<primer>
1. Zaporedna vezava upora z upornostjo 30 Ω, tuljave z induktivnostjo 2 H in kondenzatorja s kapacitivnostjo 6 μF je priključena na izmenično napetost 230 V/50 Hz. Izračunaj tok in padce napetosti v električnem krogu. Kolikšen bi bil tok, če bi frekvenco spremenili tako, da bi se kapacitivna in induktivna upornost izenačili?|||
<latex>{X_L}\, =\, 2\pi fL\, = \,2\pi \,\cdot \,50\, \cdot \,2 = 628\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, \frac{1}{{2\pi \, \cdot \,50\, \cdot\, 6 \,\cdot\, {{10}^{-6}}}} \,= \,530\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>Z\, =\, \sqrt {{R^2} \,+ \,{{\left( {{X_L}\, -\, {X_C}} \right)}^2}} \, =\, \sqrt {{{30}^2} \,+\, {{\left( {628\, - \,530} \right)}^2}} \, = 102\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, =\, \frac{U}{Z}\, =\, \frac{230}{102} \,= \,{\rm{2,25\,A}}</latex>

<latex>{U_R}\, =\, I \,\cdot \,R\, = \,{\rm{2,25}} \,\cdot\, 30\, = \,{\rm{67,5\,V}}</latex>

<latex>{U_L}\, =\, I\, \cdot \,{X_L}\, =\,{\rm{2,25}} \,\cdot\, 628\, = \,1413{\rm{\,V}}</latex>

<latex>{U_C}\, =\, I\, \cdot \,{X_C}\, =\, {\rm{2,25}} \,\cdot\, 530 \,= \,1192{\rm{\,V}}</latex>

<latex>{X_L}\, =\, {X_C}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{X_L}\, -\, {X_C}\, =\, 0 \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, Z \,= \,R \,= \,30\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, =\, \frac{U}{Z}\, = \,\frac{230}{30}\, = \,{\rm{7,66\,A}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Kolikšna mora biti kapacitivnost kondenzatorja, ki ga vežemo zaporedno z uporom z upornostjo 82 Ω in tuljavo z induktivnostjo 0,1 H, če želimo, da bo pri krožni frekvenci 10 4 s-1 vezava elementov povzročala fazni kot 25 º?|||
<latex>{X_L}\, = \,\omega L \,=\, {10^4} \,\cdot\, {\rm{0,1}}\, =\, 1{\rm{\,k\Omega }}</latex>

<latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{{X_L} \,- \,{X_C}}}{R}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{X_L} \,-\, {X_C}\, =\, R \,\cdot\, \tan \varphi \, =\, 82 \,\cdot \,\tan 25^\circ \, =\, {\rm{38,2\,\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, {X_L}\, - \,{\rm{38,2}} \,= \,1000\, - \,{\rm{38,2}}\, = \,962\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>{X_C}\, =\, \frac{1}{\omega C}\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, C \,= \,\frac{1}{\omega \, \cdot \,{X_C}}\, =\, \frac{1}{{{10}^4}\, \cdot\, 962}\, =\, {\rm{0,1}}\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Zaporedna vezava upora in tuljave

2010-05-11T09:48:05Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_3.svg|thumb|right|Slika 3.2.3: Zaporedna RL vezava v izmeničnem krogu]]

<poskus>
'''Poskus 3.2.1:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 300 Ω in tuljave z induktivnostjo 10 mH, ki naj ima čim manjšo ohmsko upornost navitja, priključimo na sinusno napetost 5 V6 kHz (sl. 3.2.3). Izmerimo padca napetosti ''UR'' in ''UL'' ter izmerjeno preverimo z zakonom napetostne zanke.

<latex>U_R\, +\, U_L \,=\, 3{\rm{\,V}}\, + \,4{\rm{\,V}}\, =\, 7{\rm{\,V}}\,\,\textgreater\,\, 5{\rm{\,V}}</latex>

</poskus>

<pomembno>
*V zaporednem ''RL'' izmeničnem krogu je '''aritmetična vsota''' efektivnih '''padcev''' napetosti '''večja''' od efektivne napetosti '''izvora'''.
</pomembno>

Poskus 3.2.1 je dal rezultat, ki ga najverjetneje nismo pričakovali. Prepričali pa se bomo, da sta padca napetosti ''UR'' in ''UL'' kljub pomislekom pravilno izmerjena.

== Časovni potek napetosti in toka ==
[[Image:eele_slika_3_2_4.svg|thumb|right|Slika 3.2.4: Kazalčni in časovni diagram]]
Zaradi boljše predstavljivosti in lažjega razumevanja razmer v izmeničnem krogu si bomo pri obravnavi prvega primera, zaporedne vezavi upora in tuljave, pomagali s '''kazalčnim''' in s '''časovnim''' diagramom. Pri naslednjih vezavah pa bomo risanje časovnega diagrama opustili.

Najprej narišemo kazalčni diagram. V zaporednih električnih krogih je '''skupna količina''' elementov kroga '''električni tok''', zato v našem primeru najprej narišemo v vodoravno os koordinatnega sistema kazalec '''maksimalne''' vrednosti<ref>OE2, str. xx</ref> toka (slika 3.2.4 a).

Trenutni tok '''''i''''' povzroča na ohmski upornosti trenutni ohmski padec napetosti '''''uR''''', na induktivni upornosti pa induktivni padec napetosti '''''uL'''''. Ker sta na ohmski upornosti napetost in tok v '''fazi''', na induktivni pa napetost prehiteva tok za 90 °, rišemo kazalec napetosti '''''U''''''''''R''m''' na kazalec '''toka''', kazalec napetosti '''''U''''''''''L''m''' pa 90 ° '''pred''' kazalec '''toka'''.

Časovni diagram (sl. 3.2.4 c) nazorno prikaže dejstvo v zvezi s '''trenutnimi''' vrednostmi napetosti:

<pomembno>
*V '''zaporednem''' krogu z uporom in tuljavo je '''trenutna''' napetost izvora enaka '''aritmetični''' vsoti '''trenutnih''' vrednosti '''padcev napetosti''' na uporu in tuljavi.
</pomembno>

<latex>u \, = \, u_R \, + \, u_L</latex>

To dejstvo smo spoznali že ob koncu predhodnega poglavja in velja za vse primere zaporednih vezav
elementov v izmeničnem krogu, zato tega dejstva ne bomo več posebej omenjali.

'''Fazne razmere''' obravnavanega kroga pa nazorneje razberemo iz kazalčnega diagrama (sl. 3.2.4 b):

<pomembno>
*V '''zaporednem''' izmeničnem krogu z uporom in tuljavo sta kazalca napetosti na uporu in tuljavi med seboj '''pravokotna'''.
*'''Maksimalna''' vrednost napetosti izvora je enaka '''geometrični''' vsoti maksimalnih vrednosti '''padcev napetosti''' na '''uporu''' in '''tuljavi'''.
</pomembno>

<latex>U_m\,=\,\sqrt{U_{R{\rm{m}}}^2 \,+\,U_{L{\rm{m}}}^2}|||(V)</latex>

Iz kazalčnega diagrama (slika 3.2.4 b) je razviden tudi fazni kot med napetostjo in tokom generatorja. Z upoštevanjem možnih razmerij napetosti ''UR''m in ''UL''m ugotavljamo:

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' in '''tuljave tok zaostaja''' za napetostjo izvora za fazni kot '''''φ''''', ki lahko zavzame poljubno velikost med '''0''' in '''90 º'''.</pomembno>

<latex>0 \, \textless \, \varphi \, \textless \, 90^{\,\circ}</latex>

== Trikotnik napetosti in upornosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_5.svg|thumb|right|Slika 3.2.5: Trikotnik napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom in tuljavo]]

Iz kazalčnega diagrama na sl. 3.2.4 bi lahko izrisali pravokotni trikotnik s stranicami ''U''m, ''UR''m in ''UL''m. Iz praktičnih razlogov pa kazalce maksimalnih vrednosti količin kazalčnega diagrama na sl. 3.2.4 delimo s √2 in dobimo podoben, glede faznih razmer enakovreden diagram s kazalci, katerih velikosti so efektivne vrednosti istih količin. Iz takega kazalčnega diagrama izrišemo '''pravokotni trikotnik''' (sl. 3.2.5 a).

Če stranice '''napetostnega''' trikotnika delimo še s skupno količino zaporednega kroga s '''tokom ''I'''''

<latex>\frac{U_R}{I}\,=\,R;\,\,\,\,\frac{U_L}{I}\,=\,X_L;\,\,\,\,\frac{U}{I}\,=\,Z,</latex>

dobimo še en '''podoben''' trikotnik (sl. 3.2.5 b), katerega stranice so '''upornosti''' kroga.

<pomembno>
*V '''zaporednem''' krogu z '''uporom''' in '''tuljavo''' je '''efektivna''' vrednost napetosti izvora enaka '''geometrični''' vsoti '''efektivnih''' vrednosti '''padcev napetosti''' na '''uporu''' in '''tuljavi'''.
*Impedanca zaporednega kroga z uporom in tuljavo je enaka '''geometrični''' vsoti '''ohmske''' in '''induktivne''' upornosti.
</pomembno>

Opraviti imamo s '''pravokotnima''' trikotnikoma, zato lahko pri računanju z njimi uporabimo '''Pitagorov''' izrek, npr.:

<latex>U\,=\,\sqrt{U_R^2\,+\,U_L^2}\,;\,\,\,\,Z\,=\,\sqrt{R^2\,+\,X_L^2}\,;\,\,\,\,...</latex>

in '''kotne''' funkcije, npr.:

<latex>{\rm{csc}}\varphi\,=\,\frac{U_R}{U}\,;\,\,\,\,{\rm{tan}}\varphi\,=\,\frac{X_L}{R}\,;\,\,\,\,...</latex>

Navedene in druge enačbe, ki izhajajo iz pravil reševanja pravokotnega trikotnika, omogočajo pri dveh znanih količinah trikotnika računanje tretje količine.

Preskusimo prvo od dobljenih enačb na rezultatih meritev poskusa 3.2.1:

<latex>U\, =\, \sqrt {U_R^2\, +\, U_L^2} \, =\, \sqrt {3^2\,+\,4^2} \, = \,\sqrt {25} \, = \,5{\rm{V}}</latex>

'''Primeri:'''
<primer>
1. Preverimo rezultate merjenja pri poskusu 3.2.1, v katerem smo izmerili padca napetosti ''UR'' = 3 V in ''UL'' = 4 V še grafično.

Po premisleku izberemo praktično merilo risanja M: 1 V = 1 cm ali drugače zapisano|||
<latex>M \, = \,\frac{1 \, V}{1 \, cm}</latex>

<latex>{U_R} \, \buildrel \wedge \over = \, \frac{{3{\rm{\,V}}}}{M}\, =\, \frac{{3{\rm{\,V}}}}{{\frac{{1{\rm{\,V}}}}{{{\rm{cm}}}}}} \,=\, 3{\rm{\,cm}}\,;\,\,\,\,{U_L}\, \buildrel \wedge \over = \,\frac{{4{\rm{\,V}}}}{{\frac{{1{\rm{\,V}}}}{{{\rm{cm}}}}}}\, =\, 4{\rm{\,cm}}</latex>

<latex>{U} \, \buildrel \wedge \over = \, 5 \, {\rm{cm}}</latex>
in od tod
<latex>{U} \, = \, 5 \, {\rm{cm}}\,\cdot\, \frac{{1{\rm{\,V}}}}{{\rm{cm}}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj fazni kot med tokom in napetostjo generatorja in impedanco iz poskusa 2.2.1:|||
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{U_R}{U}\, =\, \frac{3}{5}\, =\, {\rm{0,6}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{53,1}}^{\,\circ}</latex>
<latex>Z \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2} \, = \,\sqrt {{R^2} \,+ \,{{\left( {2\pi fL} \right)}^2}} \, =\, \sqrt {{{300}^2} \,+ \,{{\left( {2\pi \, \cdot\, 6\, \cdot \,{{10}^3} \,\cdot\, 10 \,\cdot\, {{10}^{-3}}} \right)}^2}} \, =\, 482 \,\Omega</latex>
</primer>

<primer>
3. Kolikšna je impedanca zaporedne vezave upora z upornostjo 60 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 80 Ω v izmeničnem krogu? Kolikšen je fazni premik med napetostjo in tokom generatorja?|||
<latex>Z \,= \,\sqrt {{R^2} \,+ \,{X_L}^2} \, =\, \sqrt {{{60}^2} \,+ \,{{80}^2}} \, = \,\sqrt {3600\, + \,6400} \, = \,\sqrt {10000} \, =\, 100 \,\Omega</latex>
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{R}{Z}\, =\, \frac{60}{100}\, =\, {\rm{0,6}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{53,1}}^{\,\circ}</latex>
</primer>

<primer>
4. V zaporednem izmeničnem krogu z uporom in tuljavo je pri napetosti 36 V/50 Hz tok 2 A. Kolikšni sta impedanca in induktivna upornost, padca napetosti na uporu in tuljavi ter kolikšen je fazni kot, če je upornost upora vezave 12 Ω?|||
<latex>Z \,= \,\frac{U}{I}\, = \, \frac{36}{2} \,= \,18\,\Omega</latex>
<latex>{X_L} \,=\, \sqrt {{{18}^2} \,- \,{{12}^2}} \, =\, \sqrt {180} \, = \,{\rm{13,4}}\,\Omega</latex>
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{R}{Z}\, =\, \frac{12}{18}\, =\, {\rm{0,666}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{48,2}}^{\,\circ}</latex>
<latex>{U_R} \,=\, U \,\cdot\, {\rm{cos}}\varphi \, =\, 36\, \cdot\, {\rm{cos}}\left( {48,2^{\,\circ} } \right)\, = \,36 \,\cdot\, {\rm{0,666}}\, = \,24{\rm{\,V}}</latex>
<latex>{U_L} \,=\, U \,\cdot\, {\rm{sin}}\varphi \, =\, 36\, \cdot\, {\rm{sin}}\left( {48,2^{\,\circ} } \right)\, = \,36 \,\cdot\, {\rm{0,745}}\, = \,{\rm{26,8\,V}}</latex>
</primer>

<primer>
5. V zaporednem izmeničnem krogu z uporom in tuljavo je napetost izvora 50 V/1000 Hz upornost upora 100 Ω in induktivnost tuljave 10 mH. Izračunaj tok, padca napetosti in fazni kot.|||
<latex>{X_L}\, = \,2\pi fL\, = \,2\pi \,\cdot \,{10^3} \,\cdot \,10 \,\cdot\, {10^{-3}} \,= \,{\rm{62,8\,\Omega }}</latex>
<latex>Z \,=\, \sqrt {{R^2} \,+\, {X_L}^2} \, = \,\sqrt {{{100}^2}\, +\, {{{\rm{68,2}}}^2}} \, =\, 118\,\Omega</latex>
<latex>I \,= \,\frac{U}{Z} \,= \,\frac{50}{118} \,= \,{\rm{0,424\,A}}</latex>
<latex>{U_R}\, = \,I \,\cdot\, R \,= \,{\rm{0,424}} \,\cdot\, 100\, = \,{\rm{42,4\,V}}</latex>
<latex>{U_L} \,=\, I \,\cdot \,{X_L}\, =\, {\rm{0,424}} \,\cdot \,{\rm{62,8}} \,= \,{\rm{26,6\,V}}</latex>
<latex>\cos \varphi \, = \,\frac{U_R}{U}\, =\, \frac{{\rm{42,4}}}{50}\, =\, {\rm{0,848}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{32}}^{\,\circ}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Zaporedna vezava upora in tuljave

2010-05-11T09:47:49Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_2_3.svg|thumb|right|Slika 3.2.3: Zaporedna RL vezava v izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_2_4.svg|thumb|right|Slika 3.2.4: Kazalčni in časovni diagram]]

<poskus>
'''Poskus 3.2.1:'''

Zaporedno vezavo upora z upornostjo 300 Ω in tuljave z induktivnostjo 10 mH, ki naj ima čim manjšo ohmsko upornost navitja, priključimo na sinusno napetost 5 V6 kHz (sl. 3.2.3). Izmerimo padca napetosti ''UR'' in ''UL'' ter izmerjeno preverimo z zakonom napetostne zanke.

<latex>U_R\, +\, U_L \,=\, 3{\rm{\,V}}\, + \,4{\rm{\,V}}\, =\, 7{\rm{\,V}}\,\,\textgreater\,\, 5{\rm{\,V}}</latex>

</poskus>

<pomembno>
*V zaporednem ''RL'' izmeničnem krogu je '''aritmetična vsota''' efektivnih '''padcev''' napetosti '''večja''' od efektivne napetosti '''izvora'''.
</pomembno>

Poskus 3.2.1 je dal rezultat, ki ga najverjetneje nismo pričakovali. Prepričali pa se bomo, da sta padca napetosti ''UR'' in ''UL'' kljub pomislekom pravilno izmerjena.

== Časovni potek napetosti in toka ==

Zaradi boljše predstavljivosti in lažjega razumevanja razmer v izmeničnem krogu si bomo pri obravnavi prvega primera, zaporedne vezavi upora in tuljave, pomagali s '''kazalčnim''' in s '''časovnim''' diagramom. Pri naslednjih vezavah pa bomo risanje časovnega diagrama opustili.

Najprej narišemo kazalčni diagram. V zaporednih električnih krogih je '''skupna količina''' elementov kroga '''električni tok''', zato v našem primeru najprej narišemo v vodoravno os koordinatnega sistema kazalec '''maksimalne''' vrednosti<ref>OE2, str. xx</ref> toka (slika 3.2.4 a).

Trenutni tok '''''i''''' povzroča na ohmski upornosti trenutni ohmski padec napetosti '''''uR''''', na induktivni upornosti pa induktivni padec napetosti '''''uL'''''. Ker sta na ohmski upornosti napetost in tok v '''fazi''', na induktivni pa napetost prehiteva tok za 90 °, rišemo kazalec napetosti '''''U''''''''''R''m''' na kazalec '''toka''', kazalec napetosti '''''U''''''''''L''m''' pa 90 ° '''pred''' kazalec '''toka'''.

Časovni diagram (sl. 3.2.4 c) nazorno prikaže dejstvo v zvezi s '''trenutnimi''' vrednostmi napetosti:

<pomembno>
*V '''zaporednem''' krogu z uporom in tuljavo je '''trenutna''' napetost izvora enaka '''aritmetični''' vsoti '''trenutnih''' vrednosti '''padcev napetosti''' na uporu in tuljavi.
</pomembno>

<latex>u \, = \, u_R \, + \, u_L</latex>

To dejstvo smo spoznali že ob koncu predhodnega poglavja in velja za vse primere zaporednih vezav
elementov v izmeničnem krogu, zato tega dejstva ne bomo več posebej omenjali.

'''Fazne razmere''' obravnavanega kroga pa nazorneje razberemo iz kazalčnega diagrama (sl. 3.2.4 b):

<pomembno>
*V '''zaporednem''' izmeničnem krogu z uporom in tuljavo sta kazalca napetosti na uporu in tuljavi med seboj '''pravokotna'''.
*'''Maksimalna''' vrednost napetosti izvora je enaka '''geometrični''' vsoti maksimalnih vrednosti '''padcev napetosti''' na '''uporu''' in '''tuljavi'''.
</pomembno>

<latex>U_m\,=\,\sqrt{U_{R{\rm{m}}}^2 \,+\,U_{L{\rm{m}}}^2}|||(V)</latex>

Iz kazalčnega diagrama (slika 3.2.4 b) je razviden tudi fazni kot med napetostjo in tokom generatorja. Z upoštevanjem možnih razmerij napetosti ''UR''m in ''UL''m ugotavljamo:

<pomembno>
*V izmeničnem krogu z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' in '''tuljave tok zaostaja''' za napetostjo izvora za fazni kot '''''φ''''', ki lahko zavzame poljubno velikost med '''0''' in '''90 º'''.</pomembno>

<latex>0 \, \textless \, \varphi \, \textless \, 90^{\,\circ}</latex>

== Trikotnik napetosti in upornosti ==
[[Image:eele_slika_3_2_5.svg|thumb|right|Slika 3.2.5: Trikotnik napetosti in upornosti zaporednega kroga z uporom in tuljavo]]

Iz kazalčnega diagrama na sl. 3.2.4 bi lahko izrisali pravokotni trikotnik s stranicami ''U''m, ''UR''m in ''UL''m. Iz praktičnih razlogov pa kazalce maksimalnih vrednosti količin kazalčnega diagrama na sl. 3.2.4 delimo s √2 in dobimo podoben, glede faznih razmer enakovreden diagram s kazalci, katerih velikosti so efektivne vrednosti istih količin. Iz takega kazalčnega diagrama izrišemo '''pravokotni trikotnik''' (sl. 3.2.5 a).

Če stranice '''napetostnega''' trikotnika delimo še s skupno količino zaporednega kroga s '''tokom ''I'''''

<latex>\frac{U_R}{I}\,=\,R;\,\,\,\,\frac{U_L}{I}\,=\,X_L;\,\,\,\,\frac{U}{I}\,=\,Z,</latex>

dobimo še en '''podoben''' trikotnik (sl. 3.2.5 b), katerega stranice so '''upornosti''' kroga.

<pomembno>
*V '''zaporednem''' krogu z '''uporom''' in '''tuljavo''' je '''efektivna''' vrednost napetosti izvora enaka '''geometrični''' vsoti '''efektivnih''' vrednosti '''padcev napetosti''' na '''uporu''' in '''tuljavi'''.
*Impedanca zaporednega kroga z uporom in tuljavo je enaka '''geometrični''' vsoti '''ohmske''' in '''induktivne''' upornosti.
</pomembno>

Opraviti imamo s '''pravokotnima''' trikotnikoma, zato lahko pri računanju z njimi uporabimo '''Pitagorov''' izrek, npr.:

<latex>U\,=\,\sqrt{U_R^2\,+\,U_L^2}\,;\,\,\,\,Z\,=\,\sqrt{R^2\,+\,X_L^2}\,;\,\,\,\,...</latex>

in '''kotne''' funkcije, npr.:

<latex>{\rm{csc}}\varphi\,=\,\frac{U_R}{U}\,;\,\,\,\,{\rm{tan}}\varphi\,=\,\frac{X_L}{R}\,;\,\,\,\,...</latex>

Navedene in druge enačbe, ki izhajajo iz pravil reševanja pravokotnega trikotnika, omogočajo pri dveh znanih količinah trikotnika računanje tretje količine.

Preskusimo prvo od dobljenih enačb na rezultatih meritev poskusa 3.2.1:

<latex>U\, =\, \sqrt {U_R^2\, +\, U_L^2} \, =\, \sqrt {3^2\,+\,4^2} \, = \,\sqrt {25} \, = \,5{\rm{V}}</latex>

'''Primeri:'''
<primer>
1. Preverimo rezultate merjenja pri poskusu 3.2.1, v katerem smo izmerili padca napetosti ''UR'' = 3 V in ''UL'' = 4 V še grafično.

Po premisleku izberemo praktično merilo risanja M: 1 V = 1 cm ali drugače zapisano|||
<latex>M \, = \,\frac{1 \, V}{1 \, cm}</latex>

<latex>{U_R} \, \buildrel \wedge \over = \, \frac{{3{\rm{\,V}}}}{M}\, =\, \frac{{3{\rm{\,V}}}}{{\frac{{1{\rm{\,V}}}}{{{\rm{cm}}}}}} \,=\, 3{\rm{\,cm}}\,;\,\,\,\,{U_L}\, \buildrel \wedge \over = \,\frac{{4{\rm{\,V}}}}{{\frac{{1{\rm{\,V}}}}{{{\rm{cm}}}}}}\, =\, 4{\rm{\,cm}}</latex>

<latex>{U} \, \buildrel \wedge \over = \, 5 \, {\rm{cm}}</latex>
in od tod
<latex>{U} \, = \, 5 \, {\rm{cm}}\,\cdot\, \frac{{1{\rm{\,V}}}}{{\rm{cm}}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Izračunaj fazni kot med tokom in napetostjo generatorja in impedanco iz poskusa 2.2.1:|||
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{U_R}{U}\, =\, \frac{3}{5}\, =\, {\rm{0,6}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{53,1}}^{\,\circ}</latex>
<latex>Z \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2} \, = \,\sqrt {{R^2} \,+ \,{{\left( {2\pi fL} \right)}^2}} \, =\, \sqrt {{{300}^2} \,+ \,{{\left( {2\pi \, \cdot\, 6\, \cdot \,{{10}^3} \,\cdot\, 10 \,\cdot\, {{10}^{-3}}} \right)}^2}} \, =\, 482 \,\Omega</latex>
</primer>

<primer>
3. Kolikšna je impedanca zaporedne vezave upora z upornostjo 60 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 80 Ω v izmeničnem krogu? Kolikšen je fazni premik med napetostjo in tokom generatorja?|||
<latex>Z \,= \,\sqrt {{R^2} \,+ \,{X_L}^2} \, =\, \sqrt {{{60}^2} \,+ \,{{80}^2}} \, = \,\sqrt {3600\, + \,6400} \, = \,\sqrt {10000} \, =\, 100 \,\Omega</latex>
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{R}{Z}\, =\, \frac{60}{100}\, =\, {\rm{0,6}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{53,1}}^{\,\circ}</latex>
</primer>

<primer>
4. V zaporednem izmeničnem krogu z uporom in tuljavo je pri napetosti 36 V/50 Hz tok 2 A. Kolikšni sta impedanca in induktivna upornost, padca napetosti na uporu in tuljavi ter kolikšen je fazni kot, če je upornost upora vezave 12 Ω?|||
<latex>Z \,= \,\frac{U}{I}\, = \, \frac{36}{2} \,= \,18\,\Omega</latex>
<latex>{X_L} \,=\, \sqrt {{{18}^2} \,- \,{{12}^2}} \, =\, \sqrt {180} \, = \,{\rm{13,4}}\,\Omega</latex>
<latex>\csc \varphi \, = \,\frac{R}{Z}\, =\, \frac{12}{18}\, =\, {\rm{0,666}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{48,2}}^{\,\circ}</latex>
<latex>{U_R} \,=\, U \,\cdot\, {\rm{cos}}\varphi \, =\, 36\, \cdot\, {\rm{cos}}\left( {48,2^{\,\circ} } \right)\, = \,36 \,\cdot\, {\rm{0,666}}\, = \,24{\rm{\,V}}</latex>
<latex>{U_L} \,=\, U \,\cdot\, {\rm{sin}}\varphi \, =\, 36\, \cdot\, {\rm{sin}}\left( {48,2^{\,\circ} } \right)\, = \,36 \,\cdot\, {\rm{0,745}}\, = \,{\rm{26,8\,V}}</latex>
</primer>

<primer>
5. V zaporednem izmeničnem krogu z uporom in tuljavo je napetost izvora 50 V/1000 Hz upornost upora 100 Ω in induktivnost tuljave 10 mH. Izračunaj tok, padca napetosti in fazni kot.|||
<latex>{X_L}\, = \,2\pi fL\, = \,2\pi \,\cdot \,{10^3} \,\cdot \,10 \,\cdot\, {10^{-3}} \,= \,{\rm{62,8\,\Omega }}</latex>
<latex>Z \,=\, \sqrt {{R^2} \,+\, {X_L}^2} \, = \,\sqrt {{{100}^2}\, +\, {{{\rm{68,2}}}^2}} \, =\, 118\,\Omega</latex>
<latex>I \,= \,\frac{U}{Z} \,= \,\frac{50}{118} \,= \,{\rm{0,424\,A}}</latex>
<latex>{U_R}\, = \,I \,\cdot\, R \,= \,{\rm{0,424}} \,\cdot\, 100\, = \,{\rm{42,4\,V}}</latex>
<latex>{U_L} \,=\, I \,\cdot \,{X_L}\, =\, {\rm{0,424}} \,\cdot \,{\rm{62,8}} \,= \,{\rm{26,6\,V}}</latex>
<latex>\cos \varphi \, = \,\frac{U_R}{U}\, =\, \frac{{\rm{42,4}}}{50}\, =\, {\rm{0,848}} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, \varphi \, = \, {\rm{32}}^{\,\circ}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealiziranim kondenzatorjem

2010-05-11T09:46:16Z

Latac:

Kondenzator kot element v '''elektroenergetiki''' ni tako pogost kot tuljava (navitje), saj je sestavni del le nekaterih elektroenergetskih naprav in električnih omrežij (enofazni elektromotorji, kompenzacija jalove energije …). V '''elektroniki''' pa je kondenzator nepogrešljiv element večine naprav (frekvenčne kretnice in filtri, usmerniki, ojačevalniki …), zato je vreden enake pozornosti kot tuljava. Nekaj najpogostejših izvedb kondenzatorjev je na sliki 2.1.15.

== Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_16.svg|thumb|right|Slika 3.1.16: Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu]]
'''Poskus 3.1.6:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo 10 μF priključimo zaporedno z mA-metrom najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.16 a) in potem na izmenično sinusno napetost 12 V/50 Hz. Izmerimo toka obeh priključitev in ju primerjajmo med seboj.

*V primeru enosmerne napetosti je v krogu le kratkotrajni tok polnjenja kondenzatorja<ref>OE1, str. 188</ref>.
*V primeru izmenične napetosti je v krogu stalni električni tok.
</poskus>

<pomembno>
*Kondenzator enosmernega toka '''ne prevaja''', izmeničnega pa '''navidezno prevaja'''.
*Za enosmerni tok predstavlja kondenzator '''neskončno''', za izmenični tok '''končno''' upornost.
</pomembno>

V poskusu 3.1.6 a) smo zaznali le kratkotrajni tok ob sklenitvi električnega kroga. To je bil tok '''polnjenja''' kondenzatorja, dielektrik pa je '''onemogočal''' tok '''skozi''' kondenzator. V poskusu 3.1.6 b) pa izmenična napetost povzroča v električnem krogu tok izmeničnega '''polnjenja''' in '''praznjenja''' kondenzatorja, čeprav tudi v tem primeru skozi dielektrik kondenzatorja '''ni''' toka.

<pomembno>
*Vzrok '''prevodnosti''' izmeničnega kroga s kondenzatorjem je '''izmenično polnjenje''' in '''praznjenje''' kondenzatorja.
*Prevodnost kondenzatorja v izmeničnem krogu imenujemo '''kapacitivna prevodnost'''<ref>Pravimo ji tudi '''susceptanca'''.</ref> ('''''BC''''').
</pomembno>

S ponovitvijo poskusa 3.1.6 b) pri stalni kapacitivnosti in frekvenci in različnih napetostih bi ugotovili, da tudi v izmeničnem krogu s kondenzatorjem velja med napetostjo in tokom premo sorazmerje.

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost je pri '''konstantni''' kapacitivnosti '''linearna''' prevodnost.</pomembno>

Pri zanemarljivi neidealnosti dielektrika kondenzatorja (idealiziranenem kondenzatorju), znani sinusni napetosti na kondenzatorju in znanem toku v električnem krogu s kondenzatorjem lahko '''kapacitivno prevodnost''' izračunamo na osnovi razmerja '''maksimalnih''' ali '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex> B_C \,=\, \frac{I_{{\rm{m}}C}}{U_{{\rm{m}}C}}\, =\, \frac{I_C}{U_C} |||(S) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

Z obratnim sorazmerjem dobimo '''kapacitivno upornost'''<ref>Kondenzator se v izmeničnem krogu, podobno kot tuljava, vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek''', zato pravimo upornosti kondenzatorja v izmeničnem krogu tudi '''reaktanca'''.</ref> kondenzatorja v izmeničnem krogu ('''''XC''''').

<latex>X_C \, =\, \frac{1}{B_C} \,=\, \frac{U_{{\rm{m}}C}}{I_{{\rm{m}}C}}\, = \,\frac{U_C}{I_C}|||(Ω)</latex>

<primer>
'''Primer:'''

V izmeničnem krogu s kondenzatorjem je tok 12 mA. Kolikšna sta kapacitivna prevodnost in upornost kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju 6 V?|||
<latex>{B_C}\, =\, \frac{I_C}{U_C}\, =\, \frac{{\rm{0,012}}}{6}\, =\, {\rm{0,002}} = 2\,{\rm{mS}}</latex>
<latex>{X_C}\, =\, \frac{U_C}{I_C}\, = \,\frac{6}{\rm{0,012}}\, = \,500\,\Omega</latex>
</primer>

== Časovni potek napetosti in toka ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_17.svg|thumb|right|Slika 3.1.17: Opazovanje časovnih potekov napetosti in toka v izmeničnem krogu s kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_18.svg|thumb|right|Slika 3.1.18: Izmenični krog s čisto kapacitivno upornostjo (idealiziranim kondenzatorjem]]
'''Poskus 3.1.7:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo ''C'' = 1 μF priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 1 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/200 Hz (slika 3.1.17). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na kondenzatorju in toka (padca napetosti na uporu) v krogu s kondenzatorjem.

*Napetost in tok imata enako, sinusno obliko časovnih potekov.
*Tok prehiteva napetost za ¼ periode (90 °).
</poskus>

<pomembno>
*Kapacitivnost povzroča v izmeničnem krogu zaostajanje napetosti za tokom.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližji idealnosti kot tuljava. Kljub temu ga bomo iz enakih razlogov kot pri tuljavi pri nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov, če to ne bo potrebno drugače, obravnavali kot idealizirani kondenzator. V takem primeru imamo v izmeničnem krogu '''samo kapacitivnost''' (slika 3.1.18 a). Kazalčni in časovni diagram napetosti in toka za '''kapacitivni''' izmenični krog sta prikazana na sliki 3.1.18 b) in c).

<pomembno>
*V izmeničnem krogu s čisto kapacitivnostjo '''napetost zaostaja''' za '''tokom''' za ¼ periode.
*Fazni kot med tokom in napetostjo v '''kapacitivnem''' krogu je '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, =\, -\, 90^{\,\circ}</latex>

V primerjavi z induktivnim izmeničnim krogom ugotavljamo pomembno dejstvo:

<pomembno>
*Kondenzator povzroči v sinusnem izmeničnem krogu '''nasprotni fazni premik''' kot tuljava.</pomembno>

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroči kapacitivnost v sinusnem izmeničnem krogu, lahko pojasnimo s podobnim razmišljanjem kot pri tuljavi.

Na osnovi enačbe enosmernega toka ''I = Q ⁄ t'' <ref>OE1, str. 35</ref> lahko zapišemo enačbo za trenutno vrednost izmeničnega toka:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutna vrednost izmeničnega toka je podana s '''trenutnim''' pretokom '''elektrine'''.
</pomembno>

Z upoštevanjem enačbe ''C = Q ⁄ U'' <ref>OE1, str. 187</ref> oziroma ''Q = C ∙ U'' dobimo:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}\, =\, \frac{\Delta \left( C \,\cdot\, u \right)}{\Delta t}</latex>

ali

<latex>i\, = \,C \,\cdot\, \frac{\Delta u}{\Delta t}</latex>

[[Image:eele_slika_3_1_19.svg|thumb|right|Slika 3.1.19: Hitrost spreminjanja sinusne izmenične napetosti]]
<pomembno>
*Trenutni tok v izmeničnem krogu s kondenzatorjem je premo sorazmeren s '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja in '''hitrostjo spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

Sinusni izmenični tok v električnem krogu s kondenzatorjem ima torej '''največjo vrednost''' v trenutku '''najhitrejšega spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju in obratno (sl. 3.1.19).

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v izmeničnem krogu s kapacitivno upornostjo je v '''odvisnosti''' trenutne vrednosti sinusnega toka od '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

== Odvisnost kapacitivne prevodnosti ==
[[Image:eele_slika_3_1_20.svg|thumb|right|Slika 3.1.20: Odvisnost toka od frekvence v kapacitivnem izmeničnem krogu]]

Odvisnost kapacitivne prevodnosti lahko ugotovimo na podoben način kot pri induktivni upornosti.

<poskus>
'''Poskus 3.1.8:'''

Na sinusno izmenično napetost, npr. 6 V/200 Hz, priključimo prek A-metra kondenzator s kapacitivnostjo 1 μF.

a) Spreminjajmo frekvenco od 200 Hz do 1000 Hz in opazujmo jakost toka na A-metru (slika 3.1.20 a).

b) Pri frekvenci 200 Hz zamenjajmo kondenzator s kondenzatorjem 10 μF.

*Tok pri konstantni kapacitivnosti in napetosti z naraščajočo frekvenco '''linearno narašča'''.
*Tok pri konstantni frekvenci in napetosti z naraščajočo kapacitivnostjo '''linearno narašča'''.

</poskus>

Na osnovi dobljene odvisnosti toka lahko sklepamo o frekvenčni odvisnosti kapacitivne prevodnosti:

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''frekvenco''' in obratno.
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''kapacitivnostjo''' in obratno.
</pomembno>

Razlaga ugotovljene odvisnost temelji na '''premo sorazmerni''' odvisnosti '''toka''' polnjenja kondenzatorja od '''kapacivnosti''' in '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju. Ugotovitev

<latex>B_C \propto f,C</latex>

in matematična izpeljava, podobna kot pri tuljavi (<informacije>), vodita v zapis:

<informacije>
Enačbo odvisnosti kapacitivne upornosti praviloma izpeljemo z višjo matematiko, informativno pa jo lahko izpeljemo tudi '''poenostavljeno''' na podoben način kot pri induktivni upornosti. Namesto z induktivnostjo in hitrostjo spreminjanja toka bomo operirali s kapacitivnostjo in hitrostjo spreminjanja napetosti.
</informacije>

<latex>B_C \, = \, \omega C|||(S) ''ω = 2πf'' (s-1); ''C'' (F)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna '''prevodnost''' je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Podobno odvisnost kot smo jo pri '''tuljavi''' ugotovili za induktivno '''upornost''', ugotavljamo pri '''kondenzatorju''' za kapacitivno '''prevodnost'''. Kapacitivno '''upornost''' '''''XC''''' pa lahko izračunamo z obratno vrednostjo kapacitivne prevodnosti:

<latex>X_C \, = \, \frac{1}{\omega C}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna upornost kondenzatorja je '''obratno sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega izmeničnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti kondenzatorja v grafični obliki prikazuje slika 3.1.21:
[[Image:eele_slika_3_1_21.svg|thumb|right|Slika 3.1.21: Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti]]

Induktivna in kapacitivna upornost sta si torej v določenih lastnostih '''podobni''' (navidezni, linearni), razlikujeta pa se v povzročanju '''nasprotnih''' faznih kotov in '''obratni frekvenčni odvisnosti'''.

Frekvenčna odvisnost kapacitivne prevodnosti oziroma upornosti je, podobno kot pri tuljavi, osnova za delovanje '''tonskih kretnic''', '''frekvenčnih filtrov''' in podobno.

'''Primeri:'''

<primer>
1. Izračunaj kapacitivne upornosti kondenzatorja s kapacitivnostjo 10 nF pri frekvencah 50 Hz in 10 MHz.|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}}|||(Ω)</latex>
50 Hz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,318\,{\rm{k\Omega}}</latex>
100 kHz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 100 \, \cdot \, 10^3 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,159\,\Omega</latex>
</primer>
<primer>
2. Kondenzator s kapacitivnostjo 5 μF je priključen na izmenično napetost 110 V/50 Hz. Kolikšen je tok v električnem krogu?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} \,= \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 10^{-6}}} \,=\,636\,\Omega</latex>
<latex>I_C \,= \, \frac{U}{X_C} \,=\, \frac{110}{636}\, = \, {\rm{0,173\,A}}</latex>
</primer>
<primer>
3. Kolikšno kapacitivnost mora imeti kondenzator, ki ima pri frekvenci 50 Hz kapacitivno upornost 398 Ω?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} </latex>
<latex>C \, = \, \frac{1}{2 \pi f X_C}\, = \, \frac{1}{2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 398} \,=\, 8 \, \cdot \, 10^{-6} \,=\,8\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

== Energija in moč v kapacitivnem izmeničnem krogu ('''''W'''''el, '''''QC)''''' ==

V kapacitivnem izmeničnem krogu označujemo trenutno moč s '''''qC''''', določena pa je s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

<latex>q_C \, = \, u_C \, \cdot \, i_C</latex>

Iz časovnih potekov napetosti in toka v kapacitivnem izmeničnem krogu (sl. 3.1.18) dobimo na že znani način časovni potek moči (sl. 3.1.22):
[[Image:eele_slika_3_1_22.svg|thumb|right|Slika 3.1.22: Časovni potek moči v kapacitivnem izmeničnem krogu]]

<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima v '''kapacitivnem''' izmeničnem krogu '''sinusno''' obliko z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>q_C \, = \,u_C \,\cdot\, i_C \,=\, U_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, I_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t \,-\, \frac{\pi }{2}} \right) \,=\, {Q_{C{\rm{m}}}}\, \cdot \,{\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, \left( { - {\rm{cos}}\left( {\omega t} \right)} \right)\, = \, - \frac{{{Q_{C{\rm{m}}}}}}{2}\, \cdot \,\sin \left( {2\omega t} \right)</latex></ref> toka. </pomembno>

Pozitivna površina, ki jo v tem primeru oklene krivulja moči s časovno osjo v ¼ periode, predstavlja električno energijo, ki je v omenjeni četrtinki periode '''pritekla iz generatorja''' in se '''nakopičila v električnem polju'''<ref><latex>W_e \, = \, \frac{CU^2}{2},||| OE1, str.</latex></ref> '''kondenzatorja'''.

Zaradi enakosti pozitivne in negativne površine se, podobno kot pri tuljavi, v naslednji četrtinki periode z usihanjem električnega polja v kondenzatorju (slika 3.1.29) nakopičena energija v celoti '''vrne''' v generator.

<pomembno>
*Na kondenzatorju se, podobno kot na tuljavi, električna energija '''ne''' pretvarja v energijo drugih oblik in se '''ne sprošča''' iz električnega kroga.
*Energija se v kapacitivnem izmeničnem krogu '''brez učinka''' (jalovo), z '''dvojno frekvenco''' toka, le '''preliva''' iz '''generatorja''' v '''kondenzator''' in obratno. Imenujemo jo '''jalova energija'''.
</pomembno>

Iz ugotovljenih razlogov imenujemo kapacitivno upornost '''jalova upornost''', tok v kapacitivnem izmeničnem krogu jalovi tok in moč toka v kapacitivnem izmeničnem krogu jalova moč ('''''QC''''').

<pomembno>
*V primeru faznega kota '''''φ'' = - 90 °''' je v izmeničnem krogu prisotna le '''jalova''' moč.</pomembno>

<latex>Q_C \, = \, U_C \, \cdot \, I_C|||(VAr) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

ali tudi

<latex>Q_C \, = \, U^2_C \, \cdot \, X_C \, = \, \frac{U^2_C}{X_C}|||(var)</latex>

Moč izmeničnega toka v kapacitivnem krogu merimo enako kot v induktivnem krogu v '''varih'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealiziranim kondenzatorjem

2010-05-11T09:45:40Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_1_29.svg|thumb|right|Slika 3.1.13]]

Kondenzator kot element v '''elektroenergetiki''' ni tako pogost kot tuljava (navitje), saj je sestavni del le nekaterih elektroenergetskih naprav in električnih omrežij (enofazni elektromotorji, kompenzacija jalove energije …). V '''elektroniki''' pa je kondenzator nepogrešljiv element večine naprav (frekvenčne kretnice in filtri, usmerniki, ojačevalniki …), zato je vreden enake pozornosti kot tuljava. Nekaj najpogostejših izvedb kondenzatorjev je na sliki 2.1.15.

== Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_16.svg|thumb|right|Slika 3.1.16: Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu]]
'''Poskus 3.1.6:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo 10 μF priključimo zaporedno z mA-metrom najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.16 a) in potem na izmenično sinusno napetost 12 V/50 Hz. Izmerimo toka obeh priključitev in ju primerjajmo med seboj.

*V primeru enosmerne napetosti je v krogu le kratkotrajni tok polnjenja kondenzatorja<ref>OE1, str. 188</ref>.
*V primeru izmenične napetosti je v krogu stalni električni tok.
</poskus>

<pomembno>
*Kondenzator enosmernega toka '''ne prevaja''', izmeničnega pa '''navidezno prevaja'''.
*Za enosmerni tok predstavlja kondenzator '''neskončno''', za izmenični tok '''končno''' upornost.
</pomembno>

V poskusu 3.1.6 a) smo zaznali le kratkotrajni tok ob sklenitvi električnega kroga. To je bil tok '''polnjenja''' kondenzatorja, dielektrik pa je '''onemogočal''' tok '''skozi''' kondenzator. V poskusu 3.1.6 b) pa izmenična napetost povzroča v električnem krogu tok izmeničnega '''polnjenja''' in '''praznjenja''' kondenzatorja, čeprav tudi v tem primeru skozi dielektrik kondenzatorja '''ni''' toka.

<pomembno>
*Vzrok '''prevodnosti''' izmeničnega kroga s kondenzatorjem je '''izmenično polnjenje''' in '''praznjenje''' kondenzatorja.
*Prevodnost kondenzatorja v izmeničnem krogu imenujemo '''kapacitivna prevodnost'''<ref>Pravimo ji tudi '''susceptanca'''.</ref> ('''''BC''''').
</pomembno>

S ponovitvijo poskusa 3.1.6 b) pri stalni kapacitivnosti in frekvenci in različnih napetostih bi ugotovili, da tudi v izmeničnem krogu s kondenzatorjem velja med napetostjo in tokom premo sorazmerje.

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost je pri '''konstantni''' kapacitivnosti '''linearna''' prevodnost.</pomembno>

Pri zanemarljivi neidealnosti dielektrika kondenzatorja (idealiziranenem kondenzatorju), znani sinusni napetosti na kondenzatorju in znanem toku v električnem krogu s kondenzatorjem lahko '''kapacitivno prevodnost''' izračunamo na osnovi razmerja '''maksimalnih''' ali '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex> B_C \,=\, \frac{I_{{\rm{m}}C}}{U_{{\rm{m}}C}}\, =\, \frac{I_C}{U_C} |||(S) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

Z obratnim sorazmerjem dobimo '''kapacitivno upornost'''<ref>Kondenzator se v izmeničnem krogu, podobno kot tuljava, vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek''', zato pravimo upornosti kondenzatorja v izmeničnem krogu tudi '''reaktanca'''.</ref> kondenzatorja v izmeničnem krogu ('''''XC''''').

<latex>X_C \, =\, \frac{1}{B_C} \,=\, \frac{U_{{\rm{m}}C}}{I_{{\rm{m}}C}}\, = \,\frac{U_C}{I_C}|||(Ω)</latex>

<primer>
'''Primer:'''

V izmeničnem krogu s kondenzatorjem je tok 12 mA. Kolikšna sta kapacitivna prevodnost in upornost kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju 6 V?|||
<latex>{B_C}\, =\, \frac{I_C}{U_C}\, =\, \frac{{\rm{0,012}}}{6}\, =\, {\rm{0,002}} = 2\,{\rm{mS}}</latex>
<latex>{X_C}\, =\, \frac{U_C}{I_C}\, = \,\frac{6}{\rm{0,012}}\, = \,500\,\Omega</latex>
</primer>

== Časovni potek napetosti in toka ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_17.svg|thumb|right|Slika 3.1.17: Opazovanje časovnih potekov napetosti in toka v izmeničnem krogu s kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_18.svg|thumb|right|Slika 3.1.18: Izmenični krog s čisto kapacitivno upornostjo (idealiziranim kondenzatorjem]]
'''Poskus 3.1.7:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo ''C'' = 1 μF priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 1 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/200 Hz (slika 3.1.17). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na kondenzatorju in toka (padca napetosti na uporu) v krogu s kondenzatorjem.

*Napetost in tok imata enako, sinusno obliko časovnih potekov.
*Tok prehiteva napetost za ¼ periode (90 °).
</poskus>

<pomembno>
*Kapacitivnost povzroča v izmeničnem krogu zaostajanje napetosti za tokom.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližji idealnosti kot tuljava. Kljub temu ga bomo iz enakih razlogov kot pri tuljavi pri nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov, če to ne bo potrebno drugače, obravnavali kot idealizirani kondenzator. V takem primeru imamo v izmeničnem krogu '''samo kapacitivnost''' (slika 3.1.18 a). Kazalčni in časovni diagram napetosti in toka za '''kapacitivni''' izmenični krog sta prikazana na sliki 3.1.18 b) in c).

<pomembno>
*V izmeničnem krogu s čisto kapacitivnostjo '''napetost zaostaja''' za '''tokom''' za ¼ periode.
*Fazni kot med tokom in napetostjo v '''kapacitivnem''' krogu je '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, =\, -\, 90^{\,\circ}</latex>

V primerjavi z induktivnim izmeničnim krogom ugotavljamo pomembno dejstvo:

<pomembno>
*Kondenzator povzroči v sinusnem izmeničnem krogu '''nasprotni fazni premik''' kot tuljava.</pomembno>

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroči kapacitivnost v sinusnem izmeničnem krogu, lahko pojasnimo s podobnim razmišljanjem kot pri tuljavi.

Na osnovi enačbe enosmernega toka ''I = Q ⁄ t'' <ref>OE1, str. 35</ref> lahko zapišemo enačbo za trenutno vrednost izmeničnega toka:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutna vrednost izmeničnega toka je podana s '''trenutnim''' pretokom '''elektrine'''.
</pomembno>

Z upoštevanjem enačbe ''C = Q ⁄ U'' <ref>OE1, str. 187</ref> oziroma ''Q = C ∙ U'' dobimo:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}\, =\, \frac{\Delta \left( C \,\cdot\, u \right)}{\Delta t}</latex>

ali

<latex>i\, = \,C \,\cdot\, \frac{\Delta u}{\Delta t}</latex>

[[Image:eele_slika_3_1_19.svg|thumb|right|Slika 3.1.19: Hitrost spreminjanja sinusne izmenične napetosti]]
<pomembno>
*Trenutni tok v izmeničnem krogu s kondenzatorjem je premo sorazmeren s '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja in '''hitrostjo spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

Sinusni izmenični tok v električnem krogu s kondenzatorjem ima torej '''največjo vrednost''' v trenutku '''najhitrejšega spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju in obratno (sl. 3.1.19).

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v izmeničnem krogu s kapacitivno upornostjo je v '''odvisnosti''' trenutne vrednosti sinusnega toka od '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

== Odvisnost kapacitivne prevodnosti ==
[[Image:eele_slika_3_1_20.svg|thumb|right|Slika 3.1.20: Odvisnost toka od frekvence v kapacitivnem izmeničnem krogu]]

Odvisnost kapacitivne prevodnosti lahko ugotovimo na podoben način kot pri induktivni upornosti.

<poskus>
'''Poskus 3.1.8:'''

Na sinusno izmenično napetost, npr. 6 V/200 Hz, priključimo prek A-metra kondenzator s kapacitivnostjo 1 μF.

a) Spreminjajmo frekvenco od 200 Hz do 1000 Hz in opazujmo jakost toka na A-metru (slika 3.1.20 a).

b) Pri frekvenci 200 Hz zamenjajmo kondenzator s kondenzatorjem 10 μF.

*Tok pri konstantni kapacitivnosti in napetosti z naraščajočo frekvenco '''linearno narašča'''.
*Tok pri konstantni frekvenci in napetosti z naraščajočo kapacitivnostjo '''linearno narašča'''.

</poskus>

Na osnovi dobljene odvisnosti toka lahko sklepamo o frekvenčni odvisnosti kapacitivne prevodnosti:

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''frekvenco''' in obratno.
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''kapacitivnostjo''' in obratno.
</pomembno>

Razlaga ugotovljene odvisnost temelji na '''premo sorazmerni''' odvisnosti '''toka''' polnjenja kondenzatorja od '''kapacivnosti''' in '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju. Ugotovitev

<latex>B_C \propto f,C</latex>

in matematična izpeljava, podobna kot pri tuljavi (<informacije>), vodita v zapis:

<informacije>
Enačbo odvisnosti kapacitivne upornosti praviloma izpeljemo z višjo matematiko, informativno pa jo lahko izpeljemo tudi '''poenostavljeno''' na podoben način kot pri induktivni upornosti. Namesto z induktivnostjo in hitrostjo spreminjanja toka bomo operirali s kapacitivnostjo in hitrostjo spreminjanja napetosti.
</informacije>

<latex>B_C \, = \, \omega C|||(S) ''ω = 2πf'' (s-1); ''C'' (F)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna '''prevodnost''' je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Podobno odvisnost kot smo jo pri '''tuljavi''' ugotovili za induktivno '''upornost''', ugotavljamo pri '''kondenzatorju''' za kapacitivno '''prevodnost'''. Kapacitivno '''upornost''' '''''XC''''' pa lahko izračunamo z obratno vrednostjo kapacitivne prevodnosti:

<latex>X_C \, = \, \frac{1}{\omega C}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna upornost kondenzatorja je '''obratno sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega izmeničnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti kondenzatorja v grafični obliki prikazuje slika 3.1.21:
[[Image:eele_slika_3_1_21.svg|thumb|right|Slika 3.1.21: Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti]]

Induktivna in kapacitivna upornost sta si torej v določenih lastnostih '''podobni''' (navidezni, linearni), razlikujeta pa se v povzročanju '''nasprotnih''' faznih kotov in '''obratni frekvenčni odvisnosti'''.

Frekvenčna odvisnost kapacitivne prevodnosti oziroma upornosti je, podobno kot pri tuljavi, osnova za delovanje '''tonskih kretnic''', '''frekvenčnih filtrov''' in podobno.

'''Primeri:'''

<primer>
1. Izračunaj kapacitivne upornosti kondenzatorja s kapacitivnostjo 10 nF pri frekvencah 50 Hz in 10 MHz.|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}}|||(Ω)</latex>
50 Hz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,318\,{\rm{k\Omega}}</latex>
100 kHz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 100 \, \cdot \, 10^3 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,159\,\Omega</latex>
</primer>
<primer>
2. Kondenzator s kapacitivnostjo 5 μF je priključen na izmenično napetost 110 V/50 Hz. Kolikšen je tok v električnem krogu?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} \,= \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 10^{-6}}} \,=\,636\,\Omega</latex>
<latex>I_C \,= \, \frac{U}{X_C} \,=\, \frac{110}{636}\, = \, {\rm{0,173\,A}}</latex>
</primer>
<primer>
3. Kolikšno kapacitivnost mora imeti kondenzator, ki ima pri frekvenci 50 Hz kapacitivno upornost 398 Ω?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} </latex>
<latex>C \, = \, \frac{1}{2 \pi f X_C}\, = \, \frac{1}{2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 398} \,=\, 8 \, \cdot \, 10^{-6} \,=\,8\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

== Energija in moč v kapacitivnem izmeničnem krogu ('''''W'''''el, '''''QC)''''' ==

V kapacitivnem izmeničnem krogu označujemo trenutno moč s '''''qC''''', določena pa je s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

<latex>q_C \, = \, u_C \, \cdot \, i_C</latex>

Iz časovnih potekov napetosti in toka v kapacitivnem izmeničnem krogu (sl. 3.1.18) dobimo na že znani način časovni potek moči (sl. 3.1.22):
[[Image:eele_slika_3_1_22.svg|thumb|right|Slika 3.1.22: Časovni potek moči v kapacitivnem izmeničnem krogu]]

<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima v '''kapacitivnem''' izmeničnem krogu '''sinusno''' obliko z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>q_C \, = \,u_C \,\cdot\, i_C \,=\, U_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, I_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t \,-\, \frac{\pi }{2}} \right) \,=\, {Q_{C{\rm{m}}}}\, \cdot \,{\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, \left( { - {\rm{cos}}\left( {\omega t} \right)} \right)\, = \, - \frac{{{Q_{C{\rm{m}}}}}}{2}\, \cdot \,\sin \left( {2\omega t} \right)</latex></ref> toka. </pomembno>

Pozitivna površina, ki jo v tem primeru oklene krivulja moči s časovno osjo v ¼ periode, predstavlja električno energijo, ki je v omenjeni četrtinki periode '''pritekla iz generatorja''' in se '''nakopičila v električnem polju'''<ref><latex>W_e \, = \, \frac{CU^2}{2},||| OE1, str.</latex></ref> '''kondenzatorja'''.

Zaradi enakosti pozitivne in negativne površine se, podobno kot pri tuljavi, v naslednji četrtinki periode z usihanjem električnega polja v kondenzatorju (slika 3.1.29) nakopičena energija v celoti '''vrne''' v generator.

<pomembno>
*Na kondenzatorju se, podobno kot na tuljavi, električna energija '''ne''' pretvarja v energijo drugih oblik in se '''ne sprošča''' iz električnega kroga.
*Energija se v kapacitivnem izmeničnem krogu '''brez učinka''' (jalovo), z '''dvojno frekvenco''' toka, le '''preliva''' iz '''generatorja''' v '''kondenzator''' in obratno. Imenujemo jo '''jalova energija'''.
</pomembno>

Iz ugotovljenih razlogov imenujemo kapacitivno upornost '''jalova upornost''', tok v kapacitivnem izmeničnem krogu jalovi tok in moč toka v kapacitivnem izmeničnem krogu jalova moč ('''''QC''''').

<pomembno>
*V primeru faznega kota '''''φ'' = - 90 °''' je v izmeničnem krogu prisotna le '''jalova''' moč.</pomembno>

<latex>Q_C \, = \, U_C \, \cdot \, I_C|||(VAr) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

ali tudi

<latex>Q_C \, = \, U^2_C \, \cdot \, X_C \, = \, \frac{U^2_C}{X_C}|||(var)</latex>

Moč izmeničnega toka v kapacitivnem krogu merimo enako kot v induktivnem krogu v '''varih'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealiziranim kondenzatorjem

2010-05-11T09:44:08Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_1_20.svg|thumb|right|Slika 3.1.20: Odvisnost toka od frekvence v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_21.svg|thumb|right|Slika 3.1.21: Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti]]
[[Image:eele_slika_3_1_22.svg|thumb|right|Slika 3.1.22: Časovni potek moči v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_29.svg|thumb|right|Slika 3.1.13]]

Kondenzator kot element v '''elektroenergetiki''' ni tako pogost kot tuljava (navitje), saj je sestavni del le nekaterih elektroenergetskih naprav in električnih omrežij (enofazni elektromotorji, kompenzacija jalove energije …). V '''elektroniki''' pa je kondenzator nepogrešljiv element večine naprav (frekvenčne kretnice in filtri, usmerniki, ojačevalniki …), zato je vreden enake pozornosti kot tuljava. Nekaj najpogostejših izvedb kondenzatorjev je na sliki 2.1.15.

== Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_16.svg|thumb|right|Slika 3.1.16: Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu]]
'''Poskus 3.1.6:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo 10 μF priključimo zaporedno z mA-metrom najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.16 a) in potem na izmenično sinusno napetost 12 V/50 Hz. Izmerimo toka obeh priključitev in ju primerjajmo med seboj.

*V primeru enosmerne napetosti je v krogu le kratkotrajni tok polnjenja kondenzatorja<ref>OE1, str. 188</ref>.
*V primeru izmenične napetosti je v krogu stalni električni tok.
</poskus>

<pomembno>
*Kondenzator enosmernega toka '''ne prevaja''', izmeničnega pa '''navidezno prevaja'''.
*Za enosmerni tok predstavlja kondenzator '''neskončno''', za izmenični tok '''končno''' upornost.
</pomembno>

V poskusu 3.1.6 a) smo zaznali le kratkotrajni tok ob sklenitvi električnega kroga. To je bil tok '''polnjenja''' kondenzatorja, dielektrik pa je '''onemogočal''' tok '''skozi''' kondenzator. V poskusu 3.1.6 b) pa izmenična napetost povzroča v električnem krogu tok izmeničnega '''polnjenja''' in '''praznjenja''' kondenzatorja, čeprav tudi v tem primeru skozi dielektrik kondenzatorja '''ni''' toka.

<pomembno>
*Vzrok '''prevodnosti''' izmeničnega kroga s kondenzatorjem je '''izmenično polnjenje''' in '''praznjenje''' kondenzatorja.
*Prevodnost kondenzatorja v izmeničnem krogu imenujemo '''kapacitivna prevodnost'''<ref>Pravimo ji tudi '''susceptanca'''.</ref> ('''''BC''''').
</pomembno>

S ponovitvijo poskusa 3.1.6 b) pri stalni kapacitivnosti in frekvenci in različnih napetostih bi ugotovili, da tudi v izmeničnem krogu s kondenzatorjem velja med napetostjo in tokom premo sorazmerje.

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost je pri '''konstantni''' kapacitivnosti '''linearna''' prevodnost.</pomembno>

Pri zanemarljivi neidealnosti dielektrika kondenzatorja (idealiziranenem kondenzatorju), znani sinusni napetosti na kondenzatorju in znanem toku v električnem krogu s kondenzatorjem lahko '''kapacitivno prevodnost''' izračunamo na osnovi razmerja '''maksimalnih''' ali '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex> B_C \,=\, \frac{I_{{\rm{m}}C}}{U_{{\rm{m}}C}}\, =\, \frac{I_C}{U_C} |||(S) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

Z obratnim sorazmerjem dobimo '''kapacitivno upornost'''<ref>Kondenzator se v izmeničnem krogu, podobno kot tuljava, vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek''', zato pravimo upornosti kondenzatorja v izmeničnem krogu tudi '''reaktanca'''.</ref> kondenzatorja v izmeničnem krogu ('''''XC''''').

<latex>X_C \, =\, \frac{1}{B_C} \,=\, \frac{U_{{\rm{m}}C}}{I_{{\rm{m}}C}}\, = \,\frac{U_C}{I_C}|||(Ω)</latex>

<primer>
'''Primer:'''

V izmeničnem krogu s kondenzatorjem je tok 12 mA. Kolikšna sta kapacitivna prevodnost in upornost kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju 6 V?|||
<latex>{B_C}\, =\, \frac{I_C}{U_C}\, =\, \frac{{\rm{0,012}}}{6}\, =\, {\rm{0,002}} = 2\,{\rm{mS}}</latex>
<latex>{X_C}\, =\, \frac{U_C}{I_C}\, = \,\frac{6}{\rm{0,012}}\, = \,500\,\Omega</latex>
</primer>

== Časovni potek napetosti in toka ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_17.svg|thumb|right|Slika 3.1.17: Opazovanje časovnih potekov napetosti in toka v izmeničnem krogu s kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_18.svg|thumb|right|Slika 3.1.18: Izmenični krog s čisto kapacitivno upornostjo (idealiziranim kondenzatorjem]]
'''Poskus 3.1.7:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo ''C'' = 1 μF priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 1 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/200 Hz (slika 3.1.17). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na kondenzatorju in toka (padca napetosti na uporu) v krogu s kondenzatorjem.

*Napetost in tok imata enako, sinusno obliko časovnih potekov.
*Tok prehiteva napetost za ¼ periode (90 °).
</poskus>

<pomembno>
*Kapacitivnost povzroča v izmeničnem krogu zaostajanje napetosti za tokom.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližji idealnosti kot tuljava. Kljub temu ga bomo iz enakih razlogov kot pri tuljavi pri nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov, če to ne bo potrebno drugače, obravnavali kot idealizirani kondenzator. V takem primeru imamo v izmeničnem krogu '''samo kapacitivnost''' (slika 3.1.18 a). Kazalčni in časovni diagram napetosti in toka za '''kapacitivni''' izmenični krog sta prikazana na sliki 3.1.18 b) in c).

<pomembno>
*V izmeničnem krogu s čisto kapacitivnostjo '''napetost zaostaja''' za '''tokom''' za ¼ periode.
*Fazni kot med tokom in napetostjo v '''kapacitivnem''' krogu je '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, =\, -\, 90^{\,\circ}</latex>

V primerjavi z induktivnim izmeničnim krogom ugotavljamo pomembno dejstvo:

<pomembno>
*Kondenzator povzroči v sinusnem izmeničnem krogu '''nasprotni fazni premik''' kot tuljava.</pomembno>

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroči kapacitivnost v sinusnem izmeničnem krogu, lahko pojasnimo s podobnim razmišljanjem kot pri tuljavi.

Na osnovi enačbe enosmernega toka ''I = Q ⁄ t'' <ref>OE1, str. 35</ref> lahko zapišemo enačbo za trenutno vrednost izmeničnega toka:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutna vrednost izmeničnega toka je podana s '''trenutnim''' pretokom '''elektrine'''.
</pomembno>

Z upoštevanjem enačbe ''C = Q ⁄ U'' <ref>OE1, str. 187</ref> oziroma ''Q = C ∙ U'' dobimo:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}\, =\, \frac{\Delta \left( C \,\cdot\, u \right)}{\Delta t}</latex>

ali

<latex>i\, = \,C \,\cdot\, \frac{\Delta u}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
[[Image:eele_slika_3_1_19.svg|thumb|right|Slika 3.1.19: Hitrost spreminjanja sinusne izmenične napetosti]]
*Trenutni tok v izmeničnem krogu s kondenzatorjem je premo sorazmeren s '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja in '''hitrostjo spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

Sinusni izmenični tok v električnem krogu s kondenzatorjem ima torej '''največjo vrednost''' v trenutku '''najhitrejšega spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju in obratno (sl. 3.1.19).

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v izmeničnem krogu s kapacitivno upornostjo je v '''odvisnosti''' trenutne vrednosti sinusnega toka od '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

== Odvisnost kapacitivne prevodnosti ==

Odvisnost kapacitivne prevodnosti lahko ugotovimo na podoben način kot pri induktivni upornosti.

<poskus>
'''Poskus 3.1.8:'''

Na sinusno izmenično napetost, npr. 6 V/200 Hz, priključimo prek A-metra kondenzator s kapacitivnostjo 1 μF.

a) Spreminjajmo frekvenco od 200 Hz do 1000 Hz in opazujmo jakost toka na A-metru (slika 3.1.20 a).

b) Pri frekvenci 200 Hz zamenjajmo kondenzator s kondenzatorjem 10 μF.

*Tok pri konstantni kapacitivnosti in napetosti z naraščajočo frekvenco '''linearno narašča'''.
*Tok pri konstantni frekvenci in napetosti z naraščajočo kapacitivnostjo '''linearno narašča'''.

</poskus>

Na osnovi dobljene odvisnosti toka lahko sklepamo o frekvenčni odvisnosti kapacitivne prevodnosti:

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''frekvenco''' in obratno.
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''kapacitivnostjo''' in obratno.
</pomembno>

Razlaga ugotovljene odvisnost temelji na '''premo sorazmerni''' odvisnosti '''toka''' polnjenja kondenzatorja od '''kapacivnosti''' in '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju. Ugotovitev

<latex>B_C \propto f,C</latex>

in matematična izpeljava, podobna kot pri tuljavi (<informacije>), vodita v zapis:

<informacije>
Enačbo odvisnosti kapacitivne upornosti praviloma izpeljemo z višjo matematiko, informativno pa jo lahko izpeljemo tudi '''poenostavljeno''' na podoben način kot pri induktivni upornosti. Namesto z induktivnostjo in hitrostjo spreminjanja toka bomo operirali s kapacitivnostjo in hitrostjo spreminjanja napetosti.
</informacije>

<latex>B_C \, = \, \omega C|||(S) ''ω = 2πf'' (s-1); ''C'' (F)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna '''prevodnost''' je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Podobno odvisnost kot smo jo pri '''tuljavi''' ugotovili za induktivno '''upornost''', ugotavljamo pri '''kondenzatorju''' za kapacitivno '''prevodnost'''. Kapacitivno '''upornost''' '''''XC''''' pa lahko izračunamo z obratno vrednostjo kapacitivne prevodnosti:

<latex>X_C \, = \, \frac{1}{\omega C}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna upornost kondenzatorja je '''obratno sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega izmeničnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti kondenzatorja v grafični obliki prikazuje slika 3.1.21:

Induktivna in kapacitivna upornost sta si torej v določenih lastnostih '''podobni''' (navidezni, linearni), razlikujeta pa se v povzročanju '''nasprotnih''' faznih kotov in '''obratni frekvenčni odvisnosti'''.

Frekvenčna odvisnost kapacitivne prevodnosti oziroma upornosti je, podobno kot pri tuljavi, osnova za delovanje '''tonskih kretnic''', '''frekvenčnih filtrov''' in podobno.

'''Primeri:'''

<primer>
1. Izračunaj kapacitivne upornosti kondenzatorja s kapacitivnostjo 10 nF pri frekvencah 50 Hz in 10 MHz.|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}}|||(Ω)</latex>
50 Hz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,318\,{\rm{k\Omega}}</latex>
100 kHz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 100 \, \cdot \, 10^3 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,159\,\Omega</latex>
</primer>
<primer>
2. Kondenzator s kapacitivnostjo 5 μF je priključen na izmenično napetost 110 V/50 Hz. Kolikšen je tok v električnem krogu?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} \,= \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 10^{-6}}} \,=\,636\,\Omega</latex>
<latex>I_C \,= \, \frac{U}{X_C} \,=\, \frac{110}{636}\, = \, {\rm{0,173\,A}}</latex>
</primer>
<primer>
3. Kolikšno kapacitivnost mora imeti kondenzator, ki ima pri frekvenci 50 Hz kapacitivno upornost 398 Ω?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} </latex>
<latex>C \, = \, \frac{1}{2 \pi f X_C}\, = \, \frac{1}{2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 398} \,=\, 8 \, \cdot \, 10^{-6} \,=\,8\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

== Energija in moč v kapacitivnem izmeničnem krogu ('''''W'''''el, '''''QC)''''' ==

V kapacitivnem izmeničnem krogu označujemo trenutno moč s '''''qC''''', določena pa je s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

<latex>q_C \, = \, u_C \, \cdot \, i_C</latex>

Iz časovnih potekov napetosti in toka v kapacitivnem izmeničnem krogu (sl. 3.1.18) dobimo na že znani način časovni potek moči (sl. 3.1.22):

<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima v '''kapacitivnem''' izmeničnem krogu '''sinusno''' obliko z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>q_C \, = \,u_C \,\cdot\, i_C \,=\, U_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, I_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t \,-\, \frac{\pi }{2}} \right) \,=\, {Q_{C{\rm{m}}}}\, \cdot \,{\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, \left( { - {\rm{cos}}\left( {\omega t} \right)} \right)\, = \, - \frac{{{Q_{C{\rm{m}}}}}}{2}\, \cdot \,\sin \left( {2\omega t} \right)</latex></ref> toka. </pomembno>

Pozitivna površina, ki jo v tem primeru oklene krivulja moči s časovno osjo v ¼ periode, predstavlja električno energijo, ki je v omenjeni četrtinki periode '''pritekla iz generatorja''' in se '''nakopičila v električnem polju'''<ref><latex>W_e \, = \, \frac{CU^2}{2},||| OE1, str.</latex></ref> '''kondenzatorja'''.

Zaradi enakosti pozitivne in negativne površine se, podobno kot pri tuljavi, v naslednji četrtinki periode z usihanjem električnega polja v kondenzatorju (slika 3.1.29) nakopičena energija v celoti '''vrne''' v generator.

<pomembno>
*Na kondenzatorju se, podobno kot na tuljavi, električna energija '''ne''' pretvarja v energijo drugih oblik in se '''ne sprošča''' iz električnega kroga.
*Energija se v kapacitivnem izmeničnem krogu '''brez učinka''' (jalovo), z '''dvojno frekvenco''' toka, le '''preliva''' iz '''generatorja''' v '''kondenzator''' in obratno. Imenujemo jo '''jalova energija'''.
</pomembno>

Iz ugotovljenih razlogov imenujemo kapacitivno upornost '''jalova upornost''', tok v kapacitivnem izmeničnem krogu jalovi tok in moč toka v kapacitivnem izmeničnem krogu jalova moč ('''''QC''''').

<pomembno>
*V primeru faznega kota '''''φ'' = - 90 °''' je v izmeničnem krogu prisotna le '''jalova''' moč.</pomembno>

<latex>Q_C \, = \, U_C \, \cdot \, I_C|||(VAr) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

ali tudi

<latex>Q_C \, = \, U^2_C \, \cdot \, X_C \, = \, \frac{U^2_C}{X_C}|||(var)</latex>

Moč izmeničnega toka v kapacitivnem krogu merimo enako kot v induktivnem krogu v '''varih'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealiziranim kondenzatorjem

2010-05-11T09:42:31Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_1_17.svg|thumb|right|Slika 3.1.17: Opazovanje časovnih potekov napetosti in toka v izmeničnem krogu s kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_18.svg|thumb|right|Slika 3.1.18: Izmenični krog s čisto kapacitivno upornostjo (idealiziranim kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_19.svg|thumb|right|Slika 3.1.19: Hitrost spreminjanja sinusne izmenične napetosti]]
[[Image:eele_slika_3_1_20.svg|thumb|right|Slika 3.1.20: Odvisnost toka od frekvence v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_21.svg|thumb|right|Slika 3.1.21: Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti]]
[[Image:eele_slika_3_1_22.svg|thumb|right|Slika 3.1.22: Časovni potek moči v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_29.svg|thumb|right|Slika 3.1.13]]

Kondenzator kot element v '''elektroenergetiki''' ni tako pogost kot tuljava (navitje), saj je sestavni del le nekaterih elektroenergetskih naprav in električnih omrežij (enofazni elektromotorji, kompenzacija jalove energije …). V '''elektroniki''' pa je kondenzator nepogrešljiv element večine naprav (frekvenčne kretnice in filtri, usmerniki, ojačevalniki …), zato je vreden enake pozornosti kot tuljava. Nekaj najpogostejših izvedb kondenzatorjev je na sliki 2.1.15.

== Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu ==

<poskus>
[[Image:eele_slika_3_1_16.svg|thumb|right|Slika 3.1.16: Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu]]
'''Poskus 3.1.6:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo 10 μF priključimo zaporedno z mA-metrom najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.16 a) in potem na izmenično sinusno napetost 12 V/50 Hz. Izmerimo toka obeh priključitev in ju primerjajmo med seboj.

*V primeru enosmerne napetosti je v krogu le kratkotrajni tok polnjenja kondenzatorja<ref>OE1, str. 188</ref>.
*V primeru izmenične napetosti je v krogu stalni električni tok.
</poskus>

<pomembno>
*Kondenzator enosmernega toka '''ne prevaja''', izmeničnega pa '''navidezno prevaja'''.
*Za enosmerni tok predstavlja kondenzator '''neskončno''', za izmenični tok '''končno''' upornost.
</pomembno>

V poskusu 3.1.6 a) smo zaznali le kratkotrajni tok ob sklenitvi električnega kroga. To je bil tok '''polnjenja''' kondenzatorja, dielektrik pa je '''onemogočal''' tok '''skozi''' kondenzator. V poskusu 3.1.6 b) pa izmenična napetost povzroča v električnem krogu tok izmeničnega '''polnjenja''' in '''praznjenja''' kondenzatorja, čeprav tudi v tem primeru skozi dielektrik kondenzatorja '''ni''' toka.

<pomembno>
*Vzrok '''prevodnosti''' izmeničnega kroga s kondenzatorjem je '''izmenično polnjenje''' in '''praznjenje''' kondenzatorja.
*Prevodnost kondenzatorja v izmeničnem krogu imenujemo '''kapacitivna prevodnost'''<ref>Pravimo ji tudi '''susceptanca'''.</ref> ('''''BC''''').
</pomembno>

S ponovitvijo poskusa 3.1.6 b) pri stalni kapacitivnosti in frekvenci in različnih napetostih bi ugotovili, da tudi v izmeničnem krogu s kondenzatorjem velja med napetostjo in tokom premo sorazmerje.

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost je pri '''konstantni''' kapacitivnosti '''linearna''' prevodnost.</pomembno>

Pri zanemarljivi neidealnosti dielektrika kondenzatorja (idealiziranenem kondenzatorju), znani sinusni napetosti na kondenzatorju in znanem toku v električnem krogu s kondenzatorjem lahko '''kapacitivno prevodnost''' izračunamo na osnovi razmerja '''maksimalnih''' ali '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex> B_C \,=\, \frac{I_{{\rm{m}}C}}{U_{{\rm{m}}C}}\, =\, \frac{I_C}{U_C} |||(S) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

Z obratnim sorazmerjem dobimo '''kapacitivno upornost'''<ref>Kondenzator se v izmeničnem krogu, podobno kot tuljava, vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek''', zato pravimo upornosti kondenzatorja v izmeničnem krogu tudi '''reaktanca'''.</ref> kondenzatorja v izmeničnem krogu ('''''XC''''').

<latex>X_C \, =\, \frac{1}{B_C} \,=\, \frac{U_{{\rm{m}}C}}{I_{{\rm{m}}C}}\, = \,\frac{U_C}{I_C}|||(Ω)</latex>

<primer>
'''Primer:'''

V izmeničnem krogu s kondenzatorjem je tok 12 mA. Kolikšna sta kapacitivna prevodnost in upornost kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju 6 V?|||
<latex>{B_C}\, =\, \frac{I_C}{U_C}\, =\, \frac{{\rm{0,012}}}{6}\, =\, {\rm{0,002}} = 2\,{\rm{mS}}</latex>
<latex>{X_C}\, =\, \frac{U_C}{I_C}\, = \,\frac{6}{\rm{0,012}}\, = \,500\,\Omega</latex>
</primer>

== Časovni potek napetosti in toka ==

<poskus>
'''Poskus 3.1.7:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo ''C'' = 1 μF priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 1 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/200 Hz (slika 3.1.17). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na kondenzatorju in toka (padca napetosti na uporu) v krogu s kondenzatorjem.

*Napetost in tok imata enako, sinusno obliko časovnih potekov.
*Tok prehiteva napetost za ¼ periode (90 °).
</poskus>

<pomembno>
*Kapacitivnost povzroča v izmeničnem krogu zaostajanje napetosti za tokom.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližji idealnosti kot tuljava. Kljub temu ga bomo iz enakih razlogov kot pri tuljavi pri nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov, če to ne bo potrebno drugače, obravnavali kot idealizirani kondenzator. V takem primeru imamo v izmeničnem krogu '''samo kapacitivnost''' (slika 3.1.18 a). Kazalčni in časovni diagram napetosti in toka za '''kapacitivni''' izmenični krog sta prikazana na sliki 3.1.18 b) in c).

<pomembno>
*V izmeničnem krogu s čisto kapacitivnostjo '''napetost zaostaja''' za '''tokom''' za ¼ periode.
*Fazni kot med tokom in napetostjo v '''kapacitivnem''' krogu je '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, =\, -\, 90^{\,\circ}</latex>

V primerjavi z induktivnim izmeničnim krogom ugotavljamo pomembno dejstvo:

<pomembno>
*Kondenzator povzroči v sinusnem izmeničnem krogu '''nasprotni fazni premik''' kot tuljava.</pomembno>

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroči kapacitivnost v sinusnem izmeničnem krogu, lahko pojasnimo s podobnim razmišljanjem kot pri tuljavi.

Na osnovi enačbe enosmernega toka ''I = Q ⁄ t'' <ref>OE1, str. 35</ref> lahko zapišemo enačbo za trenutno vrednost izmeničnega toka:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutna vrednost izmeničnega toka je podana s '''trenutnim''' pretokom '''elektrine'''.
</pomembno>

Z upoštevanjem enačbe ''C = Q ⁄ U'' <ref>OE1, str. 187</ref> oziroma ''Q = C ∙ U'' dobimo:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}\, =\, \frac{\Delta \left( C \,\cdot\, u \right)}{\Delta t}</latex>

ali

<latex>i\, = \,C \,\cdot\, \frac{\Delta u}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutni tok v izmeničnem krogu s kondenzatorjem je premo sorazmeren s '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja in '''hitrostjo spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

Sinusni izmenični tok v električnem krogu s kondenzatorjem ima torej '''največjo vrednost''' v trenutku '''najhitrejšega spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju in obratno (sl. 3.1.19).

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v izmeničnem krogu s kapacitivno upornostjo je v '''odvisnosti''' trenutne vrednosti sinusnega toka od '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

== Odvisnost kapacitivne prevodnosti ==

Odvisnost kapacitivne prevodnosti lahko ugotovimo na podoben način kot pri induktivni upornosti.

<poskus>
'''Poskus 3.1.8:'''

Na sinusno izmenično napetost, npr. 6 V/200 Hz, priključimo prek A-metra kondenzator s kapacitivnostjo 1 μF.

a) Spreminjajmo frekvenco od 200 Hz do 1000 Hz in opazujmo jakost toka na A-metru (slika 3.1.20 a).

b) Pri frekvenci 200 Hz zamenjajmo kondenzator s kondenzatorjem 10 μF.

*Tok pri konstantni kapacitivnosti in napetosti z naraščajočo frekvenco '''linearno narašča'''.
*Tok pri konstantni frekvenci in napetosti z naraščajočo kapacitivnostjo '''linearno narašča'''.

</poskus>

Na osnovi dobljene odvisnosti toka lahko sklepamo o frekvenčni odvisnosti kapacitivne prevodnosti:

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''frekvenco''' in obratno.
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''kapacitivnostjo''' in obratno.
</pomembno>

Razlaga ugotovljene odvisnost temelji na '''premo sorazmerni''' odvisnosti '''toka''' polnjenja kondenzatorja od '''kapacivnosti''' in '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju. Ugotovitev

<latex>B_C \propto f,C</latex>

in matematična izpeljava, podobna kot pri tuljavi (<informacije>), vodita v zapis:

<informacije>
Enačbo odvisnosti kapacitivne upornosti praviloma izpeljemo z višjo matematiko, informativno pa jo lahko izpeljemo tudi '''poenostavljeno''' na podoben način kot pri induktivni upornosti. Namesto z induktivnostjo in hitrostjo spreminjanja toka bomo operirali s kapacitivnostjo in hitrostjo spreminjanja napetosti.
</informacije>

<latex>B_C \, = \, \omega C|||(S) ''ω = 2πf'' (s-1); ''C'' (F)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna '''prevodnost''' je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Podobno odvisnost kot smo jo pri '''tuljavi''' ugotovili za induktivno '''upornost''', ugotavljamo pri '''kondenzatorju''' za kapacitivno '''prevodnost'''. Kapacitivno '''upornost''' '''''XC''''' pa lahko izračunamo z obratno vrednostjo kapacitivne prevodnosti:

<latex>X_C \, = \, \frac{1}{\omega C}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna upornost kondenzatorja je '''obratno sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega izmeničnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti kondenzatorja v grafični obliki prikazuje slika 3.1.21:

Induktivna in kapacitivna upornost sta si torej v določenih lastnostih '''podobni''' (navidezni, linearni), razlikujeta pa se v povzročanju '''nasprotnih''' faznih kotov in '''obratni frekvenčni odvisnosti'''.

Frekvenčna odvisnost kapacitivne prevodnosti oziroma upornosti je, podobno kot pri tuljavi, osnova za delovanje '''tonskih kretnic''', '''frekvenčnih filtrov''' in podobno.

'''Primeri:'''

<primer>
1. Izračunaj kapacitivne upornosti kondenzatorja s kapacitivnostjo 10 nF pri frekvencah 50 Hz in 10 MHz.|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}}|||(Ω)</latex>
50 Hz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,318\,{\rm{k\Omega}}</latex>
100 kHz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 100 \, \cdot \, 10^3 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,159\,\Omega</latex>
</primer>
<primer>
2. Kondenzator s kapacitivnostjo 5 μF je priključen na izmenično napetost 110 V/50 Hz. Kolikšen je tok v električnem krogu?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} \,= \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 10^{-6}}} \,=\,636\,\Omega</latex>
<latex>I_C \,= \, \frac{U}{X_C} \,=\, \frac{110}{636}\, = \, {\rm{0,173\,A}}</latex>
</primer>
<primer>
3. Kolikšno kapacitivnost mora imeti kondenzator, ki ima pri frekvenci 50 Hz kapacitivno upornost 398 Ω?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} </latex>
<latex>C \, = \, \frac{1}{2 \pi f X_C}\, = \, \frac{1}{2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 398} \,=\, 8 \, \cdot \, 10^{-6} \,=\,8\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

== Energija in moč v kapacitivnem izmeničnem krogu ('''''W'''''el, '''''QC)''''' ==

V kapacitivnem izmeničnem krogu označujemo trenutno moč s '''''qC''''', določena pa je s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

<latex>q_C \, = \, u_C \, \cdot \, i_C</latex>

Iz časovnih potekov napetosti in toka v kapacitivnem izmeničnem krogu (sl. 3.1.18) dobimo na že znani način časovni potek moči (sl. 3.1.22):

<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima v '''kapacitivnem''' izmeničnem krogu '''sinusno''' obliko z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>q_C \, = \,u_C \,\cdot\, i_C \,=\, U_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, I_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t \,-\, \frac{\pi }{2}} \right) \,=\, {Q_{C{\rm{m}}}}\, \cdot \,{\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, \left( { - {\rm{cos}}\left( {\omega t} \right)} \right)\, = \, - \frac{{{Q_{C{\rm{m}}}}}}{2}\, \cdot \,\sin \left( {2\omega t} \right)</latex></ref> toka. </pomembno>

Pozitivna površina, ki jo v tem primeru oklene krivulja moči s časovno osjo v ¼ periode, predstavlja električno energijo, ki je v omenjeni četrtinki periode '''pritekla iz generatorja''' in se '''nakopičila v električnem polju'''<ref><latex>W_e \, = \, \frac{CU^2}{2},||| OE1, str.</latex></ref> '''kondenzatorja'''.

Zaradi enakosti pozitivne in negativne površine se, podobno kot pri tuljavi, v naslednji četrtinki periode z usihanjem električnega polja v kondenzatorju (slika 3.1.29) nakopičena energija v celoti '''vrne''' v generator.

<pomembno>
*Na kondenzatorju se, podobno kot na tuljavi, električna energija '''ne''' pretvarja v energijo drugih oblik in se '''ne sprošča''' iz električnega kroga.
*Energija se v kapacitivnem izmeničnem krogu '''brez učinka''' (jalovo), z '''dvojno frekvenco''' toka, le '''preliva''' iz '''generatorja''' v '''kondenzator''' in obratno. Imenujemo jo '''jalova energija'''.
</pomembno>

Iz ugotovljenih razlogov imenujemo kapacitivno upornost '''jalova upornost''', tok v kapacitivnem izmeničnem krogu jalovi tok in moč toka v kapacitivnem izmeničnem krogu jalova moč ('''''QC''''').

<pomembno>
*V primeru faznega kota '''''φ'' = - 90 °''' je v izmeničnem krogu prisotna le '''jalova''' moč.</pomembno>

<latex>Q_C \, = \, U_C \, \cdot \, I_C|||(VAr) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

ali tudi

<latex>Q_C \, = \, U^2_C \, \cdot \, X_C \, = \, \frac{U^2_C}{X_C}|||(var)</latex>

Moč izmeničnega toka v kapacitivnem krogu merimo enako kot v induktivnem krogu v '''varih'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealiziranim kondenzatorjem

2010-05-11T09:41:19Z

Latac:

[[Image:eele_slika_3_1_16.svg|thumb|right|Slika 3.1.16: Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu]]

[[Image:eele_slika_3_1_17.svg|thumb|right|Slika 3.1.17: Opazovanje časovnih potekov napetosti in toka v izmeničnem krogu s kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_18.svg|thumb|right|Slika 3.1.18: Izmenični krog s čisto kapacitivno upornostjo (idealiziranim kondenzatorjem]]
[[Image:eele_slika_3_1_19.svg|thumb|right|Slika 3.1.19: Hitrost spreminjanja sinusne izmenične napetosti]]
[[Image:eele_slika_3_1_20.svg|thumb|right|Slika 3.1.20: Odvisnost toka od frekvence v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_21.svg|thumb|right|Slika 3.1.21: Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti]]
[[Image:eele_slika_3_1_22.svg|thumb|right|Slika 3.1.22: Časovni potek moči v kapacitivnem izmeničnem krogu]]
[[Image:eele_slika_3_1_29.svg|thumb|right|Slika 3.1.13]]

Kondenzator kot element v '''elektroenergetiki''' ni tako pogost kot tuljava (navitje), saj je sestavni del le nekaterih elektroenergetskih naprav in električnih omrežij (enofazni elektromotorji, kompenzacija jalove energije …). V '''elektroniki''' pa je kondenzator nepogrešljiv element večine naprav (frekvenčne kretnice in filtri, usmerniki, ojačevalniki …), zato je vreden enake pozornosti kot tuljava. Nekaj najpogostejših izvedb kondenzatorjev je na sliki 2.1.15.

== Kondenzator v enosmernem in izmeničnem krogu ==

<poskus>
'''Poskus 3.1.6:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo 10 μF priključimo zaporedno z mA-metrom najprej na enosmerno napetost 12 V (sl. 3.1.16 a) in potem na izmenično sinusno napetost 12 V/50 Hz. Izmerimo toka obeh priključitev in ju primerjajmo med seboj.

*V primeru enosmerne napetosti je v krogu le kratkotrajni tok polnjenja kondenzatorja<ref>OE1, str. 188</ref>.
*V primeru izmenične napetosti je v krogu stalni električni tok.
</poskus>

<pomembno>
*Kondenzator enosmernega toka '''ne prevaja''', izmeničnega pa '''navidezno prevaja'''.
*Za enosmerni tok predstavlja kondenzator '''neskončno''', za izmenični tok '''končno''' upornost.
</pomembno>

V poskusu 3.1.6 a) smo zaznali le kratkotrajni tok ob sklenitvi električnega kroga. To je bil tok '''polnjenja''' kondenzatorja, dielektrik pa je '''onemogočal''' tok '''skozi''' kondenzator. V poskusu 3.1.6 b) pa izmenična napetost povzroča v električnem krogu tok izmeničnega '''polnjenja''' in '''praznjenja''' kondenzatorja, čeprav tudi v tem primeru skozi dielektrik kondenzatorja '''ni''' toka.

<pomembno>
*Vzrok '''prevodnosti''' izmeničnega kroga s kondenzatorjem je '''izmenično polnjenje''' in '''praznjenje''' kondenzatorja.
*Prevodnost kondenzatorja v izmeničnem krogu imenujemo '''kapacitivna prevodnost'''<ref>Pravimo ji tudi '''susceptanca'''.</ref> ('''''BC''''').
</pomembno>

S ponovitvijo poskusa 3.1.6 b) pri stalni kapacitivnosti in frekvenci in različnih napetostih bi ugotovili, da tudi v izmeničnem krogu s kondenzatorjem velja med napetostjo in tokom premo sorazmerje.

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost je pri '''konstantni''' kapacitivnosti '''linearna''' prevodnost.</pomembno>

Pri zanemarljivi neidealnosti dielektrika kondenzatorja (idealiziranenem kondenzatorju), znani sinusni napetosti na kondenzatorju in znanem toku v električnem krogu s kondenzatorjem lahko '''kapacitivno prevodnost''' izračunamo na osnovi razmerja '''maksimalnih''' ali '''efektivnih''' vrednosti napetosti in toka:

<latex> B_C \,=\, \frac{I_{{\rm{m}}C}}{U_{{\rm{m}}C}}\, =\, \frac{I_C}{U_C} |||(S) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

Z obratnim sorazmerjem dobimo '''kapacitivno upornost'''<ref>Kondenzator se v izmeničnem krogu, podobno kot tuljava, vede re-aktivno – deluje kot breme in generator oziroma ima '''povratni učinek''', zato pravimo upornosti kondenzatorja v izmeničnem krogu tudi '''reaktanca'''.</ref> kondenzatorja v izmeničnem krogu ('''''XC''''').

<latex>X_C \, =\, \frac{1}{B_C} \,=\, \frac{U_{{\rm{m}}C}}{I_{{\rm{m}}C}}\, = \,\frac{U_C}{I_C}|||(Ω)</latex>

<primer>
'''Primer:'''

V izmeničnem krogu s kondenzatorjem je tok 12 mA. Kolikšna sta kapacitivna prevodnost in upornost kondenzatorja, če je napetost na kondenzatorju 6 V?|||
<latex>{B_C}\, =\, \frac{I_C}{U_C}\, =\, \frac{{\rm{0,012}}}{6}\, =\, {\rm{0,002}} = 2\,{\rm{mS}}</latex>
<latex>{X_C}\, =\, \frac{U_C}{I_C}\, = \,\frac{6}{\rm{0,012}}\, = \,500\,\Omega</latex>
</primer>

== Časovni potek napetosti in toka ==

<poskus>
'''Poskus 3.1.7:'''

Kondenzator s kapacitivnostjo ''C'' = 1 μF priključimo zaporedno z uporom ''R'' = 1 kΩ na izvor sinusne izmenične napetosti 5 V/200 Hz (slika 3.1.17). Na dvokanalnem osciloskopu opazujmo časovni potek padca napetosti na kondenzatorju in toka (padca napetosti na uporu) v krogu s kondenzatorjem.

*Napetost in tok imata enako, sinusno obliko časovnih potekov.
*Tok prehiteva napetost za ¼ periode (90 °).
</poskus>

<pomembno>
*Kapacitivnost povzroča v izmeničnem krogu zaostajanje napetosti za tokom.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližji idealnosti kot tuljava. Kljub temu ga bomo iz enakih razlogov kot pri tuljavi pri nadaljnji obravnavi izmeničnih krogov, če to ne bo potrebno drugače, obravnavali kot idealizirani kondenzator. V takem primeru imamo v izmeničnem krogu '''samo kapacitivnost''' (slika 3.1.18 a). Kazalčni in časovni diagram napetosti in toka za '''kapacitivni''' izmenični krog sta prikazana na sliki 3.1.18 b) in c).

<pomembno>
*V izmeničnem krogu s čisto kapacitivnostjo '''napetost zaostaja''' za '''tokom''' za ¼ periode.
*Fazni kot med tokom in napetostjo v '''kapacitivnem''' krogu je '''- 90 º'''.
</pomembno>

<latex>\varphi \, =\, -\, 90^{\,\circ}</latex>

V primerjavi z induktivnim izmeničnim krogom ugotavljamo pomembno dejstvo:

<pomembno>
*Kondenzator povzroči v sinusnem izmeničnem krogu '''nasprotni fazni premik''' kot tuljava.</pomembno>

Fazni premik med napetostjo in tokom, ki ga povzroči kapacitivnost v sinusnem izmeničnem krogu, lahko pojasnimo s podobnim razmišljanjem kot pri tuljavi.

Na osnovi enačbe enosmernega toka ''I = Q ⁄ t'' <ref>OE1, str. 35</ref> lahko zapišemo enačbo za trenutno vrednost izmeničnega toka:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutna vrednost izmeničnega toka je podana s '''trenutnim''' pretokom '''elektrine'''.
</pomembno>

Z upoštevanjem enačbe ''C = Q ⁄ U'' <ref>OE1, str. 187</ref> oziroma ''Q = C ∙ U'' dobimo:

<latex>i\, =\, \frac{\Delta q}{\Delta t}\, =\, \frac{\Delta \left( C \,\cdot\, u \right)}{\Delta t}</latex>

ali

<latex>i\, = \,C \,\cdot\, \frac{\Delta u}{\Delta t}</latex>

<pomembno>
*Trenutni tok v izmeničnem krogu s kondenzatorjem je premo sorazmeren s '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja in '''hitrostjo spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

Sinusni izmenični tok v električnem krogu s kondenzatorjem ima torej '''največjo vrednost''' v trenutku '''najhitrejšega spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju in obratno (sl. 3.1.19).

<pomembno>
*Vzrok faznega kota 90 º v izmeničnem krogu s kapacitivno upornostjo je v '''odvisnosti''' trenutne vrednosti sinusnega toka od '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju.</pomembno>

== Odvisnost kapacitivne prevodnosti ==

Odvisnost kapacitivne prevodnosti lahko ugotovimo na podoben način kot pri induktivni upornosti.

<poskus>
'''Poskus 3.1.8:'''

Na sinusno izmenično napetost, npr. 6 V/200 Hz, priključimo prek A-metra kondenzator s kapacitivnostjo 1 μF.

a) Spreminjajmo frekvenco od 200 Hz do 1000 Hz in opazujmo jakost toka na A-metru (slika 3.1.20 a).

b) Pri frekvenci 200 Hz zamenjajmo kondenzator s kondenzatorjem 10 μF.

*Tok pri konstantni kapacitivnosti in napetosti z naraščajočo frekvenco '''linearno narašča'''.
*Tok pri konstantni frekvenci in napetosti z naraščajočo kapacitivnostjo '''linearno narašča'''.

</poskus>

Na osnovi dobljene odvisnosti toka lahko sklepamo o frekvenčni odvisnosti kapacitivne prevodnosti:

<pomembno>
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''frekvenco''' in obratno.
*Kapacitivna prevodnost '''narašča''' premo sorazmerno s '''kapacitivnostjo''' in obratno.
</pomembno>

Razlaga ugotovljene odvisnost temelji na '''premo sorazmerni''' odvisnosti '''toka''' polnjenja kondenzatorja od '''kapacivnosti''' in '''hitrosti spreminjanja napetosti''' na kondenzatorju. Ugotovitev

<latex>B_C \propto f,C</latex>

in matematična izpeljava, podobna kot pri tuljavi (<informacije>), vodita v zapis:

<informacije>
Enačbo odvisnosti kapacitivne upornosti praviloma izpeljemo z višjo matematiko, informativno pa jo lahko izpeljemo tudi '''poenostavljeno''' na podoben način kot pri induktivni upornosti. Namesto z induktivnostjo in hitrostjo spreminjanja toka bomo operirali s kapacitivnostjo in hitrostjo spreminjanja napetosti.
</informacije>

<latex>B_C \, = \, \omega C|||(S) ''ω = 2πf'' (s-1); ''C'' (F)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna '''prevodnost''' je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Podobno odvisnost kot smo jo pri '''tuljavi''' ugotovili za induktivno '''upornost''', ugotavljamo pri '''kondenzatorju''' za kapacitivno '''prevodnost'''. Kapacitivno '''upornost''' '''''XC''''' pa lahko izračunamo z obratno vrednostjo kapacitivne prevodnosti:

<latex>X_C \, = \, \frac{1}{\omega C}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
Kapacitivna upornost kondenzatorja je '''obratno sorazmerna''' s '''frekvenco''' sinusnega izmeničnega toka in '''kapacitivnostjo''' kondenzatorja. </pomembno>

Odvisnost kapacitivne upornosti od frekvence in kapacitivnosti kondenzatorja v grafični obliki prikazuje slika 3.1.21:

Induktivna in kapacitivna upornost sta si torej v določenih lastnostih '''podobni''' (navidezni, linearni), razlikujeta pa se v povzročanju '''nasprotnih''' faznih kotov in '''obratni frekvenčni odvisnosti'''.

Frekvenčna odvisnost kapacitivne prevodnosti oziroma upornosti je, podobno kot pri tuljavi, osnova za delovanje '''tonskih kretnic''', '''frekvenčnih filtrov''' in podobno.

'''Primeri:'''

<primer>
1. Izračunaj kapacitivne upornosti kondenzatorja s kapacitivnostjo 10 nF pri frekvencah 50 Hz in 10 MHz.|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}}|||(Ω)</latex>
50 Hz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,318\,{\rm{k\Omega}}</latex>
100 kHz: <latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 100 \, \cdot \, 10^3 \, \cdot \, 10 \, \cdot \, 10^{-9}}} \,=\,159\,\Omega</latex>
</primer>
<primer>
2. Kondenzator s kapacitivnostjo 5 μF je priključen na izmenično napetost 110 V/50 Hz. Kolikšen je tok v električnem krogu?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} \,= \, \frac{1}{ {2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 10^{-6}}} \,=\,636\,\Omega</latex>
<latex>I_C \,= \, \frac{U}{X_C} \,=\, \frac{110}{636}\, = \, {\rm{0,173\,A}}</latex>
</primer>
<primer>
3. Kolikšno kapacitivnost mora imeti kondenzator, ki ima pri frekvenci 50 Hz kapacitivno upornost 398 Ω?|||
<latex>X_C \, = \, \frac{1}{ {2 \pi fC}} </latex>
<latex>C \, = \, \frac{1}{2 \pi f X_C}\, = \, \frac{1}{2 \pi \, \cdot \, 50 \, \cdot \, 398} \,=\, 8 \, \cdot \, 10^{-6} \,=\,8\,{\rm{\mu F}}</latex>
</primer>

== Energija in moč v kapacitivnem izmeničnem krogu ('''''W'''''el, '''''QC)''''' ==

V kapacitivnem izmeničnem krogu označujemo trenutno moč s '''''qC''''', določena pa je s produktom trenutnih vrednosti napetosti in toka:

<latex>q_C \, = \, u_C \, \cdot \, i_C</latex>

Iz časovnih potekov napetosti in toka v kapacitivnem izmeničnem krogu (sl. 3.1.18) dobimo na že znani način časovni potek moči (sl. 3.1.22):

<pomembno>
*Časovni potek moči sinusnega izmeničnega toka ima v '''kapacitivnem''' izmeničnem krogu '''sinusno''' obliko z '''dvojno frekvenco'''<ref><latex>q_C \, = \,u_C \,\cdot\, i_C \,=\, U_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, I_{C{\rm{m}}} \,\cdot\, {\rm{sin}}\left( {\omega t \,-\, \frac{\pi }{2}} \right) \,=\, {Q_{C{\rm{m}}}}\, \cdot \,{\rm{sin}}\left( {\omega t} \right)\, \cdot\, \left( { - {\rm{cos}}\left( {\omega t} \right)} \right)\, = \, - \frac{{{Q_{C{\rm{m}}}}}}{2}\, \cdot \,\sin \left( {2\omega t} \right)</latex></ref> toka. </pomembno>

Pozitivna površina, ki jo v tem primeru oklene krivulja moči s časovno osjo v ¼ periode, predstavlja električno energijo, ki je v omenjeni četrtinki periode '''pritekla iz generatorja''' in se '''nakopičila v električnem polju'''<ref><latex>W_e \, = \, \frac{CU^2}{2},||| OE1, str.</latex></ref> '''kondenzatorja'''.

Zaradi enakosti pozitivne in negativne površine se, podobno kot pri tuljavi, v naslednji četrtinki periode z usihanjem električnega polja v kondenzatorju (slika 3.1.29) nakopičena energija v celoti '''vrne''' v generator.

<pomembno>
*Na kondenzatorju se, podobno kot na tuljavi, električna energija '''ne''' pretvarja v energijo drugih oblik in se '''ne sprošča''' iz električnega kroga.
*Energija se v kapacitivnem izmeničnem krogu '''brez učinka''' (jalovo), z '''dvojno frekvenco''' toka, le '''preliva''' iz '''generatorja''' v '''kondenzator''' in obratno. Imenujemo jo '''jalova energija'''.
</pomembno>

Iz ugotovljenih razlogov imenujemo kapacitivno upornost '''jalova upornost''', tok v kapacitivnem izmeničnem krogu jalovi tok in moč toka v kapacitivnem izmeničnem krogu jalova moč ('''''QC''''').

<pomembno>
*V primeru faznega kota '''''φ'' = - 90 °''' je v izmeničnem krogu prisotna le '''jalova''' moč.</pomembno>

<latex>Q_C \, = \, U_C \, \cdot \, I_C|||(VAr) ''UC'' (V); ''IC'' (A)</latex>

ali tudi

<latex>Q_C \, = \, U^2_C \, \cdot \, X_C \, = \, \frac{U^2_C}{X_C}|||(var)</latex>

Moč izmeničnega toka v kapacitivnem krogu merimo enako kot v induktivnem krogu v '''varih'''.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Izmenični krog z idealizirano tuljavo

2010-05-11T09:39:56Z

Latac:

Najpogostejši primeri tuljav v izmeničnih krogih so navitja transformatorjev in elektromotorjev, dušilk v energetskih in telekomunikacijskih napravah, frekvenčnih kretnic in filtrov elektroakustičnih in telekomunikacijskih naprav in podobno (slika 3.1.6).

== Energija in moč v induktivnem izmeničnem krogu ('''''QL''''', '''''W''mag''') ==

<references />

{{Hierarchy footer}}

Lastnost in zakonitosti izmeničnih krogov

2010-05-11T09:39:19Z

Latac:

Električne naprave, ki jih priključujemo bodisi na sinusno izmenično napetost bodisi na enosmerno napetost, njihovo delovanje pa temelji na osnovnih zakonitostih izmeničnih električnih pojavov (slika 3.1), združujejo elemente z različnimi električnimi lastnostmi. S fizikalnega stališča so to električna '''prevodnost''' oziroma '''upornost''' ter '''induktivnost''' in '''kapacitivnost''', kot gradniki električnih krogov pa so to predvsem '''vodniki''', '''upori''', '''grelniki''', '''tuljave''' in '''kondenzatorji'''.

Pri osvajanju znanja, potrebnega za razumevanje delovanja omenjenih in podobnih naprav, se bomo najprej seznanili z zakonitostmi, ki v sinusnem izmeničnem krogu veljajo za navedene električne lastnosti.

{{Hierarchy footer}}

Merjenje sinusnih količin z večnamenskim merilnikom

2010-05-11T09:39:10Z

Latac:

Večnamenski merilnik, s katerim smo merili '''enosmerno''' napetost in tok, lahko uporabimo tudi za merjenje '''izmenične''' napetosti in toka. Ker priključitev večnamenskega merilnika kot V-metra ali A-metra in nastavitve merilnika pred priključitvijo že poznamo (OE1, str. 44 do 49), povejmo le še naslednje:

<pomembno>
*Pred priključitvijo V-metra ali A-metra postavimo izbirno stikalo merilnika na oznako za '''izmenično''' količino »'''~'''« (sl. 2.1)<ref>Sodobni inteligentni merilniki prepoznajo izmenično količino in se sami prilagodijo za njeno merjenje.</ref> .
*Na prikazalniku merilnika odčitamo '''efektivno vrednost''' in, praviloma, '''frekvenco''' sinusne količine.
</pomembno>

Na omenjeni način enostavno in '''zadovoljivo točno''' merimo izmenično napetost in tok relativno '''nizkih''' frekvenc. To je npr. na področju elektroenergetike in energetske elektronike, kjer se srečujemo s frekvencami od nekaj '''Hz''' do nekaj sto '''kHz'''.

Merjenje napetosti in toka zelo '''visokih''' frekvenc v elektroniki (področje MHz … GHz) je praviloma zahtevnejše opravilo, ki narekuje zmogljivejše merilnike in dodatno znanje merilca. Nekaj vzrokov za frekvenčno omejitev merilnega območja merilnikov izmeničnih količin bomo spoznali pri obravnavi lastnosti elektronskih elementov v izmeničnih krogih.

<references/>

{{Hierarchy footer}}

Realni upor

2010-05-11T09:37:05Z

Latac:

Lastnosti realnih uporov v izmeničnem krogu so odvisne od tehnološke izvedbe uporov. Med najbolj občutljive na izmenični tok so naviti '''žični''' upori za velike moči in '''spiralizirani'''<ref>Spiralo zarezana uporovno plast na cilindričnem keramičnem telesu upora</ref> plastni upori (slika 5.1.1 a in b). Taki upori imajo poleg ohmske upornosti tudi določeno '''induktivnost''', med ovoji uporovne žice pa tudi določeno '''kapacitivnost'''. Za take upore smemo narisati nadomestno vezavo, ki jo informativno prikazuje slika 5.1.1 c.

Slika 5.1.1: Naviti žični upor a) spiralizirani plastni upor b) in nadomestna vezava realnega upora c)
[[Image:eele_slika_5_1_1.svg|thumb|right|]]

<pomembno>
*Realni upor ima tudi določene lastnosti '''tuljave''' in '''kondenzatorja'''.</pomembno>

Induktivnost in kapacitivnost sta '''neželeni''' lastnosti realnega upora, saj vplivata na '''fazni kot''' in tvorita '''impedanco''' upora, zato ju imenujemo '''parazitni''' lastnosti. Vpliv induktivnosti, predvsem navitega žičnega upora, moramo upoštevati že pri nekoliko višjih frekvencah, zato se žičnim uporom pri teh frekvencah izogibamo. Če pa jih zaradi potrebne nazivne moči moramo uporabiti, jih navijamo '''bifilarno'''<ref>Ovoj ob ovoju v povratni smeri tako, da je v navitju tok nasprotnih smeri – izničene magnetne lastnosti toka</ref>, s čimer kompenziramo '''induktivnost''', ne pa tudi kapacitivnosti med ovoji.

Plastni spiralizirani upori imajo manjšo induktivnost in kapacitivnost in oboje lahko v večini primerov zanemarimo tudi pri nekoliko višjih frekvencah. Induktivnost in kapacitivnost nespiraliziranih plastnih uporov (slika 5.1.2) praviloma lahko zanemarimo tudi pri visokih frekvencah.

Slika 5.1.2: Izvedbe nespiraliziranih plastnih uporov
[[Image:eele_slika_5_1_2.svg|thumb|right|]]

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realna tuljava

2010-05-11T09:36:20Z

Latac:

<poskus>
'''Poskus 5.1.1:'''

Na jedro zvončnega transformatorja (230 V /6 V) pritrdimo sondo termometra (slika 5.1.3). Primarno navitje transformatorja priključimo na omrežno napetost, sekundarno navitje pa prek ustreznega reostata obremenimo s tokom npr. 2 A in spremljamo temperaturo jedra.

Slika 5.1.3
[[Image:eele_slika_5_1_3.svg|thumb|right|Slika 5.1.3]]

*Temperatura jedra relativno hitro naraste za več kot petnajst stopinj C.

</poskus>

<pomembno>
*Delovna energija v izmeničnem krogu z realno tuljavo pomeni '''izgubo''' električne energije (''W'').
*Vzrok za segrevanje tuljav v izmeničnih električnih krogih je vsota delovnih energij zaradi '''ohmske upornosti navitja''', '''vrtinčnih tokov''' in '''histereze''' v feromagnetnem jedru tuljave.
</pomembno>

== Realna tuljava brez feromagnetnega jedra ==

V realni tuljavi brez Fe jedra (npr. zračni tuljavi) imamo izgubo energije oziroma moči predvsem zaradi ohmske upornosti navitja. Te izgube sicer pri zelo visokih frekvencah nekoliko povečuje tudi '''kožni pojav'''<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 241</ref> v ovojih tuljave, manjša '''kapacitivnost''' med ovoji pa izvor napetosti zaposluje še z manjšim deležem '''jalove''' energije. Oba navedena vpliva sta za splošno prakso zanemarljiva, zato lahko za izgubno moč tuljave zapišemo:

<latex>{P_{\rm{Cu}}}\, = \,{I^2}{R_{\rm{Cu}}}|||(W)</latex>

Glede na znano odvisnost ohmske upornosti vodnika navitja velja:

<pomembno>
*Izgubna moč tuljave je premo sorazmerna s specifično upornostjo vodnika navitja '''''ρ''''' in dolžino vodnika '''''l''''' ter obratno sorazmerna s prerezom '''''A''''' vodnika navitja.
</pomembno>

Isti tok realne tuljave premaguje induktivno in ohmsko upornost navitja. Po definiciji načina vezave elementov vemo, da sta v primeru skupnega toka elementa vezana '''zaporedno''':

<pomembno>
*Realna tuljava je v bistvu zaporedna vezava ohmske in induktivne upornosti navitja (sl. 5.1.4 b).
</pomembno>

Slika 5.1.4: Zračna tuljava (a), nadomestna vezava (b), kazalčni diagram (c) in trikotnik upornost zračne tuljave (d)
[[Image:eele_slika_5_1_4.svg|thumb|right|Slika 5.1.4: Zračna tuljava (a),nadomestna vezava (b) kazalčni diagram (c) in trikotnik upornost zračne tuljave (d)]]

Glede na namen tuljave je '''ohmska upornost''' navitja in izguba energije '''neželena lastnost''' tuljave.

<pomembno>
*Fazni kot, ki ga v izmeničnem krogu povzroča '''realna tuljava''', je za kot '''''δ''''' '''manjši''' od '''90 º'''.
*Odstopanje faznega kota realne tuljave od '''90 º''' je posledica izgub energije v tuljavi, zato imenujemo kot '''''δ''''' '''izgubni''' kot.
</pomembno>

<latex>{\delta \, =\, 90^{\,\circ}\, -\, \varphi }</latex>

<pomembno>
*Razmerju ohmske in induktivne upornosti oziroma '''tangensu''' izgubnega kota pravimo '''izgubni faktor''' tuljave ('''''d''''').
</pomembno>

<latex>d\, = \,\tan \delta \, =\, \frac{U_R}{U_L} \,= \,\frac{R}{X_L}</latex>

<pomembno>
*Čim '''manjši''' je '''izgubni faktor''' realne tuljave, tem bliže ''φ'' kotu 90 º, tem '''boljša''' je tuljava.
*Obratno vrednost izgubnega faktorja tuljave imenujemo '''faktor kakovosti''' tuljave ('''''Q''''').
</pomembno>

<latex>Q \,=\, \frac{1}{d} \,=\, \frac{U_L}{U_R}\, =\, \frac{X_L}{R}</latex>

<pomembno>
*Faktor kakovosti realne tuljave '''''Q''''' pove, kolikokrat je '''induktivna upornost''' realne tuljave večja od '''ohmske''' upornosti navitja tuljave.
*Kakovost realne zračne tuljave je '''premo sorazmerna''' s '''frekvenco'''<ref>če zanemarimo vpliv kožnega pojava in kapacitivnosti ovojev</ref> izmeničnega toka in '''induktivnostjo''' ter '''obratno sorazmerna''' z ohmsko '''upornostjo''' ovojev tuljave.
</pomembno>

'''Primer:'''

<primer>
1. Realna tuljava ima pri določeni induktivnosti in frekvenci induktivno upornost 100 Ω in ohmsko upornost navitja 10 Ω. Izračunaj impedanco, izgubni in fazni kot ter faktor kakovosti tuljave.|||

<latex>{Z_{\rm{t}}}\, =\, \sqrt {{R_{\rm{t}}}^2\, + \,{X_{L{\rm{t}}}}^2} \, =\, \sqrt {{{10}^2} \,+\, {{100}^2}}\, =\, \sqrt {10100} \, =\, {\rm{100,5}}\,\Omega </latex>

<latex>\tan \delta \, =\, \frac{R}{X_L}\, =\, \frac{10}{100}\, = {\rm{0,1}} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\delta \, =\, {\rm{5,7}}^{\,\circ} \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \varphi \, = \,90^{\,\circ} \,-\, \delta \, =\, {\rm{84,3}}^{\,\circ} </latex>

<latex>Q\, = \,\frac{1}{d} \,=\, \frac{1}{\rm{0,1}}\, =\, 10</latex>

</primer>

== Realna tuljava s feromagnetnim jedrom ==

S fizikalnimi osnovami segrevanja Fe jedra zaradi magnetne histereze in vrtinčnih tokov smo se že seznanili<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 217 in 240</ref>, zato si le informativno oglejmo vpliv omenjenih pojavov na izgubo moči v realni tuljavi.

Toplotne izgube nastajajo na '''ohmski''' upornosti. Ker je vzrok za segrevanje Fe jedra isti tok kot za segrevanja navitja, pomeni, da se v primeru tuljave z Fe jedrom toplotnim izgubam zaradi ohmske '''upornosti navitja''', pridružijo še toplotne izgube zaradi '''histereze''' in '''vrtinčnih tokov'''.

<pomembno>
*Kakovost realne tuljave s Fe jedrom je '''manjša''' od kakovosti iste tuljave '''brez''' Fe jedra še posebej v primeru '''lameliranih''' Fe jeder.</pomembno>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni kondenzator

2010-05-11T09:35:49Z

Latac:

Tudi kondenzatorja, ki bi imel čisto kapacitivno upornost, ni mogoče izdelati. Dielektrik '''ni absolutno neprevoden''', segreva pa se tudi zaradi svoje izmenične '''dielektrične polarizacije'''<ref>Osnove elektrotehnike 1, str.181</ref>.

<pomembno>
*Tudi kondenzator se v izmeničnem krogu nekoliko '''greje'''. </pomembno>

To pomeni, da ima realni kondenzator tudi določeno '''delovno''' upornost '''''RC''''', prek katere se del energije izvora sprošča iz električnega kroga in predstavlja '''izgube''' energije. Ker sta kondenzator in dielektrik kondenzatorja na '''isti napetosti''', lahko realni kondenzator obravnavamo kot '''vzporedno''' vezavo idealiziranega kondenzatorja in '''upora''' z upornostjo '''''RC'''''.

<pomembno>
*Realni kondenzator ima lastnost '''vzporedne''' vezave '''upora''' in idealiziranega '''kondenzatorja'''.</pomembno>

Realni kondenzator (sl. 5.1.5 a) torej lahko prikažemo z nadomestno vzporedno vezavo upora in kondenzatorja (sl. 5.1.5 a).

Slika 5.1.5: Nadomestna vezava (b), kazalčni diagram (c) in trikotnik prevodnosti realnega kondenzatorja (d)
[[Image:eele_slika_5_1_5.svg|thumb|right|Slika 5.1.5: Nadomestna vezava (b), kazalčni diagram (c) in trikotnik prevodnosti realnega kondenzatorja (d]]

Glede na namen kondenzatorja je '''delovna prevodnost''' dielektrika '''neželena lastnost''' kondenzatorja.

<pomembno>
*Fazni kot, ki ga v izmeničnem krogu povzroča '''realni kondenzator''', je za kot '''''δ''''' '''manjši''' od '''90 º'''.
*Odstopanje faznega kota realnega kondenzatorja od '''- 90 º''' je posledica izgub energije v kondenzatorju, zato imenujemo kot '''''δ''''' '''izgubni''' kot.
</pomembno>

<latex>{\delta \, =\, 90^{\,\circ} \, -\, \varphi }</latex>

<pomembno>
*Razmerju delovne in jalove prevodnosti oziroma '''tangensu''' izgubnega kota pravimo '''izgubni faktor''' kondenzatorja ('''''d''''').
</pomembno>

<latex>d \,=\, \tan \delta \, =\, \frac{I_{iC}}{I_C}\, =\, \frac{G_{iC}}{B_C}</latex>

<pomembno>
*Čim '''manjši''' je '''izgubni faktor''' kondenzatorja, tem bliže je ''φ'' kotu - 90 º, tem '''boljši''' je kondenzator.
*Obratno vrednost izgubnega faktorja imenujemo '''faktor kakovosti''' kondenzatorja ('''''Q''''').
</pomembno>

<latex>{Q \,= \,\frac{1}{d}\, =\, \frac{I_C}{I_{iC}}\, =\, \frac{B_C}{G_{iC}}}</latex>

<pomembno>
*Faktor kakovosti realnega kondenzatorja '''''Q''''' pove, kolikokrat je jalova prevodnost kondenzatorja večja od delovne prevodnosti kondenzatorja.</pomembno>

Kondenzator je v splošnem bližje idealnosti kot tuljava, zato je njegova kakovost še posebej na področju energetike manj problematična kot pri tuljavi. V določenih primerih visokih frekvenc na področju elektronike pa je kakovost kondenzatorja tudi odločilnega pomena za njegovo uporabo.

'''Primer:'''

<primer>
1. Kondenzator ima pri določeni kapacitivnosti in frekvenci jalovo prevodnost 100 mS in delovno prevodnost dielektrika 5 mS. Izračunaj admitanco, izgubni in fazni kot ter faktor kakovosti kondenzatorja.|||

<latex>Y \,=\, \sqrt {{G_{iC}}^2 \,+\, {B_C}^2}\, =\, \sqrt {{5^2} \,+\, {{100}^2}} \, =\, {\rm{100,12\,mS}}</latex>

<latex>\tan \delta \, =\, \frac{G_{iC}}{B_C}\, =\, \frac{5}{100}\, =\, {\rm{0,05}} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\delta \, =\, {\rm{2,8}}^{\,\circ} \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\varphi \, =\, 90^{\,\circ} \, -\, \delta \, =\, {\rm{87,2}}^{\,\circ} </latex>

<latex>Q \,=\, \frac{1}{d} \,=\, \frac{1}{\rm{0,05}} \,=\, 20</latex>

</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Medsebojni vplivi tuljav v izmeničnih krogih

2010-05-11T09:35:13Z

Latac:

Tuljave kot elektronske elemente redkeje vežemo zaporedno ali vzporedno. Navitja elektroenergetskih strojev in naprav pa so pogosti primeri različnim vezavam navitij (sl. 5.2.1), transformatorski sklopi tuljav (sl. 5.2.1 c) pa so pogosti tudi na področju elektronike.

Slika 5.2.1: Vezave navitij in tuljav v izmeničnih krogih
[[Image:eele_slika_5_2_1.svg|thumb|right|Slika 5.2.1: Vezave navitij in tuljav v izmeničnih krogih]]

V navedenih in podobnih primerih obstaja velika verjetnost, da se magnetni pretok ene tuljave delno sklene tudi skozi ovoje druge tuljave.

<pomembno>
*Če se magnetni pretok ene tuljave delno ali v celoti sklene tudi skozi ovoje druge tuljave, pravimo, da sta tuljavi '''magnetno povezani'''.</pomembno>

Tako galvanska vezava kot medsebojni magnetni sklepi vplivajo na '''skupno induktivnost''' in '''induktivno upornost''' tuljav v izmeničnih krogih.

== Medsebojna induktivnost tuljav ==

Izhajajmo iz predpostavke, da se magnetna pretoka tuljav 1 in 2 (slika 5.2.2) deloma skleneta tudi skozi ovoje druge tuljave.

Slika 5.2.2: Magnetno sklenjeni tuljavi
[[Image:eele_slika_5_2_2.svg|thumb|right|Slika 5.2.2: Magnetno sklenjeni tuljavi]]

Celotni magnetni pretok prve tuljave označimo s ''Ф''1 druge s ''Ф''2, del magnetnega pretoka prve tuljave, ki se sklene tudi skozi ovoje druge tuljave, s ''Ф''12 in del ''Ф''2, ki se sklene tudi skozi ovoje prve tuljave, s ''Ф''21. Delna magnetna pretoka potem lahko zapišemo v obliki:

<latex>{\Phi _{12}}\, =\, {k_{12}} \,\cdot\, {\Phi _1}</latex>

<latex>{\Phi _{21}}\, =\, {k_{21}} \,\cdot \,{\Phi _2}</latex>

Faktorja k12 in k21 sta '''sklopna faktorja''' tuljav.

<pomembno>
*Sklopni faktor dveh tuljav je število, ki pove, kolikšen del magnetnega pretoka ene tuljave se sklene tudi skozi ovoje druge tuljave.
*Teoretično možne vrednosti sklopnih faktorjev so med '''0''' in '''1'''.
</pomembno>

Do končnih enačb, ki povedo nekaj več o lastnostih in medsebojnih vplivih magnetno sklenjenih tuljav,
je relativno zahtevna pot. Ker se izven razvoja električnih naprav v praksi s tovrstnimi računi praktično
ne bomo ukvarjali, se s končnimi enačbami in lastnostmi magnetno sklenjenih tuljav le seznanimo.

<pomembno>
Razmerje med magnetnim sklepom<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 242</ref> sklenjenega magnetnega pretoka v drugi tuljavi in električnim tokom v prvi tuljavi, ki ga ustvarja, imenujemo '''medsebojna induktivnost''' ('''''M'''''). </pomembno>

<latex>{M\, =\, k\sqrt {{L_1}{L_2}} }|||(H)</latex>

<pomembno>
*Medsebojna induktivnost dveh tuljav '''''M''''' je premo sorazmerna s '''sklopnim faktorjem'''<ref><latex>k\, =\, \sqrt {{k_{12}}{k_{21}}} </latex></ref> tuljav '''''k''''' in '''srednjo geometrično''' vrednostjo induktivnosti tuljav.</pomembno>

Medsebojna induktivnost ''M'' ima enake fizikalne lastnosti kot induktivnost tuljave, zato povzroča '''indukcijo napetosti''' v dveh sosednjih tuljavah, ki je lahko koristna ali moteča. Med najbolj pogostimi koristnimi primeri uporabe medsebojne induktivnosti je npr. električni '''transformator''', med motečimi pa je gotovo škodljiv vpliv magnetnih polj '''energetskih vodnikov''' na občutljive '''elektronske sisteme'''.

<pomembno>
*Škodljive primere medsebojnih induktivnosti pogosto imenujemo '''parazitne''' induktivnosti.</pomembno>

Medsebojne induktivnosti tuljav ni (''M'' ≈ 0), le v primerih, če sta tuljavi vsaka zase v zaprtem '''feromagnetnem jedru''' ali če sta njuni osi med seboj '''pravokotni''' (slika 5.2.3) ali če sta med seboj dovolj '''oddaljeni'''.

Slika 5.2.3: Medsebojne lege tuljave brez medsebojne induktivnosti
[[Image:eele_slika_5_2_3.svg|thumb|right|Slika 5.2.3: Medsebojne lege tuljave brez medsebojne induktivnosti]]

== Induktivnost zaporedne vezave tuljav ==

V primeru magnetne povezave tuljav moramo v enačbi napetostne zanke električnega kroga z zaporedno vezavo tuljav (sl. 5.2.4) poleg napetosti lastne indukcije tuljav (''UL'' = ''I'' • ''XL'') upoštevati tudi napetosti '''medsebojne indukcije'''.

Slika 5.2.4: Izmenični krog z zaporednima tuljavama in medsebojno induktivnostjo
[[Image:eele_slika_5_2_4.svg|thumb|right|Slika 5.2.4: Izmenični krog z zaporednima tuljavama in medsebojno induktivnostjo]]

V zaporedno vezanih tuljavah ima tok sicer isto smer, toda glede na smer navijanja tuljav se sklenjena magnetna pretoka lastnemu pretoku tuljave lahko '''prištevata''' ali '''odštevata'''.

<pomembno>
*Napetost medsebojne indukcije ima '''enako''' ali '''nasprotno''' smer napetosti lastne indukcije tuljave.
*Razlikujemo '''pozitivni''' in '''negativni''' medsebojni magnetni sklep tuljav
</pomembno>

Enačba napetostne zanke izmeničnega kroga z zaporednima tuljavama (slika 5.2.4) se potem glasi:

<latex>U\, =\, {U_{L1}}\, +\, {U_{1M}}\, +\, {U_{L2}}\, + \,{U_{2M}}\, =\, I\, \cdot \,\omega {L_1} \,\pm \,I\, \cdot \,\omega M \,+\, I \,\cdot \,\omega {L_2} \,\pm \,I \,\cdot\, \omega M</latex>
<latex> \,\,\,=\, I\, \cdot\, \omega \left( {{L_1} \,+\, {L_2} \,\pm\, 2M} \right)</latex>
<latex> \,\,\,=\, I\, \cdot\, \omega L</latex>

''L'' je skupna oziroma nadomestna induktivnost zaporedne vezave dveh tuljav, zato lahko zapišemo:

<latex>{L\, =\, {L_1} \,+ \,{L_2}\, \pm\, 2M}|||(H)</latex>

<pomembno>
*Skupna induktivnost zaporedno vezanih in '''magnetno sklenjenih tuljav''' je enaka vsoti induktivnosti tuljav, '''povečani''' ali '''zmanjšani''' za '''dvakratno medsebojno induktivnost'''.
</pomembno>

Če se z drugo tuljavo sklenjena magnetna pretoka ''Ф''12 in ''Ф''21 prištevata lastnima magnetnima pretokoma tuljav ''Ф''1 in ''Ф''2, sta tuljavi povezani magnetno '''istosmiselno''', sicer pa '''protismiselno'''. Smiselnost magnetne povezave tuljav označujemo s '''pikami''' ob simbolih tuljav (slika 5.2.5).

Slika 5.2.5: lstosmiselna a) in b) ter protismiselna c) in d) magnetna povezava tuljav
[[Image:eele_slika_5_2_5.svg|thumb|right|Slika 5.2.5: lstosmiselna a) in b) ter protismiselna c) in d) magnetna povezava tuljav]]

<pomembno>
*Če električna toka vstopata v tuljavi na označenih koncih, sta tuljavi magnetno povezani '''istosmiselno''', sicer pa '''protismiselno'''.
</pomembno>

Zadnja ugotovitev omogoča fizikalno razlago, zakaj '''bifilarno'''<ref>Dvojno navitje, ki omogoča tok v ovojih v nasprotnih smereh – navitje brez magnetnega polja.</ref> navitje žičnih uporov nima induktivnosti. Zaradi k ≈ 1 je magnetni sklep sklenjenega magnetnega pretoka popoln in je medsebojna induktivnost zaradi ''L''1 = ''L''2 = ''L''t kar

<latex>M \,=\, k\sqrt {{L_1}{L_2}} \, =\, {L_{\rm{t}}}</latex>

in zaradi protismiselne vezave tuljav

<latex>L \,=\, {L_{\rm{t}}}\, +\, {L_{\rm{t}}}\, -\, 2{L_{\rm{t}}} \,=\, 0</latex>

Če sta zaporedno vezani tuljavi na '''veliki''' medsebojni '''razdalji''' ali sta v zaprtih '''feromagnetnih jedrih''' ali pa sta osi tuljav med seboj '''pravokotni''', medsebojne induktivnosti tuljav '''''M''''' '''ni''' (''M'' ≈ 0). V tem primeru je skupna induktivnost tuljav kar

<latex>{L \,=\, {L_1} \,+\, {L_2}}|||(H)</latex>

<pomembno>
*Skupna induktivnost '''zaporedno''' vezanih in magnetno '''nepovezanih''' tuljav je enaka '''vsoti''' induktivnosti tuljav.
</pomembno>

== Induktivnost vzporedne vezave tuljav ==

Pot do izrazov za skupno induktivnost vzporedno vezanih tuljav (slika 5.2.6) je podobna kot pri zaporedni vezavi, zato napišimo le končne oblike le-teh:

Slika 5.2.6: Vzporedna vezava tuljav z medsebojno induktivnostjo
[[Image:eele_slika_5_2_6.svg|thumb|right|Slika 5.2.6: Vzporedna vezava tuljav z medsebojno induktivnostjo]]

<latex>L\, =\, \frac{{L_1}{L_1} \,- \,{M^2}}{{L_1} \,+\, {L_1}\, \pm \,2M},</latex>

pri čemer velja »- 2''M''« v imenovalcu izraza za '''istosmiselno''', »+ 2''M''« pa za '''protismiselno''' magnetno povezavo tuljav. Če pa je medsebojna induktivnost tuljav '''zanemarljiva''' (''k'' ≈ 0 in ''M'' ≈ 0), dobimo:

<latex>{L\, =\, \frac{{L_1}{L_1}}{{L_1}\, +\, {L_1}}}|||(H)</latex>

'''Primera:'''

<primer>
1. Izračunaj induktivnost zaporedno vezanih tuljav z induktivnostmi ''L''1 = 200 mH in ''L''2 = 300 mH, in sicer: a) tuljavi nista magnetno sklenjeni in b) tuljavi sta negativno magnetno sklenjeni s ''k'' = 0,2.|||
<latex>L \,=\, {L_1} \,+\, {L_2}\, =\, 200 \,+\, 300\, =\, 500{\rm{\,mH}}</latex>

<latex>M \,=\, k\sqrt {{L_1}{L_2}}\, = \,{\rm{0,2}}\sqrt {200 \,\cdot \,300} \, =\, 49{\rm{\,mH}}</latex>
</primer>

<primer>
2. Tuljavi iz prvega primera priključimo v zaporedni vezavi na izmenično napetost 24 V / 1000 Hz. Izračunaj tok skozi tuljavi pri pozitivnem in negativnem medsebojnem magnetnem sklepu k = 0,2.|||
a) pozitivni magnetni sklep

<latex>L \,=\, {L_1}\, +\, {L_2}\, +\, 2M\, =\, 200\, +\, 300\, +\, 2\, \cdot\, 49\, =\, {\rm{598\,mH}}</latex>

<latex>{X_L} \,=\, 2\pi fL \,= \,2\pi \, \cdot \,1000 \,\cdot\, {\rm{0,598}}\, =\, 3755\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I\, = \,\frac{U}{X_L} \,=\, \frac{24}{3755}\, =\, {\rm{6,4\,mA}}</latex>

b) negativni magnetni sklep

<latex>L\, =\, {L_1}\, +\, {L_2}\, -\, 2M\, =\, 200\, +\, 300\, - \,2 \,\cdot\, 49\,= \,{\rm{402\,mH}}</latex>

<latex>{X_L} \,=\, 2\pi fL \,=\, 2\pi\, \cdot\, 1000 \,\cdot \,{\rm{0,402}} \,=\, 2492\,{\rm{\Omega }}</latex>

<latex>I \,=\, \frac{U}{X_L}\, =\, \frac{24}{2492}\, =\,{\rm{9,6\,mA}}</latex>
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator v praznem teku

2010-05-11T09:33:52Z

Latac:

O neobremenjenem transformatorju ali tudi transformatorju v praznem teku govorimo takrat, ko je primarno navitje transformatorja priključeno na izvor izmenične napetosti, sekundarni krog pa '''ni sklenjen''' (slika 5.3.2).

Slika 5.3.2: Transformator v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_2.svg|thumb|right|Slika 5.3.2: Transformator v praznem teku]]

<poskus>
'''Poskus 5.3.1:'''

Transformator z nazivnimi podatki npr. 230 V / 12 V, 40 W priključimo prek merilnikov (sl. 5.3.3) na omrežno napetost.

Slika 5.3.3 Merjenje električnih količin transformatorja v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_3.svg|thumb|right|Slika 5.3.3 Merjenje električnih količin transformatorja v praznem teku]]

*V primarnem navitju transformatorja je tok '''''I''0'''.
*W-meter kaže določeno delovno moč '''''P''0'''.

</poskus>

Kljub temu da ni odjema moči na sekundarni strani transformatorja, le-ta '''obremenjuje''' izvor napetosti z navidezno močjo:

<latex>{S_0} \,=\, {U_1}{I_0}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,delovno\,\,mocjo}}\,\,\,\,\,{P_0}.</latex>

Vzrok delovne moči ''P''0 so pri tem '''izgube''' v obliki '''toplotne''' energije v navitju in jedru, ki smo jih pri obravnavi realnih navitij že spoznali.

'''Primer:'''

<primer>
Pri transformatorju s primarno nazivno napetostjo ''U''1 = 230 V smo z vezavo merilnikov po sliki 5.3.3 izmerili v praznem teku transformatorja ''I''0 = 0,22 A in ''P''0 = 18 W ter z Ω-metrom upornost primarnega navitja ''R''Cu = 2,43 Ω. Izračunaj in primerjaj med seboj izgube v navitju in Fe jedru!|||

<latex>{P_{0Cu}}\, =\, I_0^2{R_{Cu}} \,= \,{{\rm{0,22}}^2}\, \cdot\, {\rm{2,43}} \,=\, {\rm{0,118\,W}} \,=\, {\rm{0,65}}\,\% \,{P_0}</latex>

<latex>{P_{0Fe}} \,=\, {P_0} \,- \,{P_{0Cu}}\, =\, 18\, -\, {\rm{0,118}} \,=\, {\rm{17,88\,W}} \,=\, {\rm{99,35}}\,\%\, {P_0}</latex>

</primer>

Izgube moči v bakrenem navitju so v praznem teku v primerjavi z izgubami v železnem jedru '''energetskih''' transformatorjev praviloma '''zanemarljive'''. Ker se navedeno razmerje ne spremeni tudi po obremenitvi transformatorja, velja:

<pomembno>
*Z merjenjem izgubne moči transformatorja v praznem teku dejansko merimo '''izgubno moč''' v '''železnem jedru'''.
</pomembno>

Ob '''zanemarjanju''' izgub v '''navitju''' in delnega stresanja magnetnega pretoka zunaj jedra ter ob '''upoštevanju''' izgub v '''jedru''' lahko narišemo poenostavljeno nadomestno vezavo realnega transformatorja (slika 5.3.4 a) in pripadajoči kazalčni diagram (slika 5.3.4 b).

Slika 5.3.4: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega transformatorja v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_4.svg|thumb|right|Slika 5.3.4: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega transformatorja v praznem teku]]

<pomembno>
*Izmenični krog z realnim neobremenjenim transformatorjem ima lastnosti '''vzporednega ohmsko- induktivnega''' kroga (0 < ''φ'' < 90 °).
</pomembno>

Tok '''''I''0''' je pri nazivni primarni napetosti ''U''1 '''energetskih''' transformatorjev 2 do 5 %, pri transformatorjih v '''elektroniki''' pa do 15 % '''nazivnega''' primarnega toka; njegovo odvisnost od primarne napetosti kaže slika 5.3.5.

Slika 5.3.5: Odvisnost primarnega toka transformatorja v praznem teku od primarne napetosti
[[Image:eele_slika_5_3_5.svg|thumb|right|Slika 5.3.5: Odvisnost primarnega toka transformatorja v praznem teku od primarne napetosti]]

Dokler Fe jedro transformatorja ni magnetno nasičeno, naraščajo s primarno napetostjo ''U''1 magnetilni tok ''I''0, magnetni pretok ''Ф'' in napetost lastne indukcije primarnega navitja ''U''i1. V področju magnetnega nasičenja Fe jedra magnetni pretok '''''Ф''''' in napetost lastne indukcije '''''U''i1''' naraščata s primarno napetostjo ''U''1 bistveno '''počasneje''' kot v področju ojačevanja magnetnega pretoka, zato '''''I''0''' po prekoračitvi "meje" nasičenja (slika 5.3.5) '''narašča''' z ''U''1 bistveno '''hitreje'''. Večja prekoračitev meje nasičenja je zaradi močnega segrevanja navitja za transformator lahko usodna.

<pomembno>
*Transformator mora biti konstruiran tako, da pri magnetilnem toku ''I''0, ki ga požene nazivna primarna napetost ''U''1N, ne deluje v '''nasičenju'''.
*Transformatorja ne smemo priključiti na napetost, ki je višja od '''nazivne''' primarne napetosti.
</pomembno>

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator

2010-05-11T09:32:40Z

Latac:

S fizikalnimi osnovami delovanja '''idealiziranega''' električnega transformatorja (slika 5.3.1) smo se že seznanili<ref>Osnove elektrotehnike 1, str. 238</ref> in pri tem ugotovili:

Slika 5.3.1: Transformator v izmeničnem krogu
[[Image:eele_slika_5_3_1.svg|thumb|right|Slika 5.3.1: Transformator v izmeničnem krogu]]

<pomembno>
*Električni transformator nespremenjeni moči spreminja električno '''napetost''' v '''premem''', električni '''tok''' pa v '''obratnem''' sorazmerju '''primarnega''' in '''sekundarnega''' števila ovojev.
</pomembno>

<latex>\frac{U_1}{U_2}\, = \,\frac{N_1}{N_2}{\rm{;}}\,\,\,\,\,\frac{I_1}{I_2} \,=\, \frac{N_2}{N_1}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,\frac{N_1}{N_2}\, = \,n</latex>

<pomembno>
*Razmerje primarnega in sekundarnega števila ovojev imenujemo '''prestavno''' razmerje ali '''prestava''' transformatorja ('''''n''''').
</pomembno>

Oglejmo si še eno zanimivost transformatorja, ki je še nismo omenili. Zapišimo moči na njegovi primarni in sekundarni strani (slika 5.3.1) v obliki:

<latex>{S_1}\, =\, \frac{U_1^2}{Z_1}</latex> in <latex>{S_2}\, =\, \frac{U_2^2}{Z_2}</latex>

ter upoštevajmo enakost obeh moči:

<latex>\frac{U_1^2}{Z_1}\, =\, \frac{U_2^2}{Z_2}</latex> ali <latex>\frac{Z_1}{Z_2}\, =\, \frac{U_1^2}{U_2^2}\, =\, {n^2}</latex> oziroma <latex>{{Z_1}\, =\, {n^2}{Z_2}}|||(Ω)</latex>

<pomembno>
*Transformator '''pretvarja impedanco''' v razmerju '''kvadrata''' prestavnega razmerja transformatorja.
*Pri priključitvi porabnika z impedanco '''''Z''''' na izvor izmenične napetosti prek transformatorja s prestavnim razmerjem '''''n''''' je izvor obremenjen z impedanco '''''n''''''''2''''''''Z''''' .
</pomembno>

'''Primer:'''

<primer>
Porabnik z impedanco ''Z''2 = 10 Ω priključimo na izvor izmenične napetosti prek transformatorja, katerega prestavno razmerje je 8. S kolikšno impedanco smo obremenili izvor?|||
<latex>{Z_1}\, =\, {n^2}{Z_2}\, =\, {8^2}\, \cdot\, 10\, = \,640\,\Omega </latex>
Ugotovljeno lastnost transformatorja pogosto uporabljamo na področju elektronike za '''prilagoditev''' upornosti oziroma impedance porabnika na maksimalno '''razpoložljivo moč''' izvora (npr. za priključevanje nizkoohmskih zvočnikov na ojačevalnike z visokoohmskim izhodom in podobno).
</primer>

<references />

{{Hierarchy footer}}

Realni transformator v praznem teku

2010-05-11T09:32:25Z

Latac:

O neobremenjenem transformatorju ali tudi transformatorju v praznem teku govorimo takrat, ko je primarno navitje transformatorja priključeno na izvor izmenične napetosti, sekundarni krog pa '''ni sklenjen''' (slika 5.3.2).

Slika 5.3.2: Transformator v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_2.svg|thumb|right|Slika 5.3.2: Transformator v praznem teku]]

<poskus>
'''Poskus 5.3.1:'''

Transformator z nazivnimi podatki npr. 230 V / 12 V, 40 W priključimo prek merilnikov (sl. 5.3.3) na omrežno napetost.

Slika 5.3.3 Merjenje električnih količin transformatorja v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_3.svg|thumb|right|Slika 5.3.3 Merjenje električnih količin transformatorja v praznem teku]]

*V primarnem navitju transformatorja je tok '''''I''0'''.
*W-meter kaže določeno delovno moč '''''P''0'''.

</poskus>

Kljub temu da ni odjema moči na sekundarni strani transformatorja, le-ta '''obremenjuje''' izvor napetosti z navidezno močjo:

<latex>{S_0} \,=\, {U_1}{I_0}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,delovno\,\,mocjo}}\,\,\,\,\,{P_0}.</latex>

Vzrok delovne moči ''P''0 so pri tem '''izgube''' v obliki '''toplotne''' energije v navitju in jedru, ki smo jih pri obravnavi realnih navitij že spoznali.

'''Primer:'''

<primer>
Pri transformatorju s primarno nazivno napetostjo ''U''1 = 230 V smo z vezavo merilnikov po sliki 5.3.3 izmerili v praznem teku transformatorja ''I''0 = 0,22 A in ''P''0 = 18 W ter z Ω-metrom upornost primarnega navitja ''R''Cu = 2,43 Ω. Izračunaj in primerjaj med seboj izgube v navitju in Fe jedru!|||

<latex>{P_{0Cu}}\, =\, I_0^2{R_{Cu}} \,= \,{{\rm{0,22}}^2}\, \cdot\, {\rm{2,43}} \,=\, {\rm{0,118\,W}} \,=\, {\rm{0,65}}\,\% \,{P_0}</latex>

<latex>{P_{0Fe}} \,=\, {P_0} \,- \,{P_{0Cu}}\, =\, 18\, -\, {\rm{0,118}} \,=\, {\rm{17,88\,W}} \,=\, {\rm{99,35}}\,\%\, {P_0}</latex>

</primer>

Izgube moči v bakrenem navitju so v praznem teku v primerjavi z izgubami v železnem jedru '''energetskih''' transformatorjev praviloma '''zanemarljive'''. Ker se navedeno razmerje ne spremeni tudi po obremenitvi transformatorja, velja:

<pomembno>
*Z merjenjem izgubne moči transformatorja v praznem teku dejansko merimo '''izgubno moč''' v '''železnem jedru'''.
</pomembno>

Ob '''zanemarjanju''' izgub v '''navitju''' in delnega stresanja magnetnega pretoka zunaj jedra ter ob '''upoštevanju''' izgub v '''jedru''' lahko narišemo poenostavljeno nadomestno vezavo realnega transformatorja (slika 5.3.4 a) in pripadajoči kazalčni diagram (slika 5.3.4 b).

Slika 5.3.4: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega transformatorja v praznem teku
[[Image:eele_slika_5_3_4.svg|thumb|right|Slika 5.3.4: Nadomestna vezava a) in kazalčni diagram b) realnega transformatorja v praznem teku]]

<pomembno>
*Izmenični krog z realnim neobremenjenim transformatorjem ima lastnosti '''vzporednega ohmsko- induktivnega''' kroga (0 < ''φ'' < 90 °).
</pomembno>

Tok '''''I''0''' je pri nazivni primarni napetosti ''U''1 '''energetskih''' transformatorjev 2 do 5 %, pri transformatorjih v '''elektroniki''' pa do 15 % '''nazivnega''' primarnega toka; njegovo odvisnost od primarne napetosti kaže slika 5.3.5.

Slika 5.3.5: Odvisnost primarnega toka transformatorja v praznem teku od primarne napetosti
[[Image:eele_slika_5_3_5.svg|thumb|right|Slika 5.3.5: Odvisnost primarnega toka transformatorja v praznem teku od primarne napetosti]]

Dokler Fe jedro transformatorja ni magnetno nasičeno, naraščajo s primarno napetostjo ''U''1 magnetilni tok ''I''0, magnetni pretok ''Ф'' in napetost lastne indukcije primarnega navitja ''U''i1. V področju magnetnega nasičenja Fe jedra magnetni pretok '''''Ф''''' in napetost lastne indukcije '''''U''i1''' naraščata s primarno napetostjo ''U''1 bistveno '''počasneje''' kot v področju ojačevanja magnetnega pretoka, zato '''''I''0''' po prekoračitvi "meje" nasičenja (slika 5.3.5) '''narašča''' z ''U''1 bistveno '''hitreje'''. Večja prekoračitev meje nasičenja je zaradi močnega segrevanja navitja za transformator lahko usodna.

<pomembno>
*Transformator mora biti konstruiran tako, da pri magnetilnem toku ''I''0, ki ga požene nazivna primarna napetost ''U''1N, ne deluje v '''nasičenju'''.
*Transformatorja ne smemo priključiti na napetost, ki je višja od '''nazivne''' primarne napetosti.
</pomembno>

{{Hierarchy footer}}