e-ELEKTROTEHNIKA plus - Uporabnikovi prispevki [sl]

Trifazni prenos energije in trifazna transformacija

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:52:25 GMT

Andrej:

Odvodi in integrali nekaterih elementarnih funkcij

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:51:46 GMT

Andrej:

Transformator

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:50:57 GMT

Andrej:

[[Slika:OET2_a_poglavje_51_slika_01.svg‎|thumb|Nadomestno vezje, ki ustreza idealiziranemu oziroma brezizgubnemu transformatorju. ]]
[[Slika:OET2_a_poglavje_52_slika_02.svg‎|thumb|Označevanje elementov in kompleksnih količin v primeru vezja magnetno sklopljenih tuljav. ]]
[[Slika:OET2_a_poglavje_52_slika_03.svg‎|thumb|Transformator je posrednik med virom in bremenom. ]]

Transformator je naprava, ki ima nekaj lepih električnih lastnosti; zaradi njih ni nepogrešljiv le pri distribuciji električne energije, ampak tudi v elektroniki. Zasnovo transformatorja smo predstavili v okviru magnetnih vezjih, njegovo idealizirano nadomestno vezje in ustrezni enačbi pa v okviru sklopljenih tuljav. Modela brezizgubnega transformatorja se bomo v nadaljevanju tudi oprijeli in poskušali iz njega prepoznati lastnosti, ki transformator odlikujejo (slika 1).<ref>Brezizgubnost navitij in jedra sta predpostavki idealiziranega transformatorja. Razen izjem smemo odstopanje od realnega stanja scela spregledati.</ref>

Prikličimo enačbi, ki vežeta toka in napetosti magnetno sklopljenih navitij:

<latex>u_{\mathrm{1} } = L_1 \frac{ {\Delta i_1 } }{ {\Delta t} } + M\frac{ {\Delta i_2 } }{ {\Delta t} }</latex> in <latex>u_{\mathrm{2} } = M\frac{ {\Delta i_1 } }{ {\Delta t} } + L_2 \frac{ {\Delta i_2 } }{ {\Delta t} }.</latex>

Če smo osredotočeni na harmonične razmere, potem bi kazalo enačbi zapisati v kompleksni obliki, s kazalci. Poskusimo. Izkušnja z enačbo tuljave,

<latex>u = L\frac{ {\Delta i} }{ {\Delta t} }{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline U = {\mathrm{j} }\omega L\underline I ,</latex>

razkriva podobnost med časovnim in kompleksnim zapisom: napetost preide v kazalec napetosti, hitrost spreminjanja toka pa v kazalec toka, multipliciran z <latex>{\mathrm{j}}\omega</latex> (induktivnost je le multiplikator). Kar velja zanjo, mora smiselno veljati tudi za enačbo z več podobnimi sumandi. Če je tako, potem sta:

<latex>{\underline U _{\mathrm{1} } = {\mathrm{j} }\omega L_1 \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega M\underline I _2}</latex> in <latex>{\underline U _{\mathrm{2} } = {\mathrm{j} }\omega M\underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega L_2 \underline I _2 .}</latex>

V modelnem vezju spremenimo temu ustrezno tudi oznake: toka in napetosti zamenjajo njihovi kazalci, induktivnosti nadomestijo z j množene reaktance in <latex>\omega M</latex> je ''medsebojna reaktanca'' navitij, piki zadržita svoj pomen (slika 2). Nič kaj drugače ni pri transformatorju oziroma popolnem sklopu dveh navitij na visokopermeabilnem jedru. V enačbi kaže vplesti preproščino, da so izrazi za induktivnosti podobni in določeni z magnetno upornostjo jedra (<latex>R_{\mathrm{M}}</latex>) in številoma ovojev navitij (<latex>N_1</latex> in <latex>N_2</latex>) ter da je medsebojna induktivnost (<latex>M</latex>) enaka geometrijski srednji vrednosti lastnih induktivnosti (<latex>L_1</latex> in <latex>L_1</latex>):

<latex>L_1 = \frac{ {N_1^2 } }{ {R_{\mathrm{m} } } }{\mathrm{, } }L_2 = \frac{ {N_2^2 } }{ {R_{\mathrm{m} } } }</latex> in <latex>M = \frac{{N_1 N_2 } }{ {R_{\mathrm{m} } } }{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }M = \sqrt {L_1 L_2 } .</latex>

Transformator kot dvovhodno vezje je neke vrste elektromagnetni posrednik med tokokrogoma oziroma med deloma vezja (slika 3). Njuni sestavini za sam transformator sicer nista pomembni, je pa pogosto tako, da ima del vezja generatorski, drugi del pa bremenski značaj. Navitje, na katero priključimo vir ali drugo aktivno vezje, imenujemo ''primar'', navitje kamor priključimo breme, pa ''sekundar'' transformatorja. Pri izbrani priključitvi bremena (impedance ''Z''b) prek transformatorja na vir harmonične napetosti (ki ji ustreza kazalec ''U''g), se enačbama navitij pridružita še enačbi, ki povzemata ničin priključitve:

<latex>\underline U _{\mathrm{1} } = {\mathrm{j} }\omega L_1 \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } \underline I _2</latex> in <latex>\underline U _{\mathrm{2} } = {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega L_2 \underline I _2 </latex>

<latex>\underline U _{\mathrm{1} } = \underline U _{\mathrm{g} } {\mathrm{ in } }\underline U _{\mathrm{2} } = \underline Z _{\mathrm{b} } ( - \underline I _2 ).</latex>

Iz teh enačb bomo poskušali v nadaljevanju pridobiti kar največ informacij, predvsem tistih, ki jih zaznamujeta magnetno sklopljeni navitji.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Efektivna vrednost periodične funkcije

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:50:20 GMT

Andrej:

[[Slika:OET2_a_poglavje_04_slika_05.svg|thumb|Pulzirajoči tok in njegova efektivna vrednost.]]
Moč v uporu, <latex>Ri^2 = Gu^2</latex>, energija v kondenzatorju, <latex>Cu^2/2</latex> in energija v tuljavi, <latex>Li^2/2</latex> so sorazmerne kvadratu toka oziroma napetosti. Če bosta napetost na kondenzatorju (ali uporu) ali tok skozi tuljavo (ali upor) periodična, bosta takšni tudi ustrezni energiji oziroma moč; smiselno je torej govoriti o poprečjih moči in energij oziroma o srednjih vrednostih kvadrata napetosti in kvadrata toka. Kvadratna korena teh srednjih vrednosti določata novi značilnici; imenujemo ju ''efektivna vrednost'' <latex>I_{ {\mathrm{ef}</latex> toka <latex>i</latex> in ''efektivna vrednost'' <latex>U_{ {\mathrm{ef}</latex> napetosti <latex>u</latex>. Če ostaja delitev periode enaka kot pri srednji vrednosti, potem določa efektivno vrednost toka <latex>i</latex> tale izraz:

<latex>{I_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } } = \sqrt {\overline {i^2 } } = \sqrt {\overline {i^2 (t)} } = \sqrt {\left( {i_1^2 \Delta t_1 + i_2^2 \Delta t_2 + i_3^2 \Delta t_3 + \cdot \cdot \cdot + i_n^2 \Delta t_n } \right)/T} {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }I_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } }^{\mathrm{2} } = \overline {i^2 } .}</latex>

'''Zgled 3 '''
Začnimo z impulznim tokom. Naj je čas <latex>T_1</latex> trajanje impulza jakosti <latex>I_0</latex>, <latex>T_2</latex> pa čas pavze, da npr. pretikalo stikala v vodniku dvovoda med uporom in virom izmenjaje preklapljamo (slika 5). Določimo efektivno vrednost toka. ⇒ Perioda <latex>T=T_1+T_2</latex>. Zaradi impulznosti zadostuje periodo razdeliti na dva intervala, trajanj <latex>T_1</latex> in <latex>T_2</latex>. Za efektivno vrednost toka dobimo tole formulo:

<latex>I_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } } = \sqrt {\overline {i^2 } } = \sqrt {\frac{ {I_0^2 \cdot T_1 + 0 \cdot T_2 } }{T} } = \sqrt {\frac{ {T_1 } }{ {T_1 + T_2 } } } \cdot I_0 .</latex>

Primer: Pri sklenjenem stikalu je tok skozi upor upornosti 20 Ω enak 3 A; pretikalo stikala preklapljamo tako, da je stikalo 1 s sklenjeno, 3 s pa razklenjeno. Efektivna vrednost toka je torej 1,5 A, srednja moč v uporu pa (1,5 A)2 · 20 Ω = 45 W. 

{{Hierarchy footer}}

Poprečna vrednost periodične funkcije

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:49:38 GMT

Andrej:

[[Image:OET2 a poglavje 03 slika 03.svg|thumb|Amplituda napetosti je približno 325 V, začetni kot okoli -45 °, perioda okoli 20 ms in frekvenca okoli 50 Hz. Po podatkih sodeč pripada časovni diagram harmonični omrežni napetosti.]] [[Image:OET2 a poglavje 03 slika 04.svg|thumb|Vlak ponavljajočih tokovnih impulzov.]]
Značilnica periodične funkcije je tudi njena poprečna ali ''srednja vrednost''. Periodo <latex>T</latex> razdelimo na <latex>n</latex> intervalov s trajanji <latex>\Delta t_k</latex>; <latex>k = 1,\,2,\,\,...\,\,n</latex>. V sredini <latex>k</latex>-tega intervala ima napetost določeno vrednost <latex>U_k</latex>. Srednjo vrednost <latex>U_{sr}.</latex> napetosti <latex>u</latex> (označujemo jo tudi s črto nad simbolom) določa izraz:

<latex>{U_{ {\rm{sr} }{\rm{.} } } = \overline u = \overline {u(t)} = \left( {u_1 \Delta t_1 + u_2 \Delta t_2 + u_3 \Delta t_3 + \cdot \cdot \cdot + u_n \Delta t_n } \right)/T.}</latex>

Če je periodična funkcija zelo razgibana (spremenljiva), morajo biti intervali <latex>\Delta t_k</latex> ;»kar najkrajši«, v nasprotnem so lahko tudi daljši.<ref>O vsoti sumandov, ki jih je veliko in imajo neznatne vrednosti, bomo govorili v zadnjem poglavju, v okviru določenega integrala.</ref>

'''Zgled 2 '''

Multivibrator generira pulzirajočo napetost. V času impulza (<latex>T_1</latex>) ima napetost <latex>u</latex> vrednost <latex>U_0</latex>, v času pavze (<latex>T_2</latex>) pa vrednost 0 V (slika 4).<ref>Multivibrator je posebno elektronsko vezje, ki generira pulzirajočo napetost.</ref> Izrazimo srednjo vrednost napetosti. ⇒ Periodo določa vsota dveh časov: <latex>T = T_1 + T_2</latex>. Ker je napetost pulzirajoča, razdelimo periodo <latex>T</latex> na intervala trajanj <latex>T_1</latex> in <latex>T_2</latex>. Po zgornji formuli sledi srednja vrednost napetosti:

<latex>U_{ {\mathrm{sr} }{\mathrm{.} } } = \overline u = \frac{ {U_0 \cdot T_1 + 0 \cdot T_2 } }{T} = \frac{ {T_1 } }{ {T_1 + T_2 } }U_0 .</latex>

Primer: V času impulza (trajanja 1 ms) naj ima napetost vrednost 10 V; čas pavze naj bo 3 ms. Iz formule sledi srednja vrednost 2,5 V.<ref>In kako bi komentirali <latex>I_{sr.}</latex>; impulznega toka <latex>i</latex> v primeru instrumenta z vrtljivo tuljavico? Ker okorna tuljavica ne more slediti pogostim impulzom toka, se ustali v legi, ki je sorazmerna <latex>I_{sr.}</latex></ref> Srednjo vrednost periodične funkcije geometrijsko interpretira oddaljenost črte od abscise, ki z obeh strani črte izenačuje površine likov med funkcijo in črto.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Večfazni sistemi

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:48:58 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Iz povedanega izhaja, da ima trifazni sistem nekaj očitnih prednosti pred enofaznim. Zakaj ne bi morda potem razmišljali tudi o štiri- in petfaznem sistemu napetosti? Razlog…

Iz povedanega izhaja, da ima trifazni sistem nekaj očitnih prednosti pred enofaznim. Zakaj ne bi morda potem razmišljali tudi o štiri- in petfaznem sistemu napetosti? Razlog je preprost: vsi višji sistemi ne ponujajo nič, česar ne bi vseboval že trifazni sistem. Zakaj torej stvari zapletati, če ne prinašajo nič novega? Je pa iz trifaznega moč pridobiti šestfazni sistem. Če bi srednje odcepe navitij na sekundarju trifaznega transformatorja spojili v zvezdišče (in ga ozemlji), bi tri navitja imela šest koncev. Kazalci napetosti med posameznimi konci in zvezdiščem bi v kazalčnem diagramu oblikovali zvezdo šestih kazalcev, enakih absolutnih vrednosti, drug do drugega pa bi bili fazno premaknjeni za kot 60 °.

{{Hierarchy footer}}

Vrtilno polje

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:48:43 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Tako trifaznost kot tudi Teslina dvofaznost ponujata možnost generiranja posebnega magnetnega polja, ki je osnova delovanja asinhronskih in sinhronskih strojev. Če so tri nav…

Tako trifaznost kot tudi Teslina dvofaznost ponujata možnost generiranja posebnega magnetnega polja, ki je osnova delovanja asinhronskih in sinhronskih strojev. Če so tri navitja na statorju razmeščena simetrično po obodu in imajo toki skozi njih simetrirane fazne kote, se v rotorskem prostoru (prečno na os) vzpostavi magnetno polje, katerega vektor se enakomerno vrti s frekvenco tokov in ohranja absolutno vrednost. Takemu polju rečemo ''vrtilno magnetno polje''. Enako vrtenje vektorja magnetnega polja se doseže tudi z le dvema navitjema, ki sta na obodu statorja zamaknjena za kot 90 °, če sta le toka v njiju fazno premaknjena za enak kot<ref>Ta način najdemo v enofaznem asinhronskem motorju. Fazni zamik tokov skozi navitji se doseže s kondenzatorjem, ki je zaporedno vezan k enemu od navitij.</ref>.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Konstantna moč

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:48:25 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: V primeru simetričnih napetosti in tokov se izkaže, da je pretok energije skozi presek trase enakomeren, da je vsota produktov faznih tokov in napetosti (faznih moči) konsta…

V primeru simetričnih napetosti in tokov se izkaže, da je pretok energije skozi presek trase enakomeren, da je vsota produktov faznih tokov in napetosti (faznih moči) konstantna. To pa seveda še ne pomeni, da ni izmenjevanja energije oziroma jalove moči. Nasprotno, ko se energija ob eni vrvi v danem trenutku pretaka z nadpoprečno močjo, se z ravno toliko manjšo močjo pretaka energija ob ostalih dveh vrveh.

{{Hierarchy footer}}

Elektromagnetno polje v okolici daljnovodov

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:48:11 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Električno polje določajo harmonično spreminjajoči se naboji na vrveh in na zemlji. Poljska jakost nad tlemi seže do 1 kV/m (odvisno od napetostnega nivoja, lege faznih vr…

Električno polje določajo harmonično spreminjajoči se naboji na vrveh in na zemlji. Poljska jakost nad tlemi seže do 1 kV/m (odvisno od napetostnega nivoja, lege faznih vrvi in višine stebrov). Magnetno polje določajo harmonični toki v vrveh, gostota magnetnega pretoka nad tlemi seže do 5 μT (odvisno od vrste daljnovoda in višine vrvi). Največja gostota pretoka energije, ki brzi vzdolž daljnovodne trase, je tik ob vrveh, vstran od njih pa je že precej manjša.

{{Hierarchy footer}}

Daljnovodi

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:47:56 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Trifazni daljnovodi so ožilje, ki povezuje elektrarne, razdelilne postaje, transformatorje in velike in male koristnike električne energije. To poteka na več napetostnih niv…

Trifazni daljnovodi so ožilje, ki povezuje elektrarne, razdelilne postaje, transformatorje in velike in male koristnike električne energije. To poteka na več napetostnih nivojih. Daljnovodne vrvi so tri, nad njimi pa so na jamborih obešene še strelovodne, ki zaščitijo daljnovod. 400 kilovoltni daljnovod ima za vsako fazo dve vrvi (dvojček), ta ukrep zmanjšuje koronske izgube zaradi ionizacije zraka ob vrveh. Visokonapetostni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika. To funkcijo opravljata strelovodna vrv in zemlja. Daljnovodi so eno- ali dvosistemski. Pri dvosistemskem je vsaka trojica faznih vodnikov obešena na svoji strani stebrov. Prenašano navidezno moč daljnovoda določa produkt √3''U''m-f''I''f. Pri 400 kV sistemu je fazni tok okoli 1 kA, prenašana moč pa okoli 700 MVA<ref>Moč slovenskih elektraren je okoli 2 GW. Njihova teoretična ponudba je okroglih 50 GWh energije na dan.</ref>. V tej številki moremo črpati eno od prednosti trifaznega prenosa energije. Če bi bil prenos enofazen, bi sicer potrebovali dve vrvi, ena bi bila ozemljena, druga pa na fazni napetosti 230 kV. Pri toku 1 kA bi bila prenašana moč tretjina prejšnje. Trifazni prenos električne energije je očitno ekonomičnejši: »k dvema dodamo tretjo vrv in omogočimo trikratnost moči«.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Eksponentna funkcija

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:47:10 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Zapisali jo bomo v obliki <latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex> Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima kon…

Zapisali jo bomo v obliki

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex>

Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima konstanta ''a'' enoto s-1. Nekaj podobnega smo zasledili pri argumentu (kotu ''ωt'') harmonične funkcije. Poiščimo odvod eksponentne funkcije<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {(1 + s)^{1/s}} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left( {1 + 1/p}
\right)^p} \,=\, 1</latex></ref>:

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a(t \,+\, \Delta t)}} \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}}{\Delta t}\, = \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} - 1}{\Delta t}\,= \,a{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,- \,1}{a\Delta t}.</latex>

Limitiranje uženemo z vpeljavo spremenljivke ''s'',

<latex>s \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}}\, -\, 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\Delta t \,= \,\ln (1 \,+\, s){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,-\, 1}{a\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{s}{\ln (1 \,+ \,s)}\, =\, </latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{1}{{s^{ - 1}}\ln (1 \,+\, s)}\, =\, \frac{1}{\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^{ - 1}}\ln (1\, +\, s)}\, =\, \frac{1}{\ln \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {{(1 \,+\, s)}^{1/s}}} \,=\, \frac{1}{\ln {\mathop{\rm e}\nolimits} }\, = \,{\rm{1\,}}{\rm{,}}</latex>

kar končno da:

<latex>h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}.</latex>

Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo:

<latex>{h(t) \,=\, {\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}H{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}} {\rm{d}}t\, =\, {a^{ - 1}}{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}\, +\, C.}</latex>

'''Zgled 4'''
Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob ''t''0 = 0 prazen, je ''i'' = 10 mA.e-t / 2 s; ''Q''(''t''0) = 0 C. Ob ''t''0 = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e2, po šestih 10 mA / e3, po 10 s pa komaj še 10 mA / e5 &cong; 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde. ⇒ Račun je podoben prejšnjemu. Tok je odvod naboja:

<latex>\frac{{\rm{d}}Q(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, i(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}Q(t)\, =\, \int {i(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Q({t_1}) \,=\, Q({t_0}) \,+\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \, =\, </latex>

<latex>\int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot\, \int\limits_0^{10{\rm{ s}}} {{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot \,\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{1/2{\rm{ s}}}}\right)_0^{10{\rm{ s}}}\, =\, 20{\rm{ mC}} \,\cdot\, \left( {1\, -\, {{\rm{e}}^{ - 5}}} \right)\, \cong\, 19,87\,{\rm{ mC}}.</latex>

Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Harmonična funkcija.

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:46:50 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {…

Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\, =\, 1.</latex></ref>:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega (t\, +\, \Delta t) \,+\, \alpha } \right) \,-\, \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)}{\Delta t}\, =\,</latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\cos \left( {\omega \Delta t} \right)\, +\, \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\sin \left( {\omega \Delta t} \right) \,- \,\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)}{\Delta t} \,=\, </latex>

<latex> -\, \omega \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{1 \,-\, \cos \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, +\, \omega \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t} \,=\, </latex>

<latex> - \,\frac{\omega }{2}\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)}{\omega \Delta t/2}\, +\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, =\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right).</latex>

Če bi podobno postopali tudi pri kosinusni funkciji, bi dobili:

<latex>g(t) \,=\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \omega \cos (\omega t\, +\, \alpha )</latex>

<latex>f(t)\, =\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}f^\prime (t)\, =\, - \omega \sin (\omega t\, +\, \beta ).</latex>

Iz odvodov razberemo pravili. Odvod sinusne je kosinusna funkcija in odvod kosinusne je negativna sinusna funkcija. Pri odvodih se konstanta ''ω'' prenese iz argumenta v multiplikator s funkcijo. Za harmonični funkciji lahko brž najdemo še nedoločena integrala:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\,+\, \alpha ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\sin (\omega t\, +\, \alpha )} {\rm{d}}t \,= \, - {\omega ^{ - 1}}\cos (\omega t \,+\, \alpha ) + {C_1}</latex>

<latex>f(t) \,=\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\cos (\omega t\, +\, \beta )} {\rm{d}}t \,= \,{\omega ^{ - 1}}\sin (\omega t\, +\, \beta )\, +\, {C_2}.</latex>

'''Zgled 3'''
Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči ''Q''. Trenutno moč ''p''(''t'') naj določa izraz ''Q''sin(2''ωt''), v katerem je ''ω'' krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku ''t''0 = 0 s naj bo element brez energije, ''W''(''t''0) = 0 J. Določimo energijo v elementu v kasnejšem času ''t''1. ⇒ Moč je odvod energije, zato veljajo zveze:

<latex>\frac{{\rm{d}}W(t)}{{\rm{d}}t}\, = \,p(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}W(t) \,=\, \int {p(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}W({t_1}) \,=\, W({t_0})\, +\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \, =\, {\rm{ }}</latex>

<latex>\int\limits_0^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \,=\, \int\limits_0^{t_1} {Q\sin (2\omega t){\rm{d}}t}\, =\, Q\left( { - \frac{\cos (2\omega t)}{2\omega }} \right)_0^{t_1} \,=\, \frac{Q}{2\omega }\left( {1 \,-\, \cos (2\omega {t_1})} \right).</latex>

Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je ''Q'' / ''ω''. Poprečna energija je polovica tega, torej ''Q'' / 2''ω''. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide stokrat toliko.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Potenčna funkcija

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:46:28 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili. Naslednja naj bo morda kar funkcija ''f''(''t'') = ''t''3, njen odvod najdemo po definiciji: <latex>\matho…

Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili. Naslednja naj bo morda kar funkcija ''f''(''t'') = ''t''3, njen odvod najdemo po definiciji:

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{(t\, +\, \Delta t)}^3} \,- \,{t^3}}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{t^3}\, +\, 3{t^2}\Delta t \,+\, 3t{{(\Delta t)}^2}\, +\, {{(\Delta t)}^3} \,-\, {t^3}}{\Delta t}\, =\, </latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2} \,+ \,3t\Delta t\, +\, {{(\Delta t)}^2}} \right).</latex>

Ko Δ''t'' stremi k nič, se zadnja dva sumanda manjšata in postajata neznatna do prvega, zato je:

<latex>\frac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}t} \,=\, f^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2}\, +\, 3t\Delta t \,+\, {{(\Delta t)}^2}} \right)\, =\, 3{t^2}.</latex>

Odvod funkcije ''t''3 je funkcija 3''t''2, na podoben način bi izvedli odvod potenčne funkcije ''n''-te stopnje. Dobili bi:

<latex>{f(t) \,=\, {t^n}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow {\rm{ }}\,\,\,\,\,f^\prime (t) \,=\, \left( {t^n} \right)^\prime \, =\, n{t^{n \,-\, 1}}.}</latex>

Pravilo je: Eksponent potenčne funkcije se zmanjša za ena, prvotni pa se kot multiplikator seli pred novo potenčno funkcijo. Povsem enako pravilo velja tudi pri funkcijah necelih eksponentov.

Sedaj pa še nedoločen integral oziroma ''F''(''t'') funkcije ''f''(''t'') = ''t''3. Funkcija ''F''(''t'') je enaka vsoti četrtine potenčne funkcije četrte stopnje in poljubne konstante:

<latex>f(t) \,= \,{t^3}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}F(t) \,=\, \int {f(t)} {\rm{d}}t \,=\, \int {t^3} {\rm{d}}t\, =\, \frac{t^4}{4}\, +\,C\,\,,\,\,\,\,\,{\rm{ saj \,je}}</latex>

<latex>F^\prime (t)\, =\, \left( {\frac{t^4}{4}\, +\, C} \right)^\prime \, =\, \frac{1}{4}\left( {t^4} \right)^\prime\, +\,C^\prime \,= \,\frac{1}{4}\left( {4{t^3}} \right) \,+ \,0 \,= \,{t^3}.</latex>

Splošno pravilo je:

<latex>{f(t) \,=\, {t^n}\,\,,\,\,\,\,n\, \ne \, - 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F(t) \,= \,\int{t^n} {\rm{d}}t \,=\, \frac{t^{n + 1}}{n\, + \,1} \,+\, C.}</latex>

'''Zgled 1'''
V nekem časovnem intervalu določa tok skozi tuljavo induktivnosti ''L'' izraz ''i'' = ''at''2 - ''bt'' + ''c''. Izrazimo napetost na tuljavi. ⇒ Izhajamo iz enačbe tuljave:

<latex>u\, =\, L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Li^\prime \, =\, L(a{t^2}\, -\, bt\, +\, c)^\prime \, =\, L(2at \,-\, b).</latex>

'''Zgled 2.'''
Med časoma ''t''1 in ''t''2 podaja tok skozi upor upornosti ''R'' izraz ''i'' = ''at'' - ''b''. Izrazimo množino toplote med tema časoma. ⇒ Sproščeno toploto določa integral moči ''p'' = ''Ri''2:

<latex>\int\limits_{t_1}^{t_2} {p{\rm{d}}t} \, =\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {R{i^2}{\rm{d}}t}\, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {{{\left( {at \,- \,b} \right)}^2}{\rm{d}}t} \, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {\left( {{a^2}{t^2} \,- \,2abt \,+ \,{b^2}} \right){\rm{d}}t} \, =\, </latex>

<latex>R\left( {\frac{{a^2}{t^3}}{3} \,-\, ab{t^2} \,+\, {b^2}t\, +\, C} \right)_{t_1}^{t_2}\, =\, R\left( {\frac{{a^2}t_2^3}{3} \,-\, \frac{{a^2}t_1^3}{3}\, -\, abt_2^2 \,+\, abt_1^2\, +\, {b^2}{t_2} \,-\, {b^2}{t_1}} \right).</latex>

{{Hierarchy footer}}

Kazalo (višji nivo)

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:42:08 GMT

Andrej:

<index>
[[Glavna stran]]
= Osnovni pojmi izmeničnih električnih količin (višji nivo) =
== Periodična funkcija ==
=== Poprečna vrednost periodične funkcije ===
==== Srednja vrednost harmonične funkcije ====
=== Efektivna vrednost periodične funkcije ===
==== Efektivna vrednost harmonične funkcije ====
== Harmonična funkcija ==
=== Upor ===
=== Kondenzator ===
=== Tuljava ===
== Kompleksna števila v kompleksni ravnini ==
=== Kompleksna količina in kazalec ===
=== Kazalec harmonične količine ===
=== Grafično seštevanje (odštevanje) kazalcev ===
=== »Prehitevanje in zaostajanje kazalcev« ===
=== Grafično množenje (deljenje) kazalcev ===
=== Množenje in deljenje z »j« ===
=== Eulerjeva formula ===
= Lastnost in zakonitosti izmeničnih krogov (višji nivo) =
== Kirchhoffova zakona v kompleksni obliki ==
=== Upor (kazalci) ===
=== Kondenzator (kazalci) ===
=== Tuljava (kazalci) ===
== Impedanca in admitanca oziroma imitanca ==
=== Električni simbol kompleksnega elementa ===
=== Zaporedna vezava elementov ===
=== Zaporedno vezje upora in tuljave ===
=== Zaporedni nihajni krog ===
== Vzporedna vezava bremen ==
=== Vzporedno vezje upora in kondenzatorja ===
== Sestavljene vezave dvopolov ==
=== Realna in imaginarna dela imitanc ===
=== Nadomestno vezje sestavljenega dvopola ===
== Trenutna moč ==
=== Delovna ali aktivna moč ===
=== Jalova ali reaktivna moč ===
=== Kompleksna moč ===
=== Navidezna moč ===
= Zahtevnejše vezave v izmeničnem krogu (višji nivo) =
== Napetostni delilnik ==
== Merjenje impedance ==
== R-C delilnik ==
== Tokovni delilnik ==
== Prilagoditev ==
== Tokovni generator ==
== Transformator ==
=== Prestavno razmerje ===
=== Sekundarni tok ===
=== Primarni tok ===
=== Magnetilni in ravnotežni tok ===
=== Kazalčni diagram vezja ===
=== Moči transformatorja ===
=== Transformacije ===
=== Idealni transformator ===
=== Uporaba transformatorja ===
== Izmenično vezje z več viri ==
== Bilanca moči v izmeničnem vezju ==
= Realnost izmeničnih krogov (višji nivo) =
== Realen kondenzator ==
== Realna tuljava (višji nivo) ==
== Dielektrične izgube ==
== Kožni pojav ==
== Vrtinčne izgube ==
= Prehodni pojavi (višji nivo) =
== Električno vezje v prehodnem stanju ==
== Kako analizirati prehodni pojav ==
== Odvod funkcije ==
=== Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki ===
== Določen integral funkcije ==
=== Določen integral kot funkcija zgornje meje ===
=== Odvod funkcije zgornje meje določenega integrala ===
== Nedoločen integral funkcije ==
== Zveza med določenim in nedoločenim integralom ==
== Odvodi in integrali nekaterih elementarnih funkcij ==
=== Potenčna funkcija ===
=== Harmonična funkcija. ===
=== Eksponentna funkcija ===
== Polnjenje kondenzatorja ==
=== Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo ===
=== Polnjenje kondenzatorja s tokovnim virom ===
== Praznjenje kondenzatorja ==
== Polnjenje tuljave ==
== Izklop tuljave ==
== Praznjenje tuljave ==
= Resonančni pojavi (višji nivo) =
== Resonanca ==
== Zaporedni nihajni krog ter tokovna resonanca ==
=== Resonančna krivulja, pasovna širina in kvaliteta nihajnega kroga ===
=== Pasovna širina in kvaliteta zaporednega nihajnega kroga ===
== Vzporedni nihajni krog in napetostna resonanca ==
== Uporaba tokovne resonance ==
== Uporaba napetostne resonance ==
== Druga nihajna vezja ==
= Trifazni sistemi (višji nivo) =
== Trifazni generator ==
== Simetričen trifazni sistem napetosti ==
=== Modelno vezje sistema trifaznih napetosti ===
== Kazalci v elektroenergetiki ==
=== Kazalci faznih napetosti ===
=== Kazalci medfaznih napetosti ===
== Trifazno breme v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom ==
=== Trifazno breme v zvezdni vezavi brez nevtralnega vodnika ===
== Trifazno breme v trikotni vezavi ==
== Trifazni prenos energije in trifazna transformacija ==
=== Daljnovodi ===
=== Elektromagnetno polje v okolici daljnovodov ===
=== Konstantna moč ===
=== Vrtilno polje ===
=== Večfazni sistemi ===
= Kompenzacija jalove moči (višji nivo) =
== Nepopolna kompenzacija ==
</index>

Uporaba transformatorja

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:40:50 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Transformator zmore vhodno energijo praktično v celoti prenesti na sekundarno stran; pri tem med primarjem in sekundarjem zamenja nivo napetosti v razmerju prestave (''n''), n…

Transformator zmore vhodno energijo praktično v celoti prenesti na sekundarno stran; pri tem med primarjem in sekundarjem zamenja nivo napetosti v razmerju prestave (''n''), nivo toka pa v razmerju (''n''–1). Brez te možnosti, ki jo ponuja transformator, bi bil prenos električne energije na daljavo zelo drag. Zakaj? Inducirane napetosti sinhronskih generatorjev v elektrarnah so velikosti kV. Pri moči 300 MW bi morali biti preseki daljnovodnih žic debeline (dm)2, česar ne bi prenesli niti stebri in še manj ekonomija. Odgovor je tu: na strani generatorja je potrebno postaviti transformator, ki kV napetost pretvori na 100 kV, 100 kA tok pa na nivo kA, potrebne daljnovodne vrvi so zaradi tega tanjše, lažje in cenejše. Na strani porabnikov je potrebno zadevo ponoviti v nasprotno smer: od višje k nižji napetosti.

{{Hierarchy footer}}

Idealni transformator

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:40:32 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Označevanje simbola idealnega transformatorja. Obravnavani transformator je bil idealiziran, brez izgub in popolno skloplje…

[[Slika:OET2_a_poglavje_52_slika_06.svg‎|thumb|Označevanje simbola idealnega transformatorja. ]]
Obravnavani transformator je bil idealiziran, brez izgub in popolno sklopljenih navitij, idealni pa bi bil tisti, katerega jedro bi imelo neskončno permeabilnost (''R''m = 0) oziroma neskončne induktivnosti, da bi bila nična tako magnetilni tok kot moč za magnetenje jedra. Podatek idealnega transformatorja sta v tem primeru števili ''N''1 in ''N''2 oziroma razmerje ''n''. Električni simbol idealnega transformatorja je identičen prejšnjemu, le da impedance smiselno zamenjata števili ovojev (slika 6). Njegovi enačbi sta v resnici le dve, napetostna in tokovna:

<latex>{\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ {\underline U _{\mathrm{2} } } } = \frac{ {N_1 } }{ {N_2 } } = n}</latex> in <latex>{\frac{ {\underline I _{\mathrm{1} } } }{ {\underline I _2 } } = - \frac{ {N_2 } }{ {N_1 } } = - n^{ - 1} .}</latex>

Razmerje napetosti določa prestavno razmerje, razmerje protifaznih tokov pa recipročna vrednost prestavnega razmerja. Ko idealni transformator povezuje breme z virom, veljata še enačbi:<ref>S pomočjo idealnega transformatorja moremo oblikovati še drugačno nadomestno vezje brezizgubnega transformatorja: vzporedno k primarnemu navitju idealnega transformatorja pridružimo tuljavo z induktivnostjo primarnega navitja. Primarni tok se v tem primeru deli v magnetilni skozi tuljavo in v ravnotežni skozi primar idealnega transformatorja (torej v smislu izraza za primarni tok).</ref>

<latex>{\underline S _1 = \underline S _{\mathrm{b} }}</latex> in <latex>{\underline Z _1 = n^2 \underline Z _{\mathrm{b} } ,}</latex>

da sta vhodni in izhodni kompleksni moči enaki in da se impedanca bremena transformira na vhod s kvadratom prestave.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Transformacije

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:40:03 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Ustavimo se ob transformacijah oziroma pretvorbah, ki jih ponuja transformator. 1) Prva je zajeta v prestavnem razmerju ''n'' = ''N''1 / ''N''2: v tem,…

Ustavimo se ob transformacijah oziroma pretvorbah, ki jih ponuja transformator.

1) Prva je zajeta v prestavnem razmerju ''n'' = ''N''1 / ''N''2: v tem, da zmore transformator harmonično napetost z nižjega pretvoriti na višji nivo in obratno. Ta možnost je resnično dobrodošla in jo pogosto koristimo. Primer. Na voljo imamo omrežno (sinusno) napetost, ampak nam nivo 230 V ne ustreza; želimo višjo (ali nižjo) napetost za napajanje naprave. Nič lažjega: med omrežje in breme vežemo transformator, ki ima primerno razmerje n in težava je rešena.

2) Drugo pretvorbo transformatorja zasledimo v relacijah med kazalci tokov in delnih tokov v navitjih:

<latex>\underline I _1 = \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } } + \frac{ {( - \underline I _2 )} }{n} = \underline I _{1{\mathrm{m} } } + \underline I _{1{\mathrm{r} } } {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\frac{ {\underline I _2 } }{ {\underline I _{1{\mathrm{r} } } } } = - n = - \frac{ {N_1 } }{ {N_2 } }.</latex>

Tudi razmerje kazalcev ravnotežnega in sekundarnega toka določa prestavno razmerje, in sicer, da navitju z večjim številom ovojev pripada manjši tok, in obratno, in da sta si ta toka (zaradi minusa) protifazna.

3) Tretja pretvorba se dotika tako kompleksnih moči kot kazalca primarnega toka:

<latex>\underline S _1 = {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } (\underline I _1 )* = {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } \left( {\underline I _{1{\mathrm{m} } } - \underline I _2 /n} \right)* = {\mathrm{j} }Q_{ {\mathrm{1m} } } + \underline S _{\mathrm{b} } .</latex>

Razmerje med imaginarno močjo magnetenja in kompleksno močjo bremena je enako razmerju med kazalcem magnetilnega in kazalcem ravnotežnega toka. Pri projektiranju transformatorja stremimo, da je razmerje čim manjše,

<latex>\left| { {\mathrm{j} }Q_{ {\mathrm{1m} } } } \right| \ll \left| {\underline S _{\mathrm{b} } } \right|{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| {\underline I _{1{\mathrm{m} } } } \right| \ll \left| { - \underline I _2 /n} \right|{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| {\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } } } \right| \ll \left| { - \underline I _2 /n} \right| = \left| {\frac{ {\underline U _{\mathrm{2} } } }{ {n\underline Z _{\mathrm{b} } } } } \right| = \left| {\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ {n^2 \underline Z _{\mathrm{b} } } } } \right|,</latex>

da je delež magnetilnega v primarnem toku čim manjši.<ref>V normalnem obratovanju transformatorja naj bi bila absolutna vrednost magnetilnega toka manjša od odstotka absolutne vrednosti primarnega toka.</ref> To dosežmo, ko je

<latex>\left| {\underline U _{\mathrm{1} } /{\mathrm{j} }\omega L_1 } \right| \ll \left| {\underline U _{\mathrm{1} } /n^2 \underline Z _{\mathrm{b} } } \right|{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\left| {\underline Z _{\mathrm{b} } } \right| \ll \left| { {\mathrm{j} }\omega L_1 /n^2 } \right| = \left| { {\mathrm{j} }\omega L_2 } \right|,</latex>

oziroma ko reaktanca sekundarnega navitja zelo preseže absolutno vrednost impedance bremena. Če to dosežemo, velja naslednje:

<latex>\left| {\underline I _{1{\mathrm{m} } } } \right| \ll \left| { - \underline I _2 /n} \right|{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline I _1 \cong - n^{ - 1} \underline I _2 {\mathrm{ in } }\underline S _1 \cong \underline S _{\mathrm{b} } .</latex>

4) Četrta pretvorba je pretvorba impedance bremena v vhodno impedanco. Če magnetilni tok zanemarimo, potem je impedanca navideznega bremena enaka kvocientu kazalca napetosti vira in kazalca primarnega toka:

<latex>{\underline Z _1 = \frac{ {\underline U _1 } }{ {\underline I _1 } } \cong \frac{ {n\underline U _2 } }{ { - \underline I _2 /n} } = n^2 \frac{ {\underline U _2 } }{ {( - \underline I _2 )} } = n^2 \underline Z _{\mathrm{b} } .}</latex>

Transformator torej transformira tudi impedanco bremena. Pri prestavi pet in bremenski impedanci (2 – j3) <latex>\Omega</latex> je vrednost impedance navideznega bremena (50 – j75) <latex>\Omega</latex>. Ta možnost je aktualna v elektroniki.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Moči transformatorja

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:39:38 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Kazalčni diagram moči transformacije. Vhodno kompleksno moč ''S''1 (moč v transformator) določata kaz…

[[Slika:OET2_a_poglavje_52_slika_05.svg‎|thumb|Kazalčni diagram moči transformacije. ]]
Vhodno kompleksno moč ''S''1 (moč v transformator) določata kazalca primarne napetosti in toka; glede na izpisane relacije sledi:

<latex>\underline S _1 = {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } (\underline I _1 )* = {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } \left( {\underline I _{1{\mathrm{m} } } - \underline I _2 /n} \right)* = {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } (\underline I _{1{\mathrm{m} } } )* + {\textstyle{\frac{1}{2} } }n\underline U _{\mathrm{2} } n^{ - 1} ( - \underline I _2 )* = </latex>

<latex>{\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{1} } (\underline I _{1{\mathrm{m} } } )* + {\textstyle{\frac{1}{2} } }\underline U _{\mathrm{2} } ( - \underline I _2 )*.</latex>

Vhodna kompleksna moč je enak vsoti dveh: v prvi prepoznamo imaginarno moč magnetenja jedra (j<latex>Q</latex>1m), v drugi pa kompleksno moč bremena (''S''b):

<latex>{\underline S _1 = {\mathrm{j} }Q_{ {\mathrm{1m} } } + \underline S _{\mathrm{b} } {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }P_1 = P_{\mathrm{b} }}</latex> in <latex>{Q_1 = Q_{ {\mathrm{1m} } } + Q_{\mathrm{b} } .}</latex>

Vhodna delovna moč je enaka delovni moči bremena, vhodna jalova moč pa je za jalovo moč magnetenja jedra večja kot jalova moč bremena (slika 5).

{{Hierarchy footer}}

Kazalčni diagram vezja

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:39:23 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Kazalčni diagram tokov in napetosti transformatorja. Ugotovitve še najlepše povzame kazalčni diagram (slika 4). Risanje …

[[Slika:OET2_a_poglavje_52_slika_04.svg‎|thumb|Kazalčni diagram tokov in napetosti transformatorja. ]]
Ugotovitve še najlepše povzame kazalčni diagram (slika 4). Risanje se odvija takole: izberemo lego kazalca ''U''1; n = 2, kazalec ''U''2 je sofazen kazalcu ''U''1, kazalec toka ''I''1m zaostaja za ''U''1 za 90 °, ''Z''b naj bo induktivnega značaja, kazalec toka (–''I''2) zaostaja za kot <latex>\phi</latex> za ''U''2, kazalec ravnotežnega toka ''I''1r je sofazen z (–''I''2), kazalec toka ''I''1 je enak vsoti kazalcev ''I''1m in ''I''1r. To je vse.

{{Hierarchy footer}}

Magnetilni in ravnotežni tok

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:39:01 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Jedro transformatorja vzbujata dve magnetni napetosti (''N''1''I''1 in ''N''2''I''2); glede na oznaki tokov (''I''<…

Jedro transformatorja vzbujata dve magnetni napetosti (''N''1''I''1 in ''N''2''I''2); glede na oznaki tokov (''I''1 in ''I''2) skozi navitji (v piki) se magnetni napetosti podpirata. Kazalec rezultančne magnetne napetosti,

<latex>N_1 \underline I _1 + N_2 \underline I _2 = N_1 \left( {\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } } - \frac{ {\underline I _2 } }{n} } \right) + N_2 \underline I _2 = N_1 \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } }\underbrace{ - N_1 n^{ - 1} \underline I _2 + N_2 \underline I _2 }_0 = N_1 \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } },</latex>

je povsem neodvisen od sekundarnega toka, sicer pa tolikšen, kot da bi jedro magnetil le prvi del primarnega toka, magnetna napetost drugega dela toka pa bi pri tem zgolj držala ravnotežje z magnetno napetostjo sekundarnega toka; to dvoje je razlog, da prvi del primarnega toka imenujemo ''magnetilni tok'' ''I''1m, drugega pa ''ravnotežni tok'' (''I''1r):

<latex>{\underline I _{1{\mathrm{m} } } = \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } }}</latex> in <latex>{\underline I _{ {\mathrm{1r} } } = - \frac{ {\underline I _2 } }{n} = - \frac{ {N_2 } }{ {N_1 } }\underline I _2 {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline I _1 = \underline I _{1{\mathrm{m} } } + \underline I _{ {\mathrm{1r} } } .}</latex>

{{Hierarchy footer}}

Primarni tok

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:38:46 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Iz napetostne enačbe drugega navitja izrazimo primarni tok. Ko vanj vpletemo še prestavo, dobimo: <latex>\underline U _{\mathrm{2} } = {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } …

Iz napetostne enačbe drugega navitja izrazimo primarni tok. Ko vanj vpletemo še prestavo, dobimo:

<latex>\underline U _{\mathrm{2} } = {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega L_2 \underline I _2 {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline I _1 = \frac{ {\underline U _{\mathrm{2} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } } } - \sqrt {\frac{ {L_2 } }{ {L_1 } } } \underline I _2 = \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 } } + \frac{ {( - \underline I _2 )} }{n}.</latex>

Kaj vidimo? Primarni tok oblikuje vsota dveh sumandov: prvega določata kazalec napetosti in impedanca primarja, drugega pa kazalec toka v bremenu. V nadaljevanju bomo spoznali, da ima vsak od njiju določen fizikalni pomen.

{{Hierarchy footer}}

Sekundarni tok

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:38:31 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Če je temu tako, potem sta v enakem razmerju tudi kazalca napetosti vira in napetosti bremena, iz česar sledi izraz za kazalec toka skozi breme: <latex>n = \frac{ {\underli…

Če je temu tako, potem sta v enakem razmerju tudi kazalca napetosti vira in napetosti bremena, iz česar sledi izraz za kazalec toka skozi breme:

<latex>n = \frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ {\underline U _{\mathrm{2} } } } = \frac{ {\underline U _{\mathrm{g} } } }{ {\underline U _{\mathrm{2} } } }{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }\underline U _{\mathrm{2} } = \frac{ {\underline U _{\mathrm{g} } } }{n}{\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ (} } - \underline I _2 ) = \frac{ {\underline U _{\mathrm{2} } } }{ {\underline Z _{\mathrm{b} } } } = \frac{ {\underline U _{\mathrm{g} } } }{ {n\underline Z _{\mathrm{b} } } }.</latex>

Preseneča, da je tok bremena povsem neodvisen od reaktanc transformatorja.

{{Hierarchy footer}}

Prestavno razmerje

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:38:16 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Prvo značilnost transformatorja dobimo, ko med seboj delimo kazalca napetosti navitij in upoštevamo izraze za induktivnosti: <latex>\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{…

Prvo značilnost transformatorja dobimo, ko med seboj delimo kazalca napetosti navitij in upoštevamo izraze za induktivnosti:

<latex>\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ {\underline U _{\mathrm{2} } } } = \frac{ { {\mathrm{j} }\omega L_1 \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } \underline I _2 } }{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 L_2 } \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega L_2 \underline I _2 } } = \frac{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 } } }{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_2 } } } \cdot \frac{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 } \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_2 } \underline I _2 } }{ { {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_1 } \underline I _1 + {\mathrm{j} }\omega \sqrt {L_2 } \underline I _2 } } = \sqrt {\frac{ {L_1 } }{ {L_2 } } } = \frac{ {N_1 } }{ {N_2 } }.</latex>

Verjetno preseneča dejstvo, da sta kazalca napetosti navitj v razmerju števila ovojev (zgolj to in nič več):

<latex>{\frac{ {\underline U _{\mathrm{1} } } }{ {\underline U _{\mathrm{2} } } } = \frac{ {N_1 } }{ {N_2 } } = n,}</latex>

Število ''n'' je ''prestavno razmerje''. Primer. Razmerje med števili ovojev navitij transformatorja naj bo pet. Ob priključitvi enega od njih na omrežno napetost efektivne vrednosti 230 V bi med sponkama drugega navitja mogli izmeriti napetost efektivne vrednosti 230 V / 5 = 46 V ali pa 230 V × 5 = 1150 V; odvisno od tega, katero od navitij bi bilo primarno.

{{Hierarchy footer}}

Efektivna vrednost harmonične funkcije

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:37:43 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Pri harmonični napetosti (toku) <latex>u = u(t) = U_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _u ),</latex> bomo postopali nekoliko drugače in se izognili nepregledni vsoti…

Pri harmonični napetosti (toku)

<latex>u = u(t) = U_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _u ),</latex>

bomo postopali nekoliko drugače in se izognili nepregledni vsoti. Pišimo:<ref><latex>2\cos ^2 x = (1 + \cos 2x).</latex></ref>

<latex>U_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } }^{\mathrm{2} } = \overline {u^2 } = \overline {U_{\mathrm{m} }^{\mathrm{2} } \cos ^2 (\omega t + \alpha _u )} = \overline { {\textstyle{\frac{1}{2} } }\left( {1 + \cos 2(\omega t + \alpha _u )} \right)} U_{\mathrm{m} }^{\mathrm{2} } = </latex>

<latex>{\textstyle{\frac{1}{2} } }\left( {1 + \overline {\cos 2(\omega t + \alpha _i )} } \right)U_{\mathrm{m} }^{\mathrm{2} } = {\textstyle{\frac{1}{2} } }U_{\mathrm{m} }^{\mathrm{2} } .</latex>

Izraz pod črto smo preoblikovali, se sklicevali na ničelno srednjo vrednost harmonične funkcije in dobili zelo enostaven rezultat:

<latex>{U_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } } = U_{\mathrm{m} } /\sqrt {\mathrm{2} } \cong {\mathrm{0,707} }U_{\mathrm{m} } {\mathrm{ } } \Rightarrow {\mathrm{ } }U_{\mathrm{m} } = \sqrt {\mathrm{2} } U_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } } \cong {\mathrm{1,414} }U_{ {\mathrm{ef} }{\mathrm{.} } } .}</latex>

Efektivna vrednost sinusne funkcije ustreza (okoli) 71 % temenske vrednosti.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Srednja vrednost harmonične funkcije

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:37:14 GMT

Andrej: Nova stran z vsebino: Tokrat imejmo harmonični tok <latex>i</latex>: <latex>i = i(t) = I_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _i ).</latex> Če bi periodo <latex>T</latex> harmonične funkci…

Tokrat imejmo harmonični tok <latex>i</latex>:

<latex>i = i(t) = I_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _i ).</latex>

Če bi periodo <latex>T</latex> harmonične funkcije razdelili na <latex>n=2m</latex> enakih intervalov <latex>\Delta t</latex>, potem bi se v oklepaju za <latex>U_{sr}</latex> nahajali sumandi, ki se paroma razlikujejo le za predznak, saj se za toliko razlikujeta tudi vrednosti harmonične funkcije pri <latex>T_k</latex> in <latex>T_k + T/2</latex>. Od tod sledi: srednja vrednost harmonične funkcije je enaka nič:

<latex>I_{ {\mathrm{sr} }{\mathrm{.} } } = \overline i = \overline {i(t)} = \overline {I_{\mathrm{m} } \cos (\omega t + \alpha _i )} = I_{\mathrm{m} } \overline {\cos (\omega t + \alpha _i )} = 0.</latex>

{{Hierarchy footer}}

Kazalo (višji nivo)

Andrej — Sun, 27 Jun 2010 12:33:47 GMT

Andrej:

<index>
[[Glavna stran]]
= Osnovni pojmi izmeničnih električnih količin (višji nivo) =
== Periodična funkcija ==
=== Poprečna vrednost periodične funkcije ===
==== Srednja vrednost harmonične funkcije ====
=== Efektivna vrednost periodične funkcije ===
==== Efektivna vrednost harmonične funkcije ====
== Harmonična funkcija ==
=== Upor ===
=== Kondenzator ===
=== Tuljava ===
== Kompleksna števila v kompleksni ravnini ==
=== Kompleksna količina in kazalec ===
=== Kazalec harmonične količine ===
=== Grafično seštevanje (odštevanje) kazalcev ===
=== »Prehitevanje in zaostajanje kazalcev« ===
=== Grafično množenje (deljenje) kazalcev ===
=== Množenje in deljenje z »j« ===
=== Eulerjeva formula ===
= Lastnost in zakonitosti izmeničnih krogov (višji nivo) =
== Kirchhoffova zakona v kompleksni obliki ==
=== Upor (kazalci) ===
=== Kondenzator (kazalci) ===
=== Tuljava (kazalci) ===
== Impedanca in admitanca oziroma imitanca ==
=== Električni simbol kompleksnega elementa ===
=== Zaporedna vezava elementov ===
=== Zaporedno vezje upora in tuljave ===
=== Zaporedni nihajni krog ===
== Vzporedna vezava bremen ==
=== Vzporedno vezje upora in kondenzatorja ===
== Sestavljene vezave dvopolov ==
=== Realna in imaginarna dela imitanc ===
=== Nadomestno vezje sestavljenega dvopola ===
== Trenutna moč ==
=== Delovna ali aktivna moč ===
=== Jalova ali reaktivna moč ===
=== Kompleksna moč ===
=== Navidezna moč ===
= Zahtevnejše vezave v izmeničnem krogu (višji nivo) =
== Napetostni delilnik ==
== Merjenje impedance ==
== R-C delilnik ==
== Tokovni delilnik ==
== Prilagoditev ==
== Tokovni generator ==
== Transformator ==
=== Prestavno razmerje ===
=== Sekundarni tok ===
=== Primarni tok ===
=== Magnetilni in ravnotežni tok ===
=== Kazalčni diagram vezja ===
=== Moči transformatorja ===
=== Transformacije ===
=== Idealni transformator ===
=== Uporaba transformatorja ===
== Izmenično vezje z več viri ==
== Bilanca moči v izmeničnem vezju ==
= Realnost izmeničnih krogov (višji nivo) =
== Realen kondenzator ==
== Realna tuljava (višji nivo) ==
== Dielektrične izgube ==
== Kožni pojav ==
== Vrtinčne izgube ==
= Prehodni pojavi (višji nivo) =
== Električno vezje v prehodnem stanju ==
== Kako analizirati prehodni pojav ==
== Odvod funkcije ==
=== Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki ===
== Določen integral funkcije ==
=== Določen integral kot funkcija zgornje meje ===
=== Odvod funkcije zgornje meje določenega integrala ===
== Nedoločen integral funkcije ==
== Zveza med določenim in nedoločenim integralom ==
== Odvodi in integrali nekaterih elementarnih funkcij ==
=== Potenčna funkcija ===
=== Harmonična funkcija ===
=== Eksponentna funkcija ===
== Polnjenje kondenzatorja ==
=== Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo ===
=== Polnjenje kondenzatorja s tokovnim virom ===
== Praznjenje kondenzatorja ==
== Polnjenje tuljave ==
== Izklop tuljave ==
== Praznjenje tuljave ==
= Resonančni pojavi (višji nivo) =
== Resonanca ==
== Zaporedni nihajni krog ter tokovna resonanca ==
=== Resonančna krivulja, pasovna širina in kvaliteta nihajnega kroga ===
=== Pasovna širina in kvaliteta zaporednega nihajnega kroga ===
== Vzporedni nihajni krog in napetostna resonanca ==
== Uporaba tokovne resonance ==
== Uporaba napetostne resonance ==
== Druga nihajna vezja ==
= Trifazni sistemi (višji nivo) =
== Trifazni generator ==
== Simetričen trifazni sistem napetosti ==
=== Modelno vezje sistema trifaznih napetosti ===
== Kazalci v elektroenergetiki ==
=== Kazalci faznih napetosti ===
=== Kazalci medfaznih napetosti ===
== Trifazno breme v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom ==
=== Trifazno breme v zvezdni vezavi brez nevtralnega vodnika ===
== Trifazno breme v trikotni vezavi ==
== Trifazni prenos energije in trifazna transformacija ==
=== Daljnovodi ===
=== Elektromagnetno polje v okolici daljnovodov ===
=== Konstantna moč ===
=== Vrtilno polje ===
=== Večfazni sistemi ===
= Kompenzacija jalove moči (višji nivo) =
== Nepopolna kompenzacija ==
</index>

Praznjenje tuljave

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:53:43 GMT

Andrej:

Kot primer nekočljivega izklopa tuljave naj služi vezje z dvema stikaloma (slika 10). Ob ''t''0 = 0 s sprožimo s prvim polnjenje, ki se pri toku skozi upora in tuljavo polni s časovno konstanto ''τ''12 = ''L'' / (''R''1 + ''R''2), z drugim stikalom pa v trenutku ''t''1 s kratkostičenjem vzpostavimo dva ločena tokokroga: v levem določata tok vir in prvi upor, v desnem tokokrogu pa se odvija praznjenje tuljave.

Naj ima tok tuljave ob času ''t''1 vrednost ''I''1. Enačba druge zanke je naslednja:

<latex>t\,\, \textgreater\,\, {t_1}\,:\,\,{\rm{ }}{u_2}\, +\, {u_L}\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\,in \,\,\,\,\,}}{u_2}\, = \,{R_2}i{\rm{\,\,\,\,\, ter \,\,\,\,\, }}{u_L}\, = \,L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{R_2}i\, +\, {u_L}\, =\, 0.</latex>

Zadnjo enačbo odvajajmo, dobimo enačbo za napetost in časovno konstanto:

<latex>{R_2}\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }}
\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\frac{L}{R_2}\frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\,+\, {u_L} \,=\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{\tau _2}\, =\, \frac{L}{R_2} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{\tau _2}\frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\, +\, {u_L}\, =\, 0{\rm{ }}.</latex>

Možna rešitev za napetost na tuljavi je:

<latex>{u_L}\, =\, B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/{\tau _2}}}.</latex>

Tik po vklopu drugega stikala ima tok skozi tuljavo vrednost ''I''1, kar da:

<latex>t \,=\, {t_1}\, +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{R_2}\underbrace {i({t_1}\, +\, 0)}_{I_1}\, +\, {u_L}({t_1} \,+\,0) \,= \,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_L}({t_1} \,+\, 0)\, = \, - {R_2}{I_1}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}</latex>

<latex>{u_L}\, =\, B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/{\tau _2}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_L}({t_1}\, +\,0) \,=\, - {R_2}{I_1} \,= \,B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {t_1}/{\tau _2}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}B\, =\,- {R_2}{I_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{t_1}/{\tau _2}}}.</latex>

Napetost tuljave določa funkcija

<latex>{{u_L}\, = \, - {R_2}{I_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ -\, (t\, -\, {t_1})/{\tau _2}}}.}</latex>

Napetost na drugem uporu in tok ob praznjenju tuljave sta (slika 11):

<latex>{{u_2}\, =\, - {u_L} \,= \,{R_2}{I_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \,(t\, -\, {t_1})/{\tau _2}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i\, =\, {u_2}/{R_2} \,=\, {I_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \,(t\, -\, {t_1})/{\tau _2}}}.}</latex>

Po nekaj časovnih konstantah se tuljava izprazni, akumulirana energija se v celoti pretvori v toploto v drugem uporu in brez nevšečnih iskrenj lahko izklopimo obe stikali, tuljava je pripravljena za nov vklop. Zanimiv je morda še tok skozi drugo stikalo:

<latex>{i_{\rm{s}}}\, =\, U/{R_1} \,-\, {I_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \,(t \,-\, {t_1})/{\tau _2}}}.</latex>.

{{Hierarchy footer}}

Izklop tuljave

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:51:04 GMT

Andrej:

Izklop tokokroga, v katerem je tuljava s tokom in energijo, je problematičen. Zakaj? Če bi v zgornjem vezju stikalo razklenili, bi tok v tuljavi strmo usahnil (energijo bi docela izgubila), vendar bi se v tem kratkem času odvijale določene nevšečnosti. Katere? Sklenjeno stikalo je stik dveh prevodnih površin. Ob razklepanju kontaktov se naležna površina med njima manjša, prehodna upornost med kontaktoma se veča in večata se tudi gostota toka in moč, kar kontakta v hipu zagreje, da zrak ob njiju ionizira in postane prevoden. V trenutku ločevanja kontaktov se med njima potegne električni oblok (iskra), ki določen čas celo vzdržuje sklenjen tokokrog. V tem kratkem času se prvotna energija tuljave skoraj v celoti prelevi v toploto v kontaktih, v katerih povzroči deformacije, ki izdatno skrajšujejo življenjsko dobo stikala<ref>V izogib neljubim posledicam obloka se za preklopne manipulacije v izmeničnih vezjih, ki vključujejo tuljave relativno velikih induktivnosti, uporabljajo posebna elektronska stikala, ki se razklenejo ravno takrat, ko ima tok skozi njih vrednost nič.</ref>.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Polnjenje tuljave

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:50:17 GMT

Andrej:

Polnilno vezje sestavljajo napetostni vir, stikalo, upor in tuljava (slika 8). Trenutek vklopa naj bo ''t''0 = 0 s. Pred tem je vezje »mrtvo«, toka ni in tuljava je brez energije. Tik po vklopu je tok v zanki še vedno enak nič (saj se v tuljavi, v kateri ga prej ni bilo, ne more kar pojaviti). To pomeni, da je prvi hip tudi napetost na uporu enaka nič in da je napetost vira v celotni na tuljavi. Če pa je, potem ima odvod toka v začetku vrednost d''i'' / d''t'' = ''uL'' / ''L'', zaradi katere začneta tok in napetost na uporu naraščati, napetost na tuljavi pa upadati. Ker je ta vse manjša, se upočasnjuje tudi naraščanje toka. Po daljšem času doseže največjo vrednost, določata pa jo napetost vira in upornost upora. Tok se ne spreminja več, napetost na tuljavi je enaka nič in napetost na uporu je enaka napetosti vira.

Povedano pretvorimo v izraze. Napišimo zančno enačbo za poljuben trenutek ''t'' po vklopu stikala in izrazimo napetosti na uporu in tuljavi:

<latex>t\,\, \textgreater\,\, {t_0}\,:\,\,\,{\rm{ }} - \,U \,+ \,{u_R} \,+\, {u_L}\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in\,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{ \,\,\,\,\,ter\,\,\,\,\, }}{u_L}\, =\,L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} \,-\, U\, +\, Ri\, +\, {u_L} \,=\, 0.</latex>

Nadaljujemo z odvajajem zadnje enačbe:

<latex>R\,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\frac{L}{R}\frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\, +\, {u_L} \,=\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau\, =\,\frac{L}{R} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}{u_L}}{{\rm{d}}t}\, +\, {u_L} \,=\, 0{\rm{ }}{\rm{. }}</latex>

Časovni konstanti ''τ'' ustreza tokrat kvocient ''L'' / ''R''. Možno rešitev za napetost na tuljavi iščemo spet v obliki produkta konstante in eksponentne funkcije:

<latex>{u_L}\, =\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.</latex>

Rekli smo, da je tok tik po vklopu še vedno enak nič:

<latex>t \,=\, {t_0}\, +\, 0\, =\, + 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} - \,U\, +\, \underbrace {Ri( + 0)}_0 \,+\, {u_L}( + 0)\, =\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_L}( + 0)\, =\, U.</latex>

Tik po vklopu stikala je napetost tuljave enaka napetosti vira. Sledi:

<latex>{u_L}\, =\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_L}( + 0) \,=\, U\, =\,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A \,=\, U.</latex>

Napetost tuljave določa funkcija

<latex>{{u_L} \,=\, U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>

Iz nje sledita še napetost na uporu in tok v zanki (slika 9):

<latex>{{u_R}\, =\, U\, -\, {u_L} \,= \,U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right){\rm{ }}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i \,=\, {u_R}/R \,=\, (U/R)\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}}\right).}</latex>

Ob polnjenju se v tuljavi kopiči magnetna energija,

<latex>{W_{\rm{m}}}(t)\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}L{i^2}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}L{(U/R)^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{m}}}(5\tau )\, \cong \,{\textstyle{1 \over 2}}L{(U/R)^2}.</latex>

Po petih časovnih konstantah se bo v magnetnem polju tuljave akumulirala praktično že vsa možna energija. V uporu se sprošča joulska toplota z močjo ''Ri''2 še tudi kasneje, ko prehodni pojav že v celoti izzveni.

{{Hierarchy footer}}

Polnjenje kondenzatorja s tokovnim virom

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:49:17 GMT

Andrej:

Spremenjeno polnilno vezje vzbuja realen tokovni vir (slika 7). Pred vklopom stikala ob ''t''0 = 0 s naj bo kondenzator prazen. Nadaljujemo takole. Zunanji in notranji upor združimo v nadomestnega z upornostjo

<latex>{R_1}\, =\, R{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}/(R \,+\, {R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}).</latex>

Tokovnemu viru s tokom ''I''g in vzporednemu uporu z upornostjo ''R''1 priredimo realen napetostni vir, tvorita ga idealni vir z napetostjo ''R''1''I''g in zaporedni upor z upornostjo ''R''1, torej vezje, ki je (skupaj s kondenzatorjem) enako prvotnemu polnilnemu vezju. Če je pa tako, smemo od tam prepisati tudi rešitev:

<latex>{u_C} \,= \,{R_1}{I_{\rm{g}}}\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, = \,\frac{R{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}{R + {R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}{I_{\rm{g}}}\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right){\rm{ \,\,\,\,\,in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, {R_1}C.</latex>

Iz nje prepoznavamo vlogo upornosti ''R'' oziroma upora, ki je v izhodiščnem vezju vzporeden h kondenzatorju (da določa končno napetost kondenzatorja, h kateri se eksponentno približuje), pridobimo pa lahko tudi rešitve za druge količine v prvotnem polnilnem vezju, in sicer:

<latex>{u_R}\, =\, {u_C},\,\,\,{\rm{ }}{i_C}\, = \,C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, C{R_1}{I_{\rm{g}}}\frac{1}{\tau }{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }} \,=\, {I_{\rm{g}}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{,\,\,\,\, }}{i_R}\, =\, \frac{u_R}{R}\, =\,\frac{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}{R\, +\, {R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}{I_{\rm{g}}}\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right),</latex>

<latex>i\, =\, {i_C} \,+ \,{i_R} \,=\, {I_{\rm{g}}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, + \,\frac{{{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}}{{R \,+ \,{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}}{I_{\rm{g}}}\left( {1 \,- \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, \frac{{{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}}{{R\, +\, {R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}}{I_{\rm{g}}}\, + \,\frac{R}{{R \,+ \,{R_{{\rm{not}}{\rm{.}}}}}}{I_{\rm{g}}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.</latex>

Tik po vklopu je tok skozi stikalo enak ''I''g, po nekaj časovnih konstantah pa se ustali na vrednosti, ki jo določa delilnik uporov upornosti ''R'' in ''R''not. Brž, ko bi stikalo ob nekem poznejšem času izklopili, bi se kondenzator izpraznil skozi njemu vzporeden upor.

{{Hierarchy footer}}

Praznjenje kondenzatorja

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:48:10 GMT

Andrej:

Prvotno vezje dogradimo s še enim uporom in s tripolnim stikalom (slika 5). Ko je pretikalo v položaju 1, se kondenzator polni s tokom skozi upor upornosti ''R''1, ko pa je v položaju 2, se kondenzator prazni s tokom skozi oba upora. Takole: ob času ''t''0, ko pretikalo pretaknemo v prvi položaj, naj bo kondentator prazen. Zatem se začne polniti in ob času ''t''1 doseže npr. napetost ''U''1, nakar pretikalo pretaknemo v drugo lego. Vzpostavi se vezje, v katerem ni vira, pridružuje pa se upor upornosti ''R''2. Za katerikoli čas ''t'' > ''t''1 zapišimo zančno in povezujoče enačbe:

<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_1}:\,\,{\rm{ }}{u_1}\, +\, {u_2} \,+\, {u_C}\, = \,0,\,\,\,\,{\rm{ }}{u_1}\, = \,{R_1}i,\,\,\,\,{\rm{ }}{u_2}\, =\, {R_2}i,\,\,\,\,{\rm{ }}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ (}}{R_1}\, +\, {R_2})i\, + \,{u_C}\, =\, 0.</latex>

Napetostno enačbo odvedemo in vanjo uvedemo enačbo kondenzatorja:

<latex>{\rm{(}}{R_1}\, +\, {R_2})\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{{\rm{d}}{u_c}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ (}}{R_1} \,+\, {R_2})\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C} \,=\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ (}}{R_1}\, +\, {R_2})C\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Za produkt vsote upornosti in kapacitivnosti vpeljemo konstanto ''τ''12, kar dá:

<latex>{\rm{(}}{R_1}\, +\, {R_2})C\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, = \,0\,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,{\tau _{12}}\, = \,{\rm{(}}{R_1}\, +\,{R_2})C{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{\tau _{12}}\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Enačba je podobna prejšnji za polnilni tok, zadošča ji funkcija:

<latex>i\, =\, B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/{\tau _{12}}}}.</latex>

Ker je napetost na kondenzatorju tik po preklopu še vedno enaka ''U''1, je:

<latex>t \,= \,{t_1} \,+\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ (}}{R_1} \,+\, {R_2})i({t_1} \,+\, 0)\, +\, {u_C}({t_1}\, +\, 0) \,=\,{\rm{(}}{R_1}\, +\, {R_2})i({t_1}\, +\, 0) \,+\, {U_1} \,=\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}</latex>

<latex>i({t_1} \,+\, 0)\, =\, - \frac{U_1}{{R_1} \,+\, {R_2}}.</latex>

Predznak kaže na to, da je smer praznilnega nasprotna smeri polnilnega toka. Ko to vrednost upoštevamo v funkciji praznilnega toka, dobimo konstanto ''B'',

<latex>i\, =\, B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/{\tau _{12}}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i({t_1}\, +\, 0)\, =\,- \frac{U_1}{{R_1} \,+\, {R_2}}\, =\, B{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {t_1}/{\tau _{12}}}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}B \,=\, - \frac{U_1}{{R_1} \,+\, {R_2}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{t_1}/{\tau _{12}}}},</latex>

in tudi rešitev za ta tok:

<latex>{i\, =\, - \frac{U_1}{{R_1}\, +\, {R_2}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ -\, (t\, -\, {t_1})/{\tau _{12}}}}.}</latex>

Dinamiko določa konstanta ''τ''12, za sosledje je odgovoren čas ''t'' - ''t''1, ki ustreza času, štetemu od zadnjega preklopa (slika 6). Napetosti na kondenzatorju in uporih so:

<latex>{u_1} \,=\, {R_1}i \,=\, - \frac{R_1}{{R_1}\, +\, {R_2}}{U_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \,(t \,-\, {t_1})/{\tau _{12}}}}{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_2} \,=\, {R_2}i \,=\, - \frac{R_2}{{R_1}\, + \,{R_2}}{U_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - \,(t\, -\,{t_1})/{\tau _{12}}}}</latex>

<latex>{u_C}\, =\, - \,{u_1}\, -\, {u_2} \,=\, {U_1}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ -\, (t\, -\, {t_1})/{\tau _{12}}}}.</latex>

Vso toploto, ki se sprosti v uporih od ''t''1 do kasnejšega časa ''t''2, določa integral:

<latex>{W_{\rm{t}}}({t_2}) \,-\, {W_{\rm{t}}}({t_1}) \,=\, ({R_1} \,+\, {R_2})\int\limits_{t_1}^{t_2} {{i^{\rm{2}}}{\rm{d}}t} \, =\,\frac{U_1^2}{{R_1}\, +\, {R_2}}\int\limits_{t_1}^{t_2} {{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ -\, 2(t \,-\, {t_1})/{\tau _{12}}}}{\rm{d}}t}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}CU_1^2\left( {1\, -\, {{\rm{e}}^{ - \,2({t_2} \,-\, {t_1}{\rm{)/}}{\tau _{12}}}}} \right).</latex>

Ko je čas ''t''2 - ''t''1 nekajkratnik časovne konstante, je množina toplote v uporih enaka ravno tisti, ki se je do zadnjega preklopa akumulirala v kondenzatorju.

{{Hierarchy footer}}

Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:46:32 GMT

Andrej:

Z omenjenim vezjem lahko polnimo tudi že predhodno delno naelektren kondenzator (slika 3), njegova prednapetost naj bo ''U''0. Ob vklopu, ''t''0 = 0 s, bo vrednost toka največja (določata jo razlika napetosti vira ''U'' in prednapetosti ''U''0 in upornost upora). V nadaljevanju bo tok plahnel po prej ugotovljeni eksponentni odvisnosti,

<latex>{i\, =\, \frac{U \,-\, {U_0}}{R}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }},}</latex>

napetost ''uC'' pa bo od začetne ''U''0 rasla in se bližala vrednosti ''U'' (slika 52-4)<ref>Rešitev je takšna, kot da bi v prejšnjih časovnih diagramih ordinatno os premaknili za čas, kateremu ustreza začetna vrednost polnilnega toka.</ref>:

<latex>{{u_C}\, =\, {U_0}\, +\, (U \,- \,{U_0})\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>

'''Zgled 2'''
Kondenzator najprej naelektrimo na polno napetost z virom napetosti ''U'' ter stikalo izključimo, nato kondenzator odklopimo in ga v obratni polariteti spet priklopimo v vezje. Njegova prednapetost ''U''0 je tedaj ravno -''U''. Zatem stikalo spet vključimo. Določimo čas t*, ob katerem bo napetost kondenzatorja enaka 0 V. ⇒ Prejšnjo enačbo zapišemo za trenutek ''t''* ter ga iz nje izračunamo:

<latex>{u_C}(t) \,=\, {U_0}\, +\, (U \,-\, {U_0})\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}({t^*})\, = \, -\, U\, +\, (U\, +\, U))\left( {1 - {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {t^*}/\tau }}} \right) = 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, </latex>

<latex>1 \,- \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {t^*}/\tau }} \,=\, 1/2{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{t^*}/\tau }}\, = \,2{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{t^*}/\tau\, = \,\ln 2{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{t^*} \,= \,\tau \ln 2 \,\cong\, 0,693\, \cdot\, \tau .</latex>

V času 69 % časovne konstante bo napetost na kondenzatorju ravno nič voltov, takoj zatem pa se bo pričela vzpenjati k vrednosti ''U''.

V preteklih primerih smo napetostni vir smatrali za idealen, da ima notranjo upornost enako nič. Brž ko bi ne bil takšen, bi se njegova notranja upornost ''R''not. pridružila upornosti polnilnega predupora. Časovna konstanta ''τ'' bi bila takrat nekoliko daljša, ''τ'' = (''R''not + ''R'')''C'', enako tudi proces polnjenja, končna napetost kondenzatorja pa bi bila enaka napetosti odprtih sponk vira.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Polnjenje kondenzatorja

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:44:59 GMT

Andrej:

Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 1). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''0 = 0 s, prazen, da je ''uC''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''uC'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''uC'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.

Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek ''t'' > ''t''0 in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:

<latex>t\,\, \textgreater \,\,{t_0}:{\rm{ }} -\, U\, +\, {u_R}\, + \,{u_C}\, = \,0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}{u_R}\, =\, Ri{\rm{\,\,\,\,\, ter \,\,\,\,\,}}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri \,+\, {u_C} \,= \,0.</latex>

Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti ''U'' enosmernega vira je enak nič, odvod toka je d''i'' / d''t'' in odvod napetosti kondenzatorja je d''uC'' / d''t''):

<latex>R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t} \,+\, \frac{{\rm{d}}{u_C}}{{\rm{d}}t}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}R\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, \frac{i}{C}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Produkt ''RC'' dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s ''τ'' in nadaljujmo:

<latex>RC\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0{\rm{ \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, }}\tau \, =\, RC{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\tau \,\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, +\, i\, =\, 0.</latex>

Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:

<latex>i \,=\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, \frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Aa{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Aa\tau {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, +\, A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\tau \, +\, 1\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\, =\, - 1/\tau .</latex>

Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,

<latex>t\, =\, {t_0} \,+\, 0\, =\, +\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }} -\, U\, +\, Ri( + 0) \,+\, \underbrace {{u_C}( + 0)}_0 \,=\,0{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0)\, =\, U/R,</latex>

ki določa tudi iskano konstanto:

<latex>i \,= \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}i( + 0) \,=\, U/R\, = \,A{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 0/\tau }} \,=\, A{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}A\, = \,U/R.</latex>

Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:

<latex>{i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}.}</latex>

Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost ''U'' / ''R'', od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času ''t''1 = ''τ'' je vrednost polnilnega toka (''U'' / ''R'') e-1 &kong; 0,3678 (''U'' / ''R'') oziroma 37 % začetnega toka, ob času ''t''2 = 2''τ'' še (''U'' / ''R'') e-2 = 0,1353 (''U'' / ''R'') oziroma 14 % začetnega toka, v času ''t''3 = 3''τ'' le še 5 % začetnega toka, v času ''t''4 = 4''τ'' komaj še 1,8 % začetnega toka in v času ''t''5 = 5''τ'' le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta ''τ'' določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar ''RC'' konstanta<ref>Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku ''t''1 seka abscisno os v točki ''t''1 + ''τ''.</ref>. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.

Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 2):

<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex>

Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5''τ'' že 99,3 % končne napetosti ''U''. Sproti se v njem kopiči tudi energija:

<latex>{W_{\rm{e}}}(t) \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{u^2}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}{\left( {1 \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{.}}</latex>

V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo ''Ri''2:

<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{t}}}(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, {p_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\, = \,{W_{\rm{t}}}(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{W_{\rm{t}}}({t_1}) \,- \,{W_{\rm{t}}}({t_0}) \,= \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {{p_{\rm{t}}}(t){\rm{d}}t}\, = </latex>

<latex>R\int\limits_{t_0}^{t_1} {{i^2}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\int\limits_0^{t_1} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{2}}t{\rm{/}}\tau }}{\rm{d}}t} \, =\, \frac{U^2}{R}\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - 2t{\rm{/}}\tau }}{2/\tau }} \right)_0^{t_1}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( { - {{\rm{e}}^{{\rm{ - 2t/}}\tau }}} \right)_0^{t_1} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}C{U^2}\left( {1 \,- \,{{\rm{e}}^{ - 2{t_1}{\rm{/}}\tau }}} \right).</latex>

Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa ''t''1. Ko bo ''t''1 nekajkratnik ''τ'', bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej ''CU''2 / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost ''R''); izkoristek polnjenja je 50 %.

'''Zgled 1'''
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav. ⇒ Časovna konstanta ''τ'' = ''RC'' je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je ''U'' / ''R'' = 0,5 A, v nadaljevanju pa je

<latex>i\, = \,(U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}\, = \,0,5{\rm{ \,A}} \,\cdot\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/0,1{\rm{ s}}}}\, = \,0,5{\rm{\, A}}\, \cdot \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}.</latex>

V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija

<latex>{u_C}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right)\, =\, 500{\rm{ V}}\, \cdot\, \left( {1\, -\,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - 10t/{\rm{s}}}}} \right).</latex>

V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Odvodi in integrali nekaterih elementarnih funkcij

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:40:03 GMT

Andrej:

Iskanje nedoločenega integrala funkcije ''f'' ustreza poizvedovanju po tisti funkciji ''F'', katere odvod je funkcija ''f'':

<latex>F^\prime (t)\, = \,f(t).</latex>

Odvajanje in integriranje sta si ''inverzni'' operaciji, kot sta si inverzni naprimer potenciranje in korenjenje. Ko enkrat znamo katerokoli število (''x'') kvadrirati, se lotimo korenjenja: da iščemo tisto število ''X'', katerega kvadrat je ''x''. In nekaj podobnega je tudi z odvajanjem in integriranjem. Ko imamo na zalogi dovolj bogate izkušnje z odvodi, se lotimo tudi nedoločenih integralov funkcij<ref>Pri praktični uporabi infinitezimalnega računa se pokaže, da je funkcij, katerim lahko najdemo tiste, katerih odvodi so, neprimerno manj, kot tistih, katerim takšnih nikakor ne uspemo najti. V tem primeru določen in nedoločen integral nista povezana, saj nedoločenega kratkomalo ni. Ker pa je naša naloga ovrednotiti predvsem določen integral, nedoločen je temu le v pomoč, ostaja na voljo vrsta numeričnih poti oziroma približkov določenega integrala, ki se opirajo na vsoti ''Sn'', ''Zn'' ali katerokoli drugo, ki je njima blizu.</ref>.

== Potenčna funkcija ==

Odvoda konstantne in linearne funkcije smo že osvetlili. Naslednja naj bo morda kar funkcija ''f''(''t'') = ''t''3, njen odvod najdemo po definiciji:

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{(t\, +\, \Delta t)}^3} \,- \,{t^3}}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{t^3}\, +\, 3{t^2}\Delta t \,+\, 3t{{(\Delta t)}^2}\, +\, {{(\Delta t)}^3} \,-\, {t^3}}{\Delta t}\, =\, </latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2} \,+ \,3t\Delta t\, +\, {{(\Delta t)}^2}} \right).</latex>

Ko Δ''t'' stremi k nič, se zadnja dva sumanda manjšata in postajata neznatna do prvega, zato je:

<latex>\frac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}t} \,=\, f^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,= \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t^2}\, +\, 3t\Delta t \,+\, {{(\Delta t)}^2}} \right)\, =\, 3{t^2}.</latex>

Odvod funkcije ''t''3 je funkcija 3''t''2, na podoben način bi izvedli odvod potenčne funkcije ''n''-te stopnje. Dobili bi:

<latex>{f(t) \,=\, {t^n}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow {\rm{ }}\,\,\,\,\,f^\prime (t) \,=\, \left( {t^n} \right)^\prime \, =\, n{t^{n \,-\, 1}}.}</latex>

Pravilo je: Eksponent potenčne funkcije se zmanjša za ena, prvotni pa se kot multiplikator seli pred novo potenčno funkcijo. Povsem enako pravilo velja tudi pri funkcijah necelih eksponentov.

Sedaj pa še nedoločen integral oziroma ''F''(''t'') funkcije ''f''(''t'') = ''t''3. Funkcija ''F''(''t'') je enaka vsoti četrtine potenčne funkcije četrte stopnje in poljubne konstante:

<latex>f(t) \,= \,{t^3}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}F(t) \,=\, \int {f(t)} {\rm{d}}t \,=\, \int {t^3} {\rm{d}}t\, =\, \frac{t^4}{4}\, +\,C\,\,,\,\,\,\,\,{\rm{ saj \,je}}</latex>

<latex>F^\prime (t)\, =\, \left( {\frac{t^4}{4}\, +\, C} \right)^\prime \, =\, \frac{1}{4}\left( {t^4} \right)^\prime\, +\,C^\prime \,= \,\frac{1}{4}\left( {4{t^3}} \right) \,+ \,0 \,= \,{t^3}.</latex>

Splošno pravilo je:

<latex>{f(t) \,=\, {t^n}\,\,,\,\,\,\,n\, \ne \, - 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F(t) \,= \,\int{t^n} {\rm{d}}t \,=\, \frac{t^{n + 1}}{n\, + \,1} \,+\, C.}</latex>

'''Zgled 1'''
V nekem časovnem intervalu določa tok skozi tuljavo induktivnosti ''L'' izraz ''i'' = ''at''2 - ''bt'' + ''c''. Izrazimo napetost na tuljavi. ⇒ Izhajamo iz enačbe tuljave:

<latex>u\, =\, L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Li^\prime \, =\, L(a{t^2}\, -\, bt\, +\, c)^\prime \, =\, L(2at \,-\, b).</latex>

'''Zgled 2.'''
Med časoma ''t''1 in ''t''2 podaja tok skozi upor upornosti ''R'' izraz ''i'' = ''at'' - ''b''. Izrazimo množino toplote med tema časoma. ⇒ Sproščeno toploto določa integral moči ''p'' = ''Ri''2:

<latex>\int\limits_{t_1}^{t_2} {p{\rm{d}}t} \, =\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {R{i^2}{\rm{d}}t}\, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {{{\left( {at \,- \,b} \right)}^2}{\rm{d}}t} \, =\, R\int\limits_{t_1}^{t_2} {\left( {{a^2}{t^2} \,- \,2abt \,+ \,{b^2}} \right){\rm{d}}t} \, =\, </latex>

<latex>R\left( {\frac{{a^2}{t^3}}{3} \,-\, ab{t^2} \,+\, {b^2}t\, +\, C} \right)_{t_1}^{t_2}\, =\, R\left( {\frac{{a^2}t_2^3}{3} \,-\, \frac{{a^2}t_1^3}{3}\, -\, abt_2^2 \,+\, abt_1^2\, +\, {b^2}{t_2} \,-\, {b^2}{t_1}} \right).</latex>

== Harmonična funkcija ==

Z njeno strmino, ki preide v limiti v odvod, smo se že spopadli. Takrat smo to opravili na geometrijski način, tokrat pa takole<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\, =\, 1.</latex></ref>:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega (t\, +\, \Delta t) \,+\, \alpha } \right) \,-\, \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)}{\Delta t}\, =\,</latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\cos \left( {\omega \Delta t} \right)\, +\, \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\sin \left( {\omega \Delta t} \right) \,- \,\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)}{\Delta t} \,=\, </latex>

<latex> -\, \omega \sin \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{1 \,-\, \cos \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, +\, \omega \cos \left( {\omega t \,+\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t} \,=\, </latex>

<latex> - \,\frac{\omega }{2}\sin \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)}{\omega \Delta t/2}\, +\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right)\mathop {\lim }\limits_{\omega \Delta t \to 0} \frac{\sin \left( {\omega \Delta t} \right)}{\omega \Delta t}\, =\, </latex>

<latex>\omega \cos \left( {\omega t\, +\, \alpha } \right).</latex>

Če bi podobno postopali tudi pri kosinusni funkciji, bi dobili:

<latex>g(t) \,=\, \sin (\omega t\, +\, \alpha ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}g^\prime (t)\, =\, \omega \cos (\omega t\, +\, \alpha )</latex>

<latex>f(t)\, =\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}f^\prime (t)\, =\, - \omega \sin (\omega t\, +\, \beta ).</latex>

Iz odvodov razberemo pravili. Odvod sinusne je kosinusna funkcija in odvod kosinusne je negativna sinusna funkcija. Pri odvodih se konstanta ''ω'' prenese iz argumenta v multiplikator s funkcijo. Za harmonični funkciji lahko brž najdemo še nedoločena integrala:

<latex>g(t)\, =\, \sin (\omega t\,+\, \alpha ){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\sin (\omega t\, +\, \alpha )} {\rm{d}}t \,= \, - {\omega ^{ - 1}}\cos (\omega t \,+\, \alpha ) + {C_1}</latex>

<latex>f(t) \,=\, \cos (\omega t\, +\, \beta ){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}F{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {\cos (\omega t\, +\, \beta )} {\rm{d}}t \,= \,{\omega ^{ - 1}}\sin (\omega t\, +\, \beta )\, +\, {C_2}.</latex>

'''Zgled 3'''
Pri analizi harmonično vzbujanih reaktivnih elementov smo ugotovili, da je moč dotekanja energije v njih harmonična časovna funkcija, katere amplituda ustreza jalovi moči ''Q''. Trenutno moč ''p''(''t'') naj določa izraz ''Q''sin(2''ωt''), v katerem je ''ω'' krožna frekvenca toka oziroma napetosti. V prvi četrtini periode toka (napetosti) je moč pozitivna in element se polni, drugo četrtino periode se element prazni itn. V trenutku ''t''0 = 0 s naj bo element brez energije, ''W''(''t''0) = 0 J. Določimo energijo v elementu v kasnejšem času ''t''1. ⇒ Moč je odvod energije, zato veljajo zveze:

<latex>\frac{{\rm{d}}W(t)}{{\rm{d}}t}\, = \,p(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}W(t) \,=\, \int {p(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}W({t_1}) \,=\, W({t_0})\, +\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \, =\, {\rm{ }}</latex>

<latex>\int\limits_0^{t_1} {p(t){\rm{d}}t} \,=\, \int\limits_0^{t_1} {Q\sin (2\omega t){\rm{d}}t}\, =\, Q\left( { - \frac{\cos (2\omega t)}{2\omega }} \right)_0^{t_1} \,=\, \frac{Q}{2\omega }\left( {1 \,-\, \cos (2\omega {t_1})} \right).</latex>

Največja energija je v elementu takrat, ko ima kosinusna funkcija vrednost -1; enaka je ''Q'' / ''ω''. Poprečna energija je polovica tega, torej ''Q'' / 2''ω''. Če ima tuljava jalovo moč 2 kvar, bo pri 50 Hz poprečna energija v njej 3,18 J, največja pa 6,36 J. Slednja je sicer majhna, vendar se moramo zavedati, da je v eni sekundi pride ali odide stokrat toliko.

== Eksponentna funkcija ==

Zapisali jo bomo v obliki

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}.</latex>

Matematična funkcija zahteva v argumentu neimenovano število, pri času ''t'' ima konstanta ''a'' enoto s-1. Nekaj podobnega smo zasledili pri argumentu (kotu ''ωt'') harmonične funkcije. Poiščimo odvod eksponentne funkcije<ref>Iz matematike vemo, da je <latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {(1 + s)^{1/s}} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left( {1 + 1/p}
\right)^p} \,=\, 1</latex></ref>:

<latex>h(t) \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a(t \,+\, \Delta t)}} \,-\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}}{\Delta t}\, = \,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} - 1}{\Delta t}\,= \,a{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,- \,1}{a\Delta t}.</latex>

Limitiranje uženemo z vpeljavo spremenljivke ''s'',

<latex>s \,=\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}}\, -\, 1{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}a\Delta t \,= \,\ln (1 \,+\, s){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{a\Delta t \to 0} \frac{{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{a\Delta t}} \,-\, 1}{a\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{s}{\ln (1 \,+ \,s)}\, =\, </latex>

<latex>\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{1}{{s^{ - 1}}\ln (1 \,+\, s)}\, =\, \frac{1}{\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^{ - 1}}\ln (1\, +\, s)}\, =\, \frac{1}{\ln \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {{(1 \,+\, s)}^{1/s}}} \,=\, \frac{1}{\ln {\mathop{\rm e}\nolimits} }\, = \,{\rm{1\,}}{\rm{,}}</latex>

kar končno da:

<latex>h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}.</latex>

Posebnost eksponentne funkcije je v tem, da se odvod in integral izražata z njo samo:

<latex>{h(t) \,=\, {\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}h^\prime (t)\, =\, a{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}{\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}H{\rm{(}}t{\rm{)}}\, =\, \int {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}} {\rm{d}}t\, =\, {a^{ - 1}}{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{at}\, +\, C.}</latex>

'''Zgled 4'''
Polnilni tok kondenzatorja, ki je ob ''t''0 = 0 prazen, je ''i'' = 10 mA.e-t / 2 s; ''Q''(''t''0) = 0 C. Ob ''t''0 = 0 je jakost toka 10 mA, po dveh sekundah 10 mA / e, po štirih 10 mA / e2, po šestih 10 mA / e3, po 10 s pa komaj še 10 mA / e5 &cong; 0,067 mA, kar ustreza komaj 2/3 % začetnega toka. Izračunajmo naboj, ki priteče na ploščo do 10 sekunde. ⇒ Račun je podoben prejšnjemu. Tok je odvod naboja:

<latex>\frac{{\rm{d}}Q(t)}{{\rm{d}}t}\, =\, i(t){\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}Q(t)\, =\, \int {i(t){\rm{d}}t} {\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}Q({t_1}) \,=\, Q({t_0}) \,+\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \, =\, </latex>

<latex>\int\limits_{t_0}^{t_1} {i(t){\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot\, \int\limits_0^{10{\rm{ s}}} {{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{\rm{d}}t} \,=\, {10^{ - 2}}{\rm{ A}} \,\cdot \,\left( { - \frac{{\rm{e}}^{ - t/2{\rm{ s}}}}{1/2{\rm{ s}}}}\right)_0^{10{\rm{ s}}}\, =\, 20{\rm{ mC}} \,\cdot\, \left( {1\, -\, {{\rm{e}}^{ - 5}}} \right)\, \cong\, 19,87\,{\rm{ mC}}.</latex>

Po zelo (zelo) dolgem času bo naboj dosegel vrednost 20 mC.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Zveza med določenim in nedoločenim integralom

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:30:47 GMT

Andrej:

Če smo našli funkcijo ''F'', katere odvod je ''f'', je z njo določena funkcija ''G''. Določena je vrednost ''G''(''t''1) in tudi vrednost določenega integrala ''I'', s katerim smo integriranje začeli:

<latex>G(t)\, = \,F(t)\, -\, F({t_0}){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G({t_1})\, = \,F({t_1})\, -\, F({t_0})\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, I.</latex>

Od funkcije ''G'', ki nam je veliko pomagala, se sedaj »poslovimo« in sklenimo:

<latex>{F^\prime (t)\, =\, f(t){\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}F(t)\, =\, \int {f(t){\rm{d}}t} \,\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}I\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, F({t_1}) \,-\, F({t_0}) \,=\, \left. {F(t)} \right|_{t_0}^{t_1}.}</latex>

Določen integral ''I'' funkcije ''f'' na intervalu [''t''0, ''t''1] izračunamo tako, da najdemo funkciji ''f'' njen nedoločen integral ''F'', zatem pa tvorimo še razliko funkcijskih vrednosti funkcije ''F'' na zgornji in na spodnji integracijski meji.

{{Hierarchy footer}}

Nedoločen integral funkcije

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:30:05 GMT

Andrej:

Funkcijo <latex>G(t)</latex> smo definirali in poznamo njene lastnosti, ostaja pa še naloga, kako do nje priti, kako jo najti. Iskanje začnimo s funkcijo <latex>F</latex>, od katere zahtevamo, da zadošča enačbi

<latex>F^\prime (t)\, =\, f(t).</latex>

Z združitvijo le-te s podobno za ''G'' sledi:

<latex>F^\prime (t) \,=\, f(t)\,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,G^\prime (t)\, =\, f(t)\,\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}G^\prime (t)\, -\, F^\prime (t)\, =\, \left( {G(t)\, - \,F(t)} \right)^\prime \, =\, 0.</latex>

Odvod razlike funkcij je enak nič, ker pa je odvod konstante tudi enak nič, se zgornji funkciji razlikujeta kvečjemu za konstanto, npr. za konstanto <latex>C_0</latex>:

<latex>G(t)\, =\, F(t)\, +\, {C_0}.</latex>

Iz lastnosti <latex>G(t_0)=0</latex> sledi konstanta <latex>C_0=-F(t_0)</latex>, kar končno dá:

<latex>{G(t)\, = F(t)\, - \,F({t_0}).}</latex>

Funkciji ''F'', ki zadošča enačbi ''F''′ = ''f'', rečemo ''nedoločen integral'' funkcije ''f''; to zapisujemo v naslednjih enakovrednih oblikah:

<latex>{F(t) \,= \,\int {f(t){\rm{d}}t}\,\,\,\,\, {\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ }}\left( {\int {f(t){\rm{d}}t} } \right)^\prime \, =\, \frac{{\rm{d}}\int {f(t){\rm{d}}t}}{{\rm{d}}t}\, =\, \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}\int {f(t){\rm{d}}t}\, =\, f.}</latex>

Pridevnik »nedoločen« stoji zato, ker se funkcija ''F'' od funkcije ''G'', od funkcije zgornje meje določenega integrala, razlikuje za aditivno konstanto. Zapis ''F''(''t'') = ∫''f''(''t'')d''t'' bi lahko razumeli tudi kot nekakšno nedoločeno vsoto paketov ''f''(''t'')d''t'', kateri bi mogli brez škode prišteli poljubno konstanto. Nadalje vidimo, da je iskanje nedoločenega integrala ''F'' funkcije ''f'' opravilo, ki je obratno odvajanju: iskanje funkcije ''F'' ustreza iskanju tiste funkcije, katere odvod je funkcija ''f''.

{{Hierarchy footer}}

Odvod funkcije zgornje meje določenega integrala

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:28:36 GMT

Andrej:

Ali znamo reči kaj o odvodu funkcije ''G'' v točki ''t''* oziroma o limiti naslednjega kvocienta:

<latex>G^\prime \, = \,\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta G}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{G({t^*} + \Delta t) - G(t)}{\Delta t}\, =\, ?</latex>

Iz lastnosti integrala izhaja, da je števec v resnici določen integral funkcije ''f'' od ''t''* do ''t''* + Δ''t'', saj je

<latex>G({t^*} \,+\, \Delta t)\, - \,G({t^*}) \,=\, \int\limits_{t_0}^{{t^*} \,+\, \Delta t} {f(t){\rm{d}}t} \, -\, \int\limits_{t_0}^{t^*} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, \int\limits_{t^*}^{{t^*}\, +\, \Delta t} {f(t){\rm{d}}t} ,</latex>

in da je iskan odvod možno izraziti takole:

<latex>G^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{G({t^*} \,+\, \Delta t)\, -\, G(t)}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t}\int\limits_{t^*}^{{t^*} \,+\, \Delta t} {f(t){\rm{d}}t} .</latex>

Preostali določen integral se naslavlja na kar najkrajši interval Δ''t''; če je tako, ustreza približni vrednosti integrala morda že kar produkt ''f''(''t''* + Δ''t'') Δ''t'', če je le Δ''t'' dovolj majhen. Sledi odgovor:

<latex>G^\prime \, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{G({t^*}\, +\, \Delta t) \,-\, G(t)}{\Delta t}\, =\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{f({t^*}\, +\, \Delta t)\Delta t}{\Delta t} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} f({t^*}\, +\, \Delta t) \,=\, f({t^*}).</latex>

Odvod funkcije ''G'' v ''t''* je enak funkcijski vrednosti funkcije ''f'' v ''t''*, pri tem pa je ''t''* ∈ [''t''0, ''t''1]. Izkoristimo priložnost in izpostavimo glavne lastnosti določnega integrala kot funkcije zgornje meje:

<latex>{G({t^*})\, =\, \int\limits_{t_0}^{t^*} {f(t){\rm{d}}t} \,\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}G({t_0})\, =\, 0\,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,G({t_1}) \,=\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t}\,\,\,\,\, {\rm{ ter }}\,\,\,\,\,G^\prime (t)\, =\, f(t).}</latex>

{{Hierarchy footer}}

Določen integral kot funkcija zgornje meje

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:27:27 GMT

Andrej:

Integrirati (seštevati) začnemo od nekje in to počnemo do nekam. Začetek in konec sta stvar problema, ki ga luščimo, lahko pa se odločimo tudi drugače: da nas zanima integral funkcije ''f'' od izbranega »začetka« ''t''0 do poljubnega »konca« ''t''* < ''t''1. V takšnem primeru je določen integral funkcije ''f'' oziroma vrednost ''G'' odvisna od ''t''*, ''G'' je funkcija konca (''t''*) oziroma meje, do katere se vrši integriranje. Pisali bomo:

<latex>{G({t^*}) \,=\, \int\limits_{t_0}^{t^*} {f(t){\rm{d}}t} .}</latex>

Funcija ''G''(''t''*) je funkcija zgornje meje (''t''*) določenega integrala funkcije ''f''(''t''). Poznavanje te funkcije je vsekakor koristno. V takem primeru integracija ni več potrebna, kajti za nek drug integracijski konec (''t''**) je dovolj, da zgornjo mejo ''t''** vstavimo v funkcijo ''G'', torej ''G''(''t''**), in že imamo odgovor.

Funkcija ''G'' ima tole očitno lastnost: ''G''(''t''0) = 0. Če konec integracije sovpada z začetkom, je že v neizlimitirani vsoti vsak sumand enak nič, torej tudi vsota. Glede na geometrijsko interpretacijo vrednosti določenega integrala moremo ''G''(''t''*) razumeti kot funkcijo, ki pove, kako se spreminja oziroma »napreduje« vrednost površine«lika med absciso in funkcijo, ko se ''t''* pomika v desno.

{{Hierarchy footer}}

Določen integral funkcije

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:26:19 GMT

Andrej:

Za razumevanje določenega integrala funkcije je najbolje, če imamo pred očmi fizikalni primer. 1) V element vezja naj priteka energija z močjo ''p''(''t''). V času Δ''t'' vstopi vanj energijski paket ''p''Δ''t''. Ker je moč v splošnem spremenljiva, bodo energijski paketi v sledečih časih Δ''t'' različni. Če želimo ugotoviti energijo, ki je vstopila v element, je potrebno energijske pakete sešteti. 2) Naj bo ''i''(''t'') funkcija, ki podaja polnilni tok. V času Δ''t'' se plošči kondenzatorjev obogatita z elektrinama ±''i''Δ''t'', napetost pa s prirastkom ''i''Δ''t'' / ''C''. Ker je polnilni tok v splošnem vsak trenutek drugačen, so v kasnejših časih Δ''t'' takšni tudi paketi elektrine in enako tudi prirastki napetosti. Če seštejemo vse prirastke napetosti, dobimo vrednost, za katero se je spremenila napetost kondenzatorja. Primera zastavljata nalogo: sešteti določene majhne vrednosti dane količine, pri tem pa pridobiti čim točnejši rezultat.

Zapustimo moč (tok) in pakete energije (naboja) in se raje posvetimo splošni časovni funkciji, ki naj je za začetek pozitivna, ''f''(''t'') > 0, ter njenim »paketom« in vsoti teh znotraj intervala ''t'' ∈ [''t''0, ''t''1] (slika 2). (V primeru moči bi vsota pomenila energijo, ki je prispela v element, v primeru toka pa elektrino, ki je pritekla na ploščo.) Interval [''t''0, ''t''1] razdelimo na n podintervalov trajanja Δ''t'' = (''t''1 - ''t''0) / ''n''. »Jakost« ''f''(''tk''*)Δ''t'' ''k''-tega »paketa« ustreza »ploščini« pravokotnika s stranicama Δ''t'' in ''f''(''tk''*), pri čemer je ''tk''* trenutek v ''k''-tem podintervalu, vsota

<latex>\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t</latex>

pa ustreza površini vseh takšnih pravokotnikov med ''t''0 in ''t''1<ref>Ploščino pravokotnika smo postavili med navednici in se s tem zavarovali: da ne govorimo o ploščini oziroma kvadraturi lika (saj stranici nimata dolžinskega značaja), ampak o produktu, ki ga je - v določenem merilu - mogoče interpretirati s površino pravokotnika.</ref>. Če bi za čase ''tk''* izbrali čase (''tk''s) najmanjših funkcijskih vrednosti funkcije, bi za vsoto dobili vrednost ''Sn'', če pa bi zatem za čase ''tk''* izbirali čase (''tk''z) največjih funkcijskih vrednosti funkcije v podintervalih, bi za vsoto dobili vrednost ''Z''n. Slednja je gotovo večja ali kvečjemu enaka prejšnji vrednosti vsote:

<latex>{S_n}\, =\, \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^s} )\Delta t \,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,{Z_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^z} )\Delta t\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,0\, \textless \,{S_n}\, \le\, {Z_n}\, \textless \, \infty .</latex>

Z nekaj premalo (''S''n) ali z nekaj preveč (''Z''n) verjetno nismo zadovoljni, razen če smo praktični in se zadovoljimo s približnim rezultatom, kar seveda tudi ne gre zavreči. Prepričani smo, da bo najbolj prava vrednost ''I'', ki jo imenujemo ''določen integral'' funkcije ''f''(''t'') na intervalu [''t''0, ''t''1], nekje med vrednostma ''S''n in ''Z''n, ''S''n ≤ ''I'' ≤ ''Z''n. Vrednosti ''I'' se bo vsota ''S''n približala z leve, vsota ''Z''n pa z desne strani, če bo le število ''n'' kar največje, stremeče v neskončnost. Vsoti, v kateri število sumandov (''n'') prekaša vse meje, rečemo ''izlimitirana vsota'', in pišemo:

<latex>{I\, =\, \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} .}</latex>

Integracijski znak »∫« zamenjuje sumacijski znak »∑«, meji seštevanja, ''t''0 in ''t''1 zamenjujeta skrajni vrednosti sumacijskega indeksa ''k'' in infinitezimalni paket ''f''(''t'')d''t'' zamenjuje majhen paket ''f''(''tk''*)Δ''t''<ref>Integralu rečemo tudi zvezna vsota, za razliko od vsote, ki predstavlja diskretno seštevanje.</ref>. (Če bi funkcija ''f'' pomenila električni tok (ali moč), bi integral ''I'' pomenil v tem času pretečen naboj (ali energijo).)

Glede na to, da smo sumande vsot interpretirali s ploščinami pravokotnikov, bi utegnili določen integral interpretirati s »površino« lika med abscisno osjo in funkcijo na intervalu [''t''0, ''t''1] (slika 3). Določen integral ima nekaj lepih lastnosti. 1) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''g'' ''A''-kratnik funkcije ''f'', je integral funkcije ''g'' ''A''-kratnik integrala funkcije ''f''. 2) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''f'' negativna, ima negativno vrednost tudi določen integral. 3) Če ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''0 do ''t''1 vrednost ''I'', vrednost ''J'' pa od ''t''1 do ''t''2, potem ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''0 do ''t''2 vrednost ''I'' + ''J'':

<latex>I\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{\,\,\,\,\, in\,\,\,\,\, }}J \,= \,\int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int\limits_{t_0}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} =\, \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} \, +\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, I\, +\, J.</latex>

Primer. Če je tok med prvo in tretjo sekundo prenesel naboj 1 μC, med tretjo in enajsto sekundo pa naboj -3 μC, potem je med prvo in enajsto sekundo ta tok prenesel naboj -2 μC.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:23:24 GMT

Andrej:

Polnilni tok kondenzatorja je sorazmeren hitrosti spreminjanja njegove napetosti. Takrat smo to zapisali s kvocientom prirastkov napetosti in časa, v mislih pa imeli kar najkrajši Δ''t''. Po novem bomo to pisali z odvodom,

<latex>{i\, = \,C\frac{\Delta u}{\Delta t}{\rm{ (}}\Delta t{\rm{\,\, cim\,\, krajsi) }} \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}i\, =\, C\frac{{\rm{d}}u}{{\rm{d}}t} \,=\, Cu^\prime {\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ d}}u \,=\, u^\prime {\rm{d}}t\, = \,\frac{i}{C}{\rm{d}}t,}</latex>

brali pa: polnilni tok kondenzatorja je enak produktu kapacitivnosti in odvoda napetosti. Zaradi tega je diferencial napetosti enak produktu odvoda napetosti in diferenciala časa. Podobno bo s tokom in napetostjo pri tuljavi:

<latex>{u\, =\, L\frac{\Delta i}{\Delta t}{\rm{ (}}\Delta t{\rm{\,\, cim\,\, krajsi) }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}u \,=\, L\frac{{\rm{d}}i}{{\rm{d}}t}\, =\, Li^\prime {\rm{ }}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ d}}i\, =\, i^\prime {\rm{d}}t\, =\, \frac{u}{L}{\rm{d}}t.}</latex>

Napetost tuljave je enaka produktu induktivnosti in odvoda toka, diferencial toka je enak produktu odvoda toka in diferenciala časa.

Moč pritekanja energije v električni element je enaka hitrosti spreminjanja energije (električne, magnetne ali toplote):

<latex>{p\, = \,\frac{\Delta W}{\Delta t}{\rm{ (}}\Delta t{\rm{\,\, cim\,\, krajsi) }}\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}p \,=\, \frac{{\rm{d}}W}{{\rm{d}}t}\, =\, W^\prime {\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ d}}W\, =\, W^\prime {\rm{d}}t \,=\, p{\rm{d}}t.}</latex>

Odvajajmo funkciji energij v kondenzatorju in tuljavi:

<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{e}}}}{{\rm{d}}t}\, =\, ({\textstyle{1 \over 2}}C{u^2})^\prime \, =\, {\textstyle{1 \over 2}}C({u^2})^\prime \, = \,{\textstyle{1 \over 2}}C(2u)u^\prime \, =\, Cu^\prime u\, =\, ui.</latex>

<latex>\frac{{\rm{d}}{W_{\rm{m}}}}{{\rm{d}}t} \,=\, ({\textstyle{1 \over 2}}L{i^2})^\prime \, =\, {\textstyle{1 \over 2}}L({i^2})^\prime \, =\, {\textstyle{1 \over 2}}L(2i)i^\prime \, =\, Li^\prime i \,=\, ui.</latex>

Upoštevali smo lastnosti odvajanja in dobili: moč polnjenja enega ali drugega elementa je vsakokrat enaka produktu toka in napetosti. Določene prednosti odvoda že vidimo, zapisi so preglednejši in nič ni več potrebno pripominjati, da je prirastek Δ''t'' čim krajši, saj je kot tak zajet že v sami definiciji odvoda.

{{Hierarchy footer}}

Odvod funkcije

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:21:47 GMT

Andrej:

Imejmo časovno funkcijo ''f''(''t''), ki podaja napetost, morda moč, tok, naboj ali energijo (slika 1). Izberimo bližnja trenutka ''t'' in ''t'' + Δ''t''. Upati smemo, da si bosta blizu tudi funkcijski vrednosti ''f''(''t'') in ''f''(''t'' + Δ''t''). Prirastek Δ''f'' = ''f''(''t'' + Δ''t'') - ''f''(''t'') je pomemben, verjetno pa tudi kvocient Δ''f'' / Δ''t'', ki ugotavlja hitrost spreminjanja funkcije ''f''. Informacija o njej bo najboljša takrat, ko bo interval Δ''t'' kar najkrajši, ko bo Δ''t'' ''limitiral'' k nič, kar povzema zapis: Δ''t'' → 0. Če bo tako, se bo nekaj limitnega dogajalo tudi s kvocientom Δ''f'' / Δ''t''. Ko se bo manjšal imenovalec Δ''t'', se bo z njim manjšal tudi števec Δ''f'', in upamo lahko, da bo k neki vrednosti limitiral tudi njun kvocient. Vrednost, h kateri stremi, imenujemo ''odvod funkcije'' ''f'' ob času ''t''. Odvod pišemo takole:

<latex>{\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta t} \,=\, \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} \,= \,\frac{{\rm{d}}f}{{\rm{d}}t}\, =\, f^\prime {\rm{ }}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ d}}f\, = \,f^\prime {\rm{d}}t.}</latex>

Znak »lim« je okrajšava za ''limito'', znak razlike »Δ« pa preide v ''diferencialni'' znak »d«. Novi, infinitezimalni količini d''t'' in d''f'' sta ''diferenciala'' neodvisne in odvisne spremenljivke. Ker je odvod funkcije ''f'' v splošnem tudi funkcija, se za odvod uporablja tudi nekvocientni zapis »''f''′«. Diferencial d''f'' določa torej produkt odvoda ''f''′ in diferenciala d''t''.

Najpreprostejša je konstantna funkcija: ''g''(''t'') = ''C''. Upodablja jo premica, ki je vzporedna abscisni osi. Pri vsakem intervalu Δ''t'' je Δ''g'' = 0, odvod konstante je nič. Odvod linearne funkcije ''h''(''t'') = ''kt'' + ''n'' je ''h''′ = ''k'', saj je Δ''h'' = ''k''Δ''t''; o drugih več kasneje. Izpostavimo tudi nekaj lastnosti odvoda, te izhajajo iz definicije: (''af'')′ = ''af''′ in (''f'' + ''g'')′ = ''f''′ + ''g''′ ter ''f''(''g'')′ = ''f''′''g''′.

{{Hierarchy footer}}

Kako analizirati prehodni pojav

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:20:55 GMT

Andrej:

V električnem vezju imamo trdno oporo v Kirchhoffovih zakonih, katerima se po novem pridružujeta tudi zveznosti tuljavinega toka in kondenzatorjeve napetosti. Če je ''t''0 čas preklopa stikala ''S'', potem velja dvoje: da je vrednost toka ''i'' skozi tuljavo tik po ''t''0 tolikšna, kot je bila tik pred njim, in da je vrednost napetosti ''u'' na kondenzatorju tik po času ''t''0 tolikšna, kot je bila tik pred njim:

za tok ''i'' tuljave velja: ''i''(''t''0 + 0) = ''i''(''t''0 - 0),

za napetost ''u'' kondenzatorja velja: ''u''(''t''0 + 0) = ''u''(''t''0 - 0).

Simbolična zapisa »''t''0 - 0« in »''t''0 + 0« označujeta trenutka tik pred in tik po preklopu stikala.

Da bo analiza električnega vezja, ki je v prehodnem stanju, primerno stekla, moramo najprej spoznati dve osnovni operaciji ''infinitezimalnega računa'': to sta odvod in integral funkcije. K sreči smo bili obema že zelo blizu, le da ju nismo tako imenovali: »zelo malo je manjkalo, da bi hitrosti spreminjanja neke količine rekli odvod in da bi vsoti majhnih prispevkov rekli integral«<ref>Infinitezimalen pomeni neznaten ali zelo majhen. Očeta infinitezimalnega računa sta angleški fizik in matematik Isaac Newton in nemški matematik Gottfried Wilhelm Leibnitz.</ref>. Hitrost spreminjanja je bila ključna pri električnem toku in indukciji, majhne energijske prispevke pa smo seštevali pri elektrenju in magnetenju.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Električno vezje v prehodnem stanju

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:20:21 GMT

Andrej:

Z električnimi vezji smo se srečali že večkrat. Začeli smo s kondenzatorskimi, nadaljevali z uporovnimi in zaključili z izmeničnimi vezji. Pri analizi le-teh smo se opirali na napetostni zakon zanke in na tokovni zakon spojišča oziroma na zakon o ohranitvi naboja ter na lastnosti elementov v vezjih. V končnem smo pridobili iskane napetosti, toke, naboje, moči in energije (v izmeničnem vezju so bile količine časovno spremenljive, vendar znanih periodičnih odvisnosti). Vprašanja, ki so bila pri analizi vezij v celoti zamolčana, pa se dotikajo stanj posameznih količin v vezju ob vklopu, izklopu oziroma preklopu katerega od stikal. Vsak stikalni manever namreč sproži proces, s katerim se vezje odzove na nove razmere.

Da bi bili pri iskanju odziva vezja na preklop uspešni, si za začetek osvežimo lastnosti elementov osnovnih električnih vezij. Pri uporu ni težav, vsakršna napetost, ki je ob preklopu med koncema upora, izzove skozi njega tok, ki je sorazmeren napetosti, in moč, ki je sorazmerna njunemu produktu. Tuljava je drugačna. Zaradi toka skozi navitje je v tuljavi določena množina energije, ki se v trenutku preklopa stikala ne utegne naenkrat spremeniti, to bi zahtevalo »neskončno moč«, ki fizikalno pač ni možna. Če se ne more hipoma spremeniti množina energije, se tudi tok ne more. V matematičnem jeziku rečemo: tok v tuljavi je vedno zvezna funkcija. Podobno je s kondenzatorjem. Zaradi napetosti med ploščama kondenratorja je v njem določena množina energije, ki se ob stikalnem manevru ne more naenkrat spremeniti. Če se ne, se tudi napetost ne more. Ali tudi, napetost na kondenzatorju je vedno zvezna funkcija<ref>»Skočna« sprememba napetosti kondenzatorja bi terjala neskončen tok, kar pa je v opreki z omejenostjo fizikalne količine. (Podobno velja tudi za tok tuljave zaradi inducirane napetosti.)</ref>.

Kaj zaključujemo? Če se upor lahko prilagodi na hipni spremembo, potem to kondenzatorju in tuljavi pač ne uspe, to pa zato, ker se energijski vsebini v njiju ne moreta spremeniti naenkrat. To pomeni, da se bosta stanji omenjenih količin izpred preklopa prenesli v popreklopni čas. Inertnost kondenzatorja in tuljave je torej razlog, da odziv vezja ni hipen, ampak časovno razpotegnjen, in da pri tem niso ključni le elementi vezja, ampak tudi zatečene vrednosti določenih količin. Temu postopnemu prilagajanju električnega vezja rečemo ''prehodni pojav'', za to potrebnemu času pa ''čas prehodnega pojava''<ref>Prehodne pojave zasledimo tudi drugje. Pregrado vezne posode odstranimo in voda rabi čas, da se izravna. V jadra se zažene sunek vetra in barka rabi čas, da spet ujame smer. Na kamen zapeljemo z avtom in ta se še nekaj metrov pozibava. Našteti primeri imajo očitno določene inertne elemente, ki svoje predzgodovine ne utegnejo kar tako pozabiti.</ref>.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazni prenos energije in trifazna transformacija

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:09:13 GMT

Andrej:

Osnove transformiranja napetosti, toka, moči in imitance smo spoznali pri dvostebrnem feromagnetnemu jedru, ki magnetno poveže dve navitji, napravi rečemo tudi enofazni transformator. Pri trifaznem transformatorju je jedro tristebrno, z dvema navitjema na vsakem stebru, vsak par navitij služi svoji fazi (slika 1). Transformator ima tri enaka primarna in tri enaka sekundarna navitja, ki so na primarni in sekundarni strani vezana v trikot ali zvezdo. Če je le trifazno breme simetrično, so zakonitosti pretvorb (napetosti, tokov ...) pri trifaznem transformatorju enake kot pri enofaznem<ref>V kolikor je breme nesimetrično, nastopijo težave, ki jih zadovoljivo rešujejo posebne vezave delnih navitij na primarni in sekundarni strani transformatorja.</ref>.

== Daljnovodi ==

Trifazni daljnovodi so ožilje, ki povezuje elektrarne, razdelilne postaje, transformatorje in velike in male koristnike električne energije. To poteka na več napetostnih nivojih. Daljnovodne vrvi so tri, nad njimi pa so na jamborih obešene še strelovodne, ki zaščitijo daljnovod. 400 kilovoltni daljnovod ima za vsako fazo dve vrvi (dvojček), ta ukrep zmanjšuje koronske izgube zaradi ionizacije zraka ob vrveh. Visokonapetostni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika. To funkcijo opravljata strelovodna vrv in zemlja. Daljnovodi so eno- ali dvosistemski. Pri dvosistemskem je vsaka trojica faznih vodnikov obešena na svoji strani stebrov. Prenašano navidezno moč daljnovoda določa produkt √3''U''m-f''I''f. Pri 400 kV sistemu je fazni tok okoli 1 kA, prenašana moč pa okoli 700 MVA<ref>Moč slovenskih elektraren je okoli 2 GW. Njihova teoretična ponudba je okroglih 50 GWh energije na dan.</ref>. V tej številki moremo črpati eno od prednosti trifaznega prenosa energije. Če bi bil prenos enofazen, bi sicer potrebovali dve vrvi, ena bi bila ozemljena, druga pa na fazni napetosti 230 kV. Pri toku 1 kA bi bila prenašana moč tretjina prejšnje. Trifazni prenos električne energije je očitno ekonomičnejši: »k dvema dodamo tretjo vrv in omogočimo trikratnost moči«.

== Elektromagnetno polje v okolici daljnovodov ==

Električno polje določajo harmonično spreminjajoči se naboji na vrveh in na zemlji. Poljska jakost nad tlemi seže do 1 kV/m (odvisno od napetostnega nivoja, lege faznih vrvi in višine stebrov). Magnetno polje določajo harmonični toki v vrveh, gostota magnetnega pretoka nad tlemi seže do 5 μT (odvisno od vrste daljnovoda in višine vrvi). Največja gostota pretoka energije, ki brzi vzdolž daljnovodne trase, je tik ob vrveh, vstran od njih pa je že precej manjša.

== Konstantna moč ==

V primeru simetričnih napetosti in tokov se izkaže, da je pretok energije skozi presek trase enakomeren, da je vsota produktov faznih tokov in napetosti (faznih moči) konstantna. To pa seveda še ne pomeni, da ni izmenjevanja energije oziroma jalove moči. Nasprotno, ko se energija ob eni vrvi v danem trenutku pretaka z nadpoprečno močjo, se z ravno toliko manjšo močjo pretaka energija ob ostalih dveh vrveh.

== Vrtilno polje ==
Tako trifaznost kot tudi Teslina dvofaznost ponujata možnost generiranja posebnega magnetnega polja, ki je osnova delovanja asinhronskih in sinhronskih strojev. Če so tri navitja na statorju razmeščena simetrično po obodu in imajo toki skozi njih simetrirane fazne kote, se v rotorskem prostoru (prečno na os) vzpostavi magnetno polje, katerega vektor se enakomerno vrti s frekvenco tokov in ohranja absolutno vrednost. Takemu polju rečemo ''vrtilno magnetno polje''. Enako vrtenje vektorja magnetnega polja se doseže tudi z le dvema navitjema, ki sta na obodu statorja zamaknjena za kot 90 °, če sta le toka v njiju fazno premaknjena za enak kot<ref>Ta način najdemo v enofaznem asinhronskem motorju. Fazni zamik tokov skozi navitji se doseže s kondenzatorjem, ki je zaporedno vezan k enemu od navitij.</ref>.

== Večfazni sistemi ==

Iz povedanega izhaja, da ima trifazni sistem nekaj očitnih prednosti pred enofaznim. Zakaj ne bi morda potem razmišljali tudi o štiri- in petfaznem sistemu napetosti? Razlog je preprost: vsi višji sistemi ne ponujajo nič, česar ne bi vseboval že trifazni sistem. Zakaj torej stvari zapletati, če ne prinašajo nič novega? Je pa iz trifaznega moč pridobiti šestfazni sistem. Če bi srednje odcepe navitij na sekundarju trifaznega transformatorja spojili v zvezdišče (in ga ozemlji), bi tri navitja imela šest koncev. Kazalci napetosti med posameznimi konci in zvezdiščem bi v kazalčnem diagramu oblikovali zvezdo šestih kazalcev, enakih absolutnih vrednosti, drug do drugega pa bi bili fazno premaknjeni za kot 60 °.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazno breme v trikotni vezavi

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 09:02:23 GMT

Andrej:

Ta vezava se najpogosteje uporablja pri simetričnih bremenih, so pa tudi izjeme. Bistvo trikotne vezave je v tem, da je vsako breme priključeno na svojo medfazno napetost (slika 6). Breme z admitanco ''Y''12 je na napetosti, ki jo določa kazalec ''U''12, podobno tudi drugi dve bremeni. Kazalci tokov skozi bremena so:

<latex>{{{\underline I }_{12}}\, =\, {{\underline Y }_{12}}{{\underline U }_{12}}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline I }_{23}}\, =\, {{\underline Y }_{23}}{{\underline U }_{23}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline I }_{31}} \,=\,{{\underline Y }_{31}}{{\underline U }_{31}},}</latex>

toke faznih vodnikov pa dobimo iz spojiščnih enačb:

<latex>{{{\underline I }_1}\, =\, {{\underline I }_{12}}\, -\, {{\underline I }_{31}}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline I}_2}\, =\, {{\underline I }_{23}}\, - \,{{\underline I }_{12}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline I }_3} \,=\, {{\underline I }_{31}}\, -\, {{\underline I }_{23}}.}</latex>

'''Zgled 2'''
Izberimo trikotno vezje upora prevodnosti ''G'', ki je priključen na prvo, kondenzatorja admitance j''G'' / √3, ki je priključen na drugo, in tuljave z admitanco -j''G'' / √3, ki je priključena na zadnjo medfazno napetost (slika 7). Izračunajmo fazne toke. ⇒ Iz predhodnega razdelka prepišemo kazalce medfaznih napetosti in izračunamo najprej kazalce tokov skozi bremena:

<latex>{\underline U _{12}}\, =\, 0,5 \,\cdot\, \left( { - 1 \,+\, {\rm{j}}\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 {U_{\rm{f}}}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _{12}} \,= \,G{\underline U _{12}}\, =\, 0,5\, \cdot\, \left( { - \sqrt 3\, + \,{\rm{j}}3} \right)G{U_{\rm{f}}},</latex>

<latex>{\underline U _{23}}\, =\, \sqrt 3 {U_{\rm{f}}}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _{23}}\, =\, \left( {{\rm{j}}G/\sqrt 3 } \right){\underline U _{23}}\, = \,{\rm{j}}G{U_{\rm{f}}},</latex>

<latex>{\underline U _{31}}\, = \,0,5 \,\cdot \,\left( { - 1\, -\, {\rm{j}}\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 {U_{\rm{f}}}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{\underline I _{31}} \,= \,\left( { -{\rm{j}}G/\sqrt 3 } \right){\underline U _{31}} \,= \,0,5 \,\cdot \,\left( { - \sqrt 3 \, + \,{\rm{j}}} \right)G{U_{\rm{f}}}.{\rm{ }}</latex>

V naslednjem koraku izračunamo še linijske toke:

<latex>{\underline I _1}\, = \,{\underline I _{12}}\, -\, {\underline I _{31}}\, = \,0,5\, \cdot \,\left( { - \sqrt 3\, + \,{\rm{j}}3} \right)G{U_{\rm{f}}} \,- \,0,5 \,\cdot \,\left( { - \sqrt 3 \,+ \,{\rm{j}}} \right)G{U_{\rm{f}}}\, = \,{\rm{j}}G{U_{\rm{f}}} \,= \,G{\underline U _1},</latex>

<latex>{\underline I _2}\, =\, {\underline I _{23}} \,-\, {\underline I _{12}}\, = \,{\rm{j}}G{U_{\rm{f}}}\, - \,0,5\, \cdot\, \left( { - \sqrt 3\, + \,{\rm{j}}3} \right)G{U_{\rm{f}}} \,=\, 0,5 \,\cdot\, \left( {\sqrt 3 \, -\, {\rm{j}}} \right)G{U_{\rm{f}}}\, =\, G{\underline U _2},</latex>

<latex>{\underline I _3}\, = \,{\underline I _{31}}\, - \,{\underline I _{23}} \,= \,0,5 \,\cdot \,\left( { - \sqrt 3 \, +\, {\rm{j}}} \right)G{U_{\rm{f}}}\, - \,{\rm{j}}G{U_{\rm{f}}} \,= \,0,5 \,\cdot \,\left( { - \sqrt 3 \, - \,{\rm{j}}} \right)G{U_{\rm{f}}}\, =\, G{\underline U _3}.</latex>

In kaj smo dobili? Dobili smo simetrične kazalce faznih tokov, ki so paroma v fazi s faznimi napetostmi. Čeravno je breme nesimetrično, ga je z vidika virov razumeti kot simetrično uporovno breme. To vezavo uporabljajo pri energijskem napajanju uporovnega dvopola velike moči. Takšnega sicer ne smemo priključiti na omrežje, lahko pa to storimo s pomočjo dodatnih reaktivnih elementov v trikotni vezavi<ref>Primer takšnega bremena je indukcijska lončna peč, ki služi taljenju oziroma pridobivanju legur. Moči indukcijskih peči so lahko velike in sežejo tudi v razred MW.</ref>.

Kazalec moči trojice bremen v trikotni vezavi je enak vsoti kazalcev moči posameznih bremen:

<latex>\underline S \, = \,{\underline S _{12}}\, +\, {\underline S _{23}}\, + \,{\underline S _{31}}\, =\, {\underline U _{12}}({\underline I _{12}})^*\, +\, {\underline U _{23}}({\underline I _{23}})^*\, +\, {\underline U _{31}}({\underline I _{31}})^* = </latex>

<latex>({\underline U _1}\, -\, {\underline U _2})({\underline I _{12}})^* \,+ \,({\underline U _2}\, -\, {\underline U _3})({\underline I _{23}})^*\, +\, ({\underline U _3}\, -\, {\underline U _{21}})({\underline I _{31}})^*\, = </latex>

<latex>{\underline U _1}(({\underline I _{12}})^*\, -\, ({\underline I _{31}})^*)\, +\, {\underline U _2}(({\underline I _{23}})^*\, -\, ({\underline I _{12}})^*)\, +\, {\underline U _3}(({\underline I _{31}})^*\, -\, ({\underline I _{23}})^*)\,= </latex>

<latex>{\underline U _1}({\underline I _1})^* \,+ \,{\underline U _2}({\underline I _2})^* \,+\, {\underline U _3}({\underline I _3})^*.</latex>

Sklep je:

<latex>{\underline S \, = \,{{\underline U }_1}({{\underline I }_1})^*\, +\, {{\underline U }_2}({{\underline I }_2})^*\, +\, {{\underline U }_3}({{\underline I }_3})^*.}</latex>

Naj bo trifazno breme v zvezdni ali v trikotni vezavi, izraz za kazalec moči je vsakokrat enak; desna stran ustreza v resnici vsoti kazalcev moči virov.

Kadar je trifazno breme simetrično, so simetrični tako kazalci bremenskih kot tudi kazalci linijskih tokov (slika 9). Tipičen primer simetričnega bremena je trifazni motor. Kazalec moči simetričnega bremena je še bolj preprost, saj je kratkomalo trikratnik kazalca moči enega vira:

<latex>{\underline S\, =\, P\, +\, {\rm{j}}Q \,= \,3{U_{\rm{f}}}{I_{\rm{f}}}\left( {\cos \varphi \, +\, {\rm{j}}\sin \varphi } \right)\, =\, \sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}{I_{\rm{f}}}\cos \varphi \, +\, {\rm{j}}\sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}{I_{\rm{f}}}\sin \varphi .}</latex>

'''Zgled 3'''
Trifazni asinhronski motor ima nazivno moč 7,5 kW, izkoristek 0,85, faktor moči 0,8 in je priključen na omrežje 3 x 400 V / 230 V, 50 Hz. Izračunajmo efektivno vrednost linijskih tokov in vrednost kapacitivnosti kompenzacijskih kondenzatorjev. ⇒ Izhajamo iz enačbe za moč:

<latex>P \,=\, \sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}{I_{\rm{f}}}\cos \varphi \,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{I_{\rm{f}}}\, = \,\frac{P}{{\sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}\cos \varphi }} \,=\, \frac{{7500{\rm{ W }}/0,85}}{{\sqrt 3 \,\cdot \,400{\rm{ V}} \,\cdot \,0,8}}\, \cong \,15,9{\rm{ A}}{\rm{.}}</latex>

Jalova moč je:

<latex>Q \,=\, \sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}{I_{\rm{f}}}\sin \varphi \, =\, \sqrt 3 {U_{{\rm{m - f}}}}{I_{\rm{f}}}\sqrt {1\, - \,{{\cos }^2}\varphi }\, \cong\, 6,61{\rm{ kVAr}}{\rm{. }}</latex>

Jalovo moč kompenzirajo trije kondenzatorji v vezavi trikot, in sicer tako, da vsak od njih kompenzira eno tretjino. Formulo si izposojamo iz prejšnjega poglavja:

<latex>C \,=\, \frac{Q/3}{{\omega U_{{\rm{m - f}}}^{\rm{2}}}}\, \cong \,\frac{{6610{\rm{ VAr}}/{\rm{3}}}}{{{\rm{100}}\pi {\rm{ }}{{\rm{s}}^{ - 1}} \,\cdot\,{{(400{\rm{ V}})}^2}}} \,\cong \,43,8{\rm{ \mu F}}.</latex>

Lahko pa kompenzacijske kondenzatorje vežemo tudi v zvezdo, vendar so takrat njihove vrednosti trikratne, saj je efektivna napetost na njih le 230 V.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazno breme v zvezdni vezavi brez nevtralnega vodnika

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:58:06 GMT

Andrej:

Nova vezava je od prejšnje drugačna v tem, da zvezdišče bremen in nevtralni vodnik nista povezana, kar bi mogli sprejeti tudi kot stanje prekinitve nevtralnega vodnika oziroma kot posledico napake (slika 4). Drugačnost je razvidna: če je prej nevtralni vodnik zagotavljal zvezdišču izhodiščni potencial, ga sedaj ne. Prej znane napetosti bremen so postale (od enkrat) neznane. Kaj storiti? Vpeljimo ''V''0 kot kazalec potenciala zvezdišča, izrazimo kazalce tokov skozi bremena in v zvezdišču upoštevajmo še Kirchhoffov vozliščni zakon:

<latex>{\underline I _1} \,= {\underline Y _1}({\underline U _1} \,-\, {\underline V _0})\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _2}\, =\, {\underline Y _2}({\underline U _2} \,- \,{\underline V _0})\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _3} \,= \,{\underline Y _3}({\underline U _3} \,- \,{\underline V _0})\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{\underline I _1} \,+ \,{\underline I _2} \,+\, {\underline I _3}\, =\, 0{\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}</latex>

<latex>{\underline Y _1}({\underline U _1} \,- {\underline V _0})\, +\, {\underline Y _2}({\underline U _2}\, - \,{\underline V _0})\, +\, {\underline Y _3}({\underline U _3}\, - \,{\underline V _0})\, =\, 0.{\rm{ }}</latex>

Po ureditvi enačbe sledi iskani kazalec:

<latex>{{{\underline V }_0}\, = \,\frac{{{{\underline Y }_1}{{\underline U }_1}\, +\, {{\underline Y }_2}{{\underline U }_2}\, + \,{{\underline Y }_3}{{\underline U }_3}}}{{{{\underline Y }_1}\, + \,{{\underline Y }_2}\, +\, {{\underline Y }_3}}}.}</latex>

Posledico neničelosti potenciala zvezdišča še najlepše prikaže slika kazalcev. V kazalčni diagram vrišimo simetrično zvezdo kazalcev faznih napetosti in kazalec ''V''0, ki bi ga pri danih imitancah bremen izračunali po zgornji formuli (slika 5). Ker je kazalec napetosti na prvem bremenu enak razliki kazalca napetosti prvega vira in kazalca potenciala zvezdišča, in podobno tudi ostala dva, se v diagramu pojavijo nesimetrični kazalci napetosti bremen, na prvem ''U''1 - ''V''0 = ''Z''1''I''1 in podobno tudi na ostalih. Absolutna vrednost napetosti vsaj enega bremena je očitno višja kot bi bila sicer, če prekinitve ne bi bilo. Kaj je sporočilo diagrama? Če bi pri zvezdni vezavi nesimetričnih bremen prišlo do prekinitve nevtralnega vodnika, bi vsaj eno breme imelo višjo napetost, kot je zanj dovoljena, zaradi česar bi lahko prišlo do njegovega uničenja<ref>V tej vezavi bi ena od treh žarnic različnih moči (upornosti) gotovo pregorela.</ref>. V primeru enakosti bremen teh težav ni. Potencial zvezdišča ima takrat nično vrednost.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazno breme v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:56:27 GMT

Andrej:

Trifazno breme sestavljajo (praviloma) tri ločena bremena, od katerih je vsako priključeno na svojo fazno napetost, bremenom skupno spojišče (''zvezdišče'') je na potencialu nič voltov (slika 1)<ref>Ta način priključevanja je značilen predvsem za porabnike v gospodinjstvih.</ref>. Če imitance bremen poznamo, izračun ni težak. Toki skozi fazne vodnike oziroma ''linijski toki'' so hkrati tudi toki bremen, določajo jih kazalci faznih napetosti in imitanc. Kazalec toka skozi nevtralni vodnik je enak vsoti kazalcev faznih tokov:

<latex>{{{\underline I }_1} \,= \,\frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}} \,= \,{{\underline Y }_1}{{\underline U }_1}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline I }_2}\, = \,\frac{{{{\underline U }_2}}}{{{{\underline Z }_2}}}\, = \,{{\underline Y }_2}{{\underline U }_2}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline I }_3}\, = \,\frac{{{{\underline U }_3}}}{{{{\underline Z }_3}}}\, =\, {{\underline Y }_3}{{\underline U }_3}{\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{{\underline I }_0} \,=\, {{\underline I }_1}\,+\, {{\underline I }_2} \,+\, {{\underline I }_3}.}</latex>

Primer. Imitance bremen naj bodo različne: prvo breme naj ima čisto uporoven, drugo delno kapacitiven in tretje delno induktiven značaj. Narišimo kazalčni diagram, ki bo grafično podprl zgornje izraze (slika 2). Najprej narišemo kazalce faznih napetosti, nato kazalce tokov (prvi je sofazen, drugi prehiteva in tretji zaostaja za kazalcem »svoje« napetosti) in na koncu še njihovo vsoto oziroma kazalec toka v nevtralnem vodniku.

Kazalec moči vsakega od bremen je enak kazalcu moči ustreznega vira. Vsak vir posreduje energijo svojemu bremenu, kazalec moči trifaznega bremena je enak vsoti kazalcev moči posameznih bremen:

<latex>{\underline S\, =\, {{\underline S }_1}\, +\, {{\underline S }_2}\, + \,{{\underline S }_3}\,= \,{{\underline U }_1}({{\underline I }_1})^* \,+ \,{{\underline U }_2}({{\underline I }_2})^*\, +\, {{\underline U }_3}({{\underline I }_3})^*.}</latex>

'''Zgled 1'''
Na simetričen trifazni sistem napetosti 3 x 230 / 400 V priključimo tri bremena v vezavi zvezda z nevtralnim vodnikom: upor na prvo, tuljavo na drugo in kondenzator na tretjo fazno napetost. Absolutne vrednosti impedanc bremen naj bodo enake, enake 50 Ω. Izračunajmo kazalce faznih tokov in kazalec toka v nevtralnem vodniku. ⇒ Opremo se na zgornje enačbe in na izbrane kazalce faznih napetosti:

<latex>{\underline I _1}\, =\, \frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}}\, =\, \frac{{{\rm{j230 V}}}}{{{\rm{50 }}\Omega }}\, = \,{\rm{j4}}{\rm{,6 A}}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _2}\, \,= \frac{{0,5 \cdot \left( {\sqrt 3 \, -\, {\rm{j}}} \right)\, \cdot \,{\rm{230 V}}}}{{{\rm{j50 }}\Omega }}\, \cong\, ( - 2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A}}</latex>

in

<latex>{\underline I _3}\, =\, \frac{{0,5\, \cdot \,\left( { - \sqrt 3\, -\, {\rm{j}}} \right) \,\cdot\, {\rm{230 V}}}}{{ - {\rm{j50 }}\Omega }} \,\cong \,(2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A }} \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, = \,{\underline I _1}\, + \,{\underline I _2}\, + \,{\underline I _3} \,\cong\, {\rm{j}}3,36{\rm{ A}}{\rm{.}}</latex>

Kadar je trifazno breme ''simetrično'', da je <latex>\underline Z_1=\underline Z_2=\underline Z_3=\underline Z=1/\underline Y</latex>, se izračun še bolj poenostavi:

<latex>{\underline I _1}\, = \,\underline Y {\underline U _1}\,\,,\,\,\,\,{\underline I _2}\, = \,\underline Y {\underline U _2}\,\,,\,\,\,\,{\underline I _3} \,= \,\underline Y {\underline U _3}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, =\, {\underline I _1}\, +\, {\underline I _2}\, +\, {\underline I _3} \,= \,\underline Y ({\underline U _1}\, + \,{\underline U _2} \,+\, {\underline U _3}) \,= \,0.</latex>

Kazalci linijskih tokov oblikujejo simetrično zvezdo kazalcev, ki je za kot <latex>\varphi</latex> zavrtena glede na zvezdo kazalcev napetosti. Simetrična zvezda kazalcev je tudi razlog, da je tok v nevtralnem vodniku enak nič (slika 3).

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazno breme v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:55:29 GMT

Andrej:

Trifazno breme sestavljajo (praviloma) tri ločena bremena, od katerih je vsako priključeno na svojo fazno napetost, bremenom skupno spojišče (''zvezdišče'') je na potencialu nič voltov (slika 1)<ref>Ta način priključevanja je značilen predvsem za porabnike v gospodinjstvih.</ref>. Če imitance bremen poznamo, izračun ni težak. Toki skozi fazne vodnike oziroma ''linijski toki'' so hkrati tudi toki bremen, določajo jih kazalci faznih napetosti in imitanc. Kazalec toka skozi nevtralni vodnik je enak vsoti kazalcev faznih tokov:

<latex>{{{\underline I }_1} \,= \,\frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}} \,= \,{{\underline Y }_1}{{\underline U }_1}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline I }_2}\, = \,\frac{{{{\underline U }_2}}}{{{{\underline Z }_2}}}\, = \,{{\underline Y }_2}{{\underline U }_2}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline I }_3}\, = \,\frac{{{{\underline U }_3}}}{{{{\underline Z }_3}}}\, =\, {{\underline Y }_3}{{\underline U }_3}{\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{{\underline I }_0} \,=\, {{\underline I }_1}\,+\, {{\underline I }_2} \,+\, {{\underline I }_3}.}</latex>

Primer. Imitance bremen naj bodo različne: prvo breme naj ima čisto uporoven, drugo delno kapacitiven in tretje delno induktiven značaj. Narišimo kazalčni diagram, ki bo grafično podprl zgornje izraze (slika 2). Najprej narišemo kazalce faznih napetosti, nato kazalce tokov (prvi je sofazen, drugi prehiteva in tretji zaostaja za kazalcem »svoje« napetosti) in na koncu še njihovo vsoto oziroma kazalec toka v nevtralnem vodniku.

Kazalec moči vsakega od bremen je enak kazalcu moči ustreznega vira. Vsak vir posreduje energijo svojemu bremenu, kazalec moči trifaznega bremena je enak vsoti kazalcev moči posameznih bremen:

<latex>{\underline S\, =\, {{\underline S }_1}\, +\, {{\underline S }_2}\, + \,{{\underline S }_3}\,= \,{{\underline U }_1}({{\underline I }_1})^* \,+ \,{{\underline U }_2}({{\underline I }_2})^*\, +\, {{\underline U }_3}({{\underline I }_3})^*.}</latex>

'''Zgled 1'''
Na simetričen trifazni sistem napetosti 3 x 230 / 400 V priključimo tri bremena v vezavi zvezda z nevtralnim vodnikom: upor na prvo, tuljavo na drugo in kondenzator na tretjo fazno napetost. Absolutne vrednosti impedanc bremen naj bodo enake, enake 50 Ω. Izračunajmo kazalce faznih tokov in kazalec toka v nevtralnem vodniku. ⇒ Opremo se na zgornje enačbe in na izbrane kazalce faznih napetosti:

<latex>{\underline I _1}\, =\, \frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}}\, =\, \frac{{{\rm{j230 V}}}}{{{\rm{50 }}\Omega }}\, = \,{\rm{j4}}{\rm{,6 A}}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _2}\, \,= \frac{{0,5 \cdot \left( {\sqrt 3 \, -\, {\rm{j}}} \right)\, \cdot \,{\rm{230 V}}}}{{{\rm{j50 }}\Omega }}\, \cong\, ( - 2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A}}</latex>

in

<latex>{\underline I _3}\, =\, \frac{{0,5\, \cdot \,\left( { - \sqrt 3\, -\, {\rm{j}}} \right) \,\cdot\, {\rm{230 V}}}}{{ - {\rm{j50 }}\Omega }} \,\cong \,(2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A }} \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, = \,{\underline I _1}\, + \,{\underline I _2}\, + \,{\underline I _3} \,\cong\, {\rm{j}}3,36{\rm{ A}}{\rm{.}}</latex>

Kadar je trifazno breme ''simetrično'', da je <latex>\underline Z_1=\underline Z_2=\underline Z_3=\underline Z=1/\underline Y</latex>, se izračun še bolj poenostavi:

<latex>{\underline I _1}\, = \,\underline Y {\underline U _1},{\rm{ }}{\underline I _2}\, = \,\underline Y {\underline U _2}\,\,,\,\,\,\,{\underline I _3} \,= \,\underline Y {\underline U _3}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, =\, {\underline I _1}\, +\, {\underline I _2}\, +\, {\underline I _3} \,= \,\underline Y ({\underline U _1}\, + \,{\underline U _2} \,+\, {\underline U _3}) \,= \,0.</latex>

Kazalci linijskih tokov oblikujejo simetrično zvezdo kazalcev, ki je za kot <latex>\varphi</latex> zavrtena glede na zvezdo kazalcev napetosti. Simetrična zvezda kazalcev je tudi razlog, da je tok v nevtralnem vodniku enak nič (slika 3).

<references />

{{Hierarchy footer}}

Trifazno breme v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:54:30 GMT

Andrej:

Trifazno breme sestavljajo (praviloma) tri ločena bremena, od katerih je vsako priključeno na svojo fazno napetost, bremenom skupno spojišče (''zvezdišče'') je na potencialu nič voltov (slika 1)<ref>Ta način priključevanja je značilen predvsem za porabnike v gospodinjstvih.</ref>. Če imitance bremen poznamo, izračun ni težak. Toki skozi fazne vodnike oziroma ''linijski toki'' so hkrati tudi toki bremen, določajo jih kazalci faznih napetosti in imitanc. Kazalec toka skozi nevtralni vodnik je enak vsoti kazalcev faznih tokov:

<latex>{{{\underline I }_1} \,= \,\frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}} \,= \,{{\underline Y }_1}{{\underline U }_1}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline I }_2}\, = \,\frac{{{{\underline U }_2}}}{{{{\underline Z }_2}}}\, = \,{{\underline Y }_2}{{\underline U }_2}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline I }_3}\, = \,\frac{{{{\underline U }_3}}}{{{{\underline Z }_3}}}\, =\, {{\underline Y }_3}{{\underline U }_3}{\rm{ }} \,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{{\underline I }_0} \,=\, {{\underline I }_1}\,+\, {{\underline I }_2} \,+\, {{\underline I }_3}.}</latex>

Primer. Imitance bremen naj bodo različne: prvo breme naj ima čisto uporoven, drugo delno kapacitiven in tretje delno induktiven značaj. Narišimo kazalčni diagram, ki bo grafično podprl zgornje izraze (slika 2). Najprej narišemo kazalce faznih napetosti, nato kazalce tokov (prvi je sofazen, drugi prehiteva in tretji zaostaja za kazalcem »svoje« napetosti) in na koncu še njihovo vsoto oziroma kazalec toka v nevtralnem vodniku.

Kazalec moči vsakega od bremen je enak kazalcu moči ustreznega vira. Vsak vir posreduje energijo svojemu bremenu, kazalec moči trifaznega bremena je enak vsoti kazalcev moči posameznih bremen:

<latex>{\underline S\, =\, {{\underline S }_1}\, +\, {{\underline S }_2}\, + \,{{\underline S }_3}\,= \,{{\underline U }_1}({{\underline I }_1})^* \,+ \,{{\underline U }_2}({{\underline I }_2})^*\, +\, {{\underline U }_3}({{\underline I }_3})^*.}</latex>

'''Zgled 1'''
Na simetričen trifazni sistem napetosti 3 x 230 / 400 V priključimo tri bremena v vezavi zvezda z nevtralnim vodnikom: upor na prvo, tuljavo na drugo in kondenzator na tretjo fazno napetost. Absolutne vrednosti impedanc bremen naj bodo enake, enake 50 Ω. Izračunajmo kazalce faznih tokov in kazalec toka v nevtralnem vodniku. ⇒ Opremo se na zgornje enačbe in na izbrane kazalce faznih napetosti:

<latex>{\underline I _1}\, =\, \frac{{{{\underline U }_1}}}{{{{\underline Z }_1}}}\, =\, \frac{{{\rm{j230 V}}}}{{{\rm{50 }}\Omega }}\, = \,{\rm{j4}}{\rm{,6 A}}\,\,,\,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _2}\, \,= \frac{{0,5 \cdot \left( {\sqrt 3 \, -\, {\rm{j}}} \right)\, \cdot \,{\rm{230 V}}}}{{{\rm{j50 }}\Omega }}\, \cong\, ( - 2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A}}</latex>

in

<latex>{\underline I _3}\, =\, \frac{{0,5\, \cdot \,\left( { - \sqrt 3\, -\, {\rm{j}}} \right) \,\cdot\, {\rm{230 V}}}}{{ - {\rm{j50 }}\Omega }} \,\cong \,(2,3 \,- \,{\rm{j}}3,98){\rm{ A }} \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, = \,{\underline I _1}\, + \,{\underline I _2}\, + \,{\underline I _3} \,\cong\, {\rm{j}}3,36{\rm{ A}}{\rm{.}}</latex>

Kadar je trifazno breme ''simetrično'', da je <latex>\underline Z_1=\underline Z_2=\underline Z_3=\underline Z=1/\underline Y</latex>, se izračun še bolj poenostavi:

<latex>{\underline I _1}\, = \,\underline Y {\underline U _1},{\rm{ }}{\underline I _2}\, = \,\underline Y {\underline U _2}\,\,{\rm{, }}\,\,\,\,{\underline I _3} \,= \,\underline Y {\underline U _3}\,\,\,\,{\rm{ }} \Rightarrow \,\,\,\,{\rm{ }}{\underline I _0}\, =\, {\underline I _1}\, +\, {\underline I _2}\, +\, {\underline I _3} \,= \,\underline Y ({\underline U _1}\, + \,{\underline U _2} \,+\, {\underline U _3}) \,= \,0.</latex>

Kazalci linijskih tokov oblikujejo simetrično zvezdo kazalcev, ki je za kot <latex>\varphi</latex> zavrtena glede na zvezdo kazalcev napetosti. Simetrična zvezda kazalcev je tudi razlog, da je tok v nevtralnem vodniku enak nič (slika 3).

<references />

{{Hierarchy footer}}

Kazalci medfaznih napetosti

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:50:48 GMT

Andrej:

Fazne napetosti pač niso edine, ki jih ponuja trifazni sistem. Izkoristimo lahko tudi napetost med prvo in drugo sponko, napetost med drugo in tretjo in končno še napetost med tretjo in prvo sponko. Te tri napetosti imenujemo ''medfazne napetosti'' (slika 46):

<latex>{{{\underline U }_{12}} \,=\, {{\underline U }_1}\, -\, {{\underline U }_2} \,= \, - \,{{\underline U }_{21}},\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline U }_{23}}\, =\, {{\underline U }_2}\, - \,{{\underline U }_3}\,{\rm{ = }}\, - {{\underline U }_{32}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline U }_{31}}\, =\, {{\underline U }_3}\, -\, {{\underline U }_1}\, = \, - {{\underline U }_{13}}.}</latex>

Kazalci tvorijo enakokrake trikotnike (kraka ustrezata faznim, osnovnica pa medfazni napetosti). Kot med krakom in osnovnico je 30°, zato je absolutna vrednost <latex>U_{\mathrm{m-f}}</latex> kazalca medfazne napetosti <latex>\sqrt 3</latex>-kratnik absolutne vrednosti <latex>U_{\mathrm{f}}</latex> kazalca fazne napetosti:

<latex>{{U_{{\rm{m - f}}}}\, = \,\left| {{{\underline U }_{jk}}} \right|\, =\, \sqrt 3 \left| {{{\underline U }_i}} \right|{\rm{ }}\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, {\rm{ }}{U_{{\rm{m - f}}}}\, = \,\sqrt 3 {U_{\rm{f}}}.}</latex>

Kazalci medfaznih napetosti sledijo iz izbranih kazalcev faznih napetosti in definicije,

<latex>{{{\underline U }_{12}}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - 1\, +\, {\rm{j}}\sqrt 3 } \right){U_{{\rm{m - f}}}},\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline U }_{23}}\, =\, {U_{{\rm{m - f}}}},\,\,\,\,{\rm{ }}{{\underline U }_{31}}\, = \,{\textstyle{1 \over 2}}\left( { - 1\, - \,{\rm{j}}\sqrt 3 } \right){U_{{\rm{m - f}}}},}</latex>

ali tudi:

<latex>{{{\underline U }_{12}}\, =\, {U_{{\rm{m - f}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2\pi /3}}\,\,{\rm{, }}\,\,\,\,{{\underline U }_{23}} \,=\, {U_{{\rm{m - f}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j0}}}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline U }_{31}}\, = \,{U_{{\rm{m - f}}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2\pi /3}}.}</latex>

Argument prve medfazne napetosti je 120°, druge 0° in tretje -120°<ref>Zapisa kazalcev napetosti se ne učimo na pamet. V spomin si vtisnimo le kazalčni diagram faznih napetosti, iz katerega moremo brž izluščiti kazalce medfaznih napetosti.</ref>.

<references />

{{Hierarchy footer}}

Kazalci faznih napetosti

Andrej — Tue, 08 Jun 2010 08:49:48 GMT

Andrej:

Če je <latex>U_{\mathrm{f}}</latex> efektivna vrednost (treh) faznih napetosti, potem so kazalci napetosti simetričnega trifaznega sistema sledeči:

<latex>{{{\underline U }_1} \,=\, {U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{, }}\,\,\,\,{{\underline U }_2}\, = \,{U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j(}}\alpha - 2\pi /3)}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline U }_3} \,= \,{U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j(}}\alpha \, + \,2\pi /3)}}.}</latex>

Za prvim kazalcem zaostaja drugi za kot <latex>2 \pi /3</latex>, tretji pa za kot <latex>4 \pi /3</latex>, ga torej prehiteva za <latex>2 \pi /3</latex> (slika 4). Kazalčni diagram oblikuje simetrična zvezda kazalcev faznih napetosti<ref>Za simetrično zvezdo sta pomembna enakost dolžin in sosledje kazalcev, ne pa kot <latex>\alpha</latex>.</ref>; njeno najpogostejšo upodobitev dobimo, ko za kot <latex>\alpha</latex> izberemo (kar smemo) 90°, da je fazni kot prvega kazalca 90°, drugega -30° oziroma 330°, tretjega kazalca pa -150° oziroma 210° (slika 5)<ref>Druga pogosta izbira je kot <latex>\alpha=0</latex>. Fazna kota drugih dveh sta -120° in 120°.</ref>:

<latex>{{{\underline U }_1}\, =\, {U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi {\rm{/2}}}}\,\,{\rm{, }}\,\,\,\,{{\underline U }_2} \,=\, {U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi {\rm{/6}}}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline U }_3}\, =\, {U_{\rm{f}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j5}}\pi {\rm{/6}}}},}</latex>

ali tudi:

<latex>{{{\underline U }_1}\, =\, {\rm{j}}{U_{\rm{f}}},\,\,\,\,{\rm{ }}\,\,{{\underline U }_2} \,=\, {\textstyle{1 \over 2}}\left( {\sqrt 3\, - \,{\rm{j}}} \right){U_{\rm{f}}}\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,{{\underline U }_3}\, =\, {\textstyle{1 \over 2}}\left( { - \sqrt 3 \, - \,{\rm{j}}} \right){U_{\rm{f}}}.}</latex>

Iz zadnjih zapisov in kazalčnih diagramov je razvidno, da je vsota kazalcev napetosti simetričnega trifaznega sistema enaka nič: <latex>\underline U _1+\underline U _2+\underline U _3=0</latex>.

<references />

{{Hierarchy footer}}