|
|
| (8 intermediate revisions not shown) |
| Vrstica 1: |
Vrstica 1: |
| | + | [[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]] |
| | + | [[Image:eele_foto_171.jpg|thumb|right|Fotografija 171]] |
| | + | [[Image:eele_foto_173.jpg|thumb|right|Fotografija 173]] |
| | + | [[Image:eele_foto_172.jpg|thumb|right|Fotografija 172]] |
| | + | [[Image:eele_foto_175.jpg|thumb|right|Fotografija 175]] |
| | + | [[Image:eele_foto_176.jpg|thumb|right|Fotografija 176]] |
| | + | [[Image:eele_foto_178.jpg|thumb|right|Fotografija 178]] |
| | Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''. | | Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih '''z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami''' lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v '''kompleksno ravnino''' in jih obravnavamo kot '''kompleksorje'''. |
| | + | |
| | | | |
| | Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. <u>'''''K'''''</u>, sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku: | | Ker je poljuben kompleksor (označimo ga z veliko podčrtano črko, npr. <u>'''''K'''''</u>, sl. 3.4.9) na splošno določen z '''realno''' ('''Re''') in '''imaginamo''' ('''Im''') komponento, električne količine pa so izključno '''realne''' količine, povejmo takoj na začetku: |
| | | | |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_9.svg|thumb|right|Slika 3.4.9: Kompleksor v kompleksni ravnini]]
| |
| | | | |
| | <pomembno> | | <pomembno> |
| Vrstica 39: |
Vrstica 44: |
| | | | |
| | | | |
| - | Kompleksnemu številu <u>''Z''</u> = ''a'' + j''b'' '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, <u>''Z''</u>* = ''a'' - j''b'' imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število. | + | Kompleksnemu številu <latex>\underline {Z} = a +{\mathrm{j}}b</latex> '''zrcalnemu''' kompleksnemu številu z ozirom na '''realno''' os kompleksne ravnine, <latex>\underline {Z} = a -{\mathrm{j}}b</latex> imenujemo '''konjugirano''' kompleksno število. |
| | | | |
| | | | |
| Vrstica 54: |
Vrstica 59: |
| | | | |
| | '''Zanimiv produkt:''' | | '''Zanimiv produkt:''' |
| - | <latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}^* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex> | + | <latex>\underline{Z}\,\cdot\,\underline{Z}* \,=\,\left( {a \,+\, {\rm{ j}}b} \right)\,\cdot\,\left( {a\,-\,{\rm{ j}}b} \right)\, =\, {a^{\rm{2}}}\, +\, {\rm{ j}}ab\,-\,{\rm{ j}}ab\,-\,{\left( {{\rm{j}}b} \right)^{\rm{2}}}\, = \,{a^{\rm{2}}} \,+ \,{b^{\rm{2}}}</latex> |
| | Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je <u>'''realno'''</u> število! | | Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je <u>'''realno'''</u> število! |
| | | | |
| Vrstica 67: |
Vrstica 72: |
| | <latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex> | | <latex>\frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_2}\, =\, \frac{{Z_1} \,\cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _1}}}}{{Z_2}\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}{\alpha _2}}}}\, = \,\frac{Z_1}{Z_2}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}({\alpha _1} \,- \,{\alpha _2})}}</latex> |
| | </informacije> | | </informacije> |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | == Računanje impedance in admitance v algebrski kompleksni obliki ==
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | »Prehod« realnih električnih količin v algebrsko kompleksno obliko si oglejmo najprej na preprostih primerih impedance in admitance. Če trikotnik upornosti, npr. izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora in tuljave (sl. 3.4.10 a), prenesemo v '''kompleksno ravnino''' tako, kot kaže sl. 3.4.10 b, smo impedanci »nadeli« algebrsko '''kompleksno''' obliko.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_10.svg|thumb|right|Slika 3.4.10: Grafični prikaz impedance v kompleksni ravnini]]
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Kazalcu impedance '''''Z''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' (<u>'''''Z'''''</u>), delovni komponenti '''''R''''' '''pozitivno realno''' komponento ('''''R''''') kompleksorja <u>'''''Z'''''</u> ter jalovi induktivni komponenti '''''X<sub>L</sub>''''' impedance '''''Z''''' '''pozitivno imaginarno''' komponento (+ j'''''X<sub>L</sub>''''') kompleksorja <u>'''''Z'''''</u>.
| |
| - | </pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Algebrski zapis impedance zaporedne vezave upora in tuljave ima torej v kompleksni ravnini obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}\, =\, R \,+\, {\rm{j}}{X_L}}|||(Ω)
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Impedanca ''Z'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |<u>'''''Z'''''</u>| kompleksorja impedance <u>''Z''</u>.
| |
| - | </pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>Z \,=\, \left| \underline{Z} \right|</latex>
| |
| - |
| |
| - | oziroma
| |
| - |
| |
| - | <latex>Z\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right) \,+\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{R^2}\, +\, {X_L}^2}|||(Ω)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 20 Ω in tuljave z induktivno 30 Ω zapišemo potem v kompleksni obliki na način:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{Z} \,=\, \left( {20\, + \,{\rm{j}}30} \right)\left( {\rm{\Omega }} \right) \,\,\,\,\, {\rm{in}} \,\,\,\,\, \left| \underline{Z} \right|\, = \,Z\, =\, \sqrt {{{20}^2} \,+ \,{{30}^2}}\, =\, 36\,\Omega </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Fazni kot zaporedne vezave izračunamo v kompleksni obliki na osnovi '''imaginarne''' in '''realne''' komponente kompleksorja impedance ali admitance:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\tan \varphi\, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,= \,\frac{X_L}{R},</latex>
| |
| - | kar je že znana zgodba.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Podobno bi lahko naredili z impedanco kapacitivnega značaja, kompleksor impedance pa bi imel '''negativno''' imaginarno komponento (- j''X<sub>C</sub>'').
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Induktivna jalova komponenta '''''X<sub>L</sub>''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''pozitivne''' imaginarne komponente (j''X<sub>L</sub>'') kompleksorja <u>''Z''</u>.
| |
| - | *Kapacitivna jalova komponenta '''''X<sub>C</sub>''''' impedance '''''Z''''' ima v kompleksni ravnini značaj '''negativne imaginarne komponente''' (- j''X<sub>C</sub>'') kompleksorja <u>''Z''</u>.
| |
| - | </pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Algebrski zapis impedance kapacitivnega značaja ima torej v kompleksni ravnini obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z} \,= \,R\, -\, {\rm{j}}{X_C}}|||(Ω)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Impedanco izmeničnega kroga z zaporedno vezavo upora z upornostjo 40 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 50 Ω zapišemo potem v obliki:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{Z} \,=\, \left( {40 \,- \,{\rm{j}}50} \right)\,{\rm{\Omega }},</latex>
| |
| - |
| |
| - | njena absolutna vrednost pa je
| |
| - |
| |
| - | <latex>\left| \underline{Z} \right|\, =\, Z\, =\, \sqrt {{{40}^2} \,+\, {{50}^2}} \, =\, 64\,\Omega </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Vidimo, da se zapisa impedanc induktivnega in kapacitivnega značaja v kompleksni obliki razlikujeta v '''predznakih imaginarnih''' komponent. Ta ugotovitev je pomembna tudi za določitev značaja impedance ter delovne in jalove upornosti iz rezultata reševanja naloge sestavljene vezave.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Pozitivni predznak imaginarne komponente (+ j''X'') kompleksorja impedance <u>''Z''</u> določa '''induktivni''' značaj impedance ''Z'' in '''pozitivni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
| |
| - | *Negativni predznak imaginarne komponente (- j''X'') kompleksorja impedance <u>''Z''</u> določa '''kapacitivni''' značaj impedance ''Z'' in '''negativni''' predznak faznega kota '''''φ'''''.
| |
| - | </pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Kompleksni obliki zapisov admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja dobimo na podoben način na osnovi trikotnikov admitanc (slika 3.4.12):
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_12.svg|thumb|right|Slika 3.4.12: Kompleksorja admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja]]
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Kazalcu admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''kompleksor''' <u>'''''Y'''''</u>.
| |
| - | *Delovni komponenti '''''G''''' admitance '''''Y''''' priredimo v kompleksni ravnini '''pozitivno''' realno komponento ('''''G'''''), '''induktivni''' jalovi komponenti '''''B<sub>L</sub>''''' '''negativno''' imaginarno komponento (- j''B<sub>L</sub>'') in '''kapacitivni''' jalovi komponenti '''''B<sub>C</sub>''''' admitance '''''Y''''' '''pozitivno''' (+ j''B<sub>C</sub>'') kompleksorja <u>'''''Y'''''</u>.
| |
| - | </pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Algebrska zapisa admitanc induktivnega in kapacitivnega značaja imata torej v kompleksni ravnini obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Y}\, = \,\left( {G \,- \,{\rm{j}}{B_L}} \right)}|||(S)</latex>
| |
| - |
| |
| - | in
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Y} \,=\, \left( {G\, + \,{\rm{j}}{B_C}} \right)}|||(S)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Admitanca ''Y'' je v kompleksni ravnini določena z '''absolutno''' vrednostjo |<u>'''''Y'''''</u>| kompleksorja admitance <u>'''''Y'''''</u>.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>Y \,= \,\left| \underline{Y} \right|\, =\, \sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Y} \right) \,+ \,{{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Y} \right)} \, = \,\sqrt {{G^2}\, + \,{B^2}}|||(S)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Fazni kot vzporedne vezave izračunamo na osnovi imaginarne in realne komponente na podoben način, kot smo to ugotovili za primer impedance.
| |
| - |
| |
| - | Iz slike 3.4.12 in dobljenih izrazov za admitanco ''Y'' ugotavljamo, da ima predznak imaginarne komponente kompleksorja '''admitance nasproten''' pomen kot predznak imaginarne komponente kompleksorja '''impedance'''.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | '''Primera:'''
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 1. Izračunaj impedanco in fazni kot vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.13 a. Upornost upora je 2 Ω, kapacitivna upornost je 4 Ω in induktivna upornost je 1Ω.|||
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.13
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_13.svg|thumb|right|Slika 3.4.13]]
| |
| - |
| |
| - | Potek računanja nakazujeta nadomestni vezavi b in c:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Y}_{RC}} \,= \,G \,+\, {\rm{j}}{B_C}\, = \,{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}\,{\rm{S}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}_{RC}} \,= \,\frac{1}{\underline{Y}_{RC}}\, = \,\frac{1}{{\rm{0,5}}\, +\, {\rm{j\,0,25}}}\, = \,\frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{({\rm{0,5}} \,+\, {\rm{j\,0,25}})\left( {\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}} \right)}\, =\, \frac{{\rm{0,5}}\, -\, {\rm{j\,0,25}}}{{\rm{0,25}}\, +\, {\rm{0,0625}}} \,= \,{\rm{1,6}}\, -\, {\rm{j\,0,8\,\Omega}} </latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_{RC}}\, +\, {\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{1,6}} \,-\, {\rm{j\,0,8}} \,+\, {\rm{j}} \,= \,\left( {{\rm{1,6}} \,+\, {\rm{j\,0,2}}} \right)\,\Omega </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Iz izračunane impedance vezave v kompleksni obliki ugotavljamo:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | 1. Impedanca ima zaradi pozitivnega predznaka imaginarne komponente, '''induktivni''' značaj.
| |
| - |
| |
| - | 2. Upornost '''delovne''' komponente impedance je 1,6 Ω, upornost '''jalove''' komponente pa 0,2 Ω.
| |
| - |
| |
| - | 3. Sestavljeno vezavo upornosti na sliki 3.4.13 a. bi lahko glede izvora enakovredno nadomestili z '''zaporedno''' vezavo '''upora''' z upornostjo 1,6 Ω in tuljave z induktivno upornostjo 0,2 Ω.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Impedanca vezave:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>Z\, = \,\sqrt {{{\rm{Re}}^2}\left( \underline{Z} \right)\, +\, {{\rm{Im}}^2}\left( \underline{Z} \right)} \, =\, \sqrt {{\rm{1,6}^2} \,+\, {\rm{0,2}^2}}\, =\, {\rm{1,61}}\,\Omega </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Fazni kot vezave:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{\rm{0,2}}{\rm{1,6}} \,=\, {\rm{0,125}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \,=\, {\rm{7,12}}^{\,\circ} </latex>
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 2. Izračunaj impedanco in fazni kot sestavljene vezave upornosti, ki jo prikazuje slika 3.4.14 (''R''<sub>1</sub> = 3 Ω, ''X<sub>L</sub>'' = 4 Ω, ''X<sub>C''1</sub> = 4 Ω, ''R''<sub>2</sub> = 2 Ω in ''X<sub>C''2</sub> = 4 Ω).|||
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.14
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_14.svg|thumb|right|Slika 3.4.14]]
| |
| - |
| |
| - | Delne nadomestne impedance in admitance v kompleksni obliki:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}_2} \,= \,{R_2} \,- \,{\rm{j}}{X_{C2}}\, =\, \left( {2 \,-\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}_1}\, = \,{R_1} \,+\, {\rm{j}}{X_L} \,= \,\left( {3\, +\, {\rm{j}}4} \right)\,{\rm{\Omega }}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{1}{{\underline{Z}_1}}\, +\, {\rm{j}}{B_{C1}}\, =\, \frac{1}{{3 \,+ \,{\rm{j}}4}}\, + \,{\rm{j}}\frac{1}{4}\, =\, \frac{{\rm{j}}3}{12 \,+\, {\rm{j}}16}\,{\rm{S}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}_3}\, =\, \frac{1}{\underline{Y}_1}\, =\, \frac{12\, +\, {\rm{j}}16}{{\rm{j}}3}\, =\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\,{\rm{\Omega }}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Impedanca celotne vezave v kompleksni obliki je po tem:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{Z}\, =\, {\underline{Z}_2} \,+\, {\underline{Z}_3}\, = \,2\, - \,{\rm{j}}4\, +\, \frac{16\, -\, {\rm{j}}12}{3}\, =\, \frac{6\, -\, {\rm{j}}12\, + \,16\, -\, {\rm{j}}12}{3} \,= \,(\frac{22}{3}\, -\, {\rm{j}}\frac{24}{3})\,\Omega </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Impedanca vezave ima kapacitivni značaj (- j). Glede obremenitve izvora bi jo lahko nadomestili z zaporedno vezavo upora z upornostjo 22/3 Ω in kondenzatorja s kapacitivno upornostjo 24/3 Ω.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Fazni kot vezave:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\tan \varphi \, =\, \frac{{\rm{Im}}\left( \underline{Z} \right)}{{\rm{Re}}\left( \underline{Z} \right)} \,=\, \frac{ - \frac{24}{3}}{\frac{22}{3}} \,= \, -\, {\rm{1,091}} \,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, \varphi \, =\, -\, {\rm{47,5}}^{\,\circ} </latex>
| |
| - |
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | == Računanje sinusnih napetosti in tokov v eksponentni kompleksni obliki ==
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Algebrska oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da sta iz nje neposredno razvidni '''delovna''' in '''jalova komponenta''' impedance, prevodnosti, toka ... in '''značaj jalovih''' komponent (induktivni, kapacitivni). Omogoča tudi '''preprosto''' seštevanje in odštevanje kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | '''Algebrska oblika''' zapisa kompleksorjev električnih količin je zelo primerna za računanje '''impedanc''' in '''prevodnosti''' pa tudi '''napetosti''' in '''tokov''' na osnovi zakonov '''napetostnih zank''' in '''tokovnih''' vozlišč.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Pri uporabi Ohmovega zakona in računanju moči pa imamo opravka z operacijama '''množenja''' in '''deljenja'''. Čeprav je tudi v tem primeru možno računati s kompleksorji v algebrski obliki, pa je računanje preprostejše, če uporabimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorjev toka in napetosti.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Najprej si kompleksor sinusne izmenične količine oglejmo nekoliko podrobneje. Dobimo ga, če kazalec npr. napetosti (slika 3.4.15 a) prenesemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.15 b):
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.15
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_15.svg|thumb|right|Slika 3.4.15]]
| |
| - |
| |
| - | Na osnovi slike 3.4.15 lahko zapišemo kompleksor <u>''U''</u><sub>m</sub> v trigonometrični obliki, in sicer:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, \left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}\left| {{\underline{U}_{\rm{m}}}} \right|\,\sin \left( {\omega t} \right)\, =\, {U_{\rm{m}}}\,\cos \left( {\omega t} \right)\, +\, {\rm{j}}{U_{\rm{m}}}\,\sin \left( {\omega t} \right)\, = {U_{\rm{m}}}\left( {\cos \left( {\omega t} \right) \,+\, {\rm{j}}\sin \left( {\omega t} \right)} \right)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Če namesto trigonometričnega dela uporabimo enakovredni eksponentni '''operator''' '''''e<sup>j(ωt)</sup>''''' <ref><latex>\cos \alpha \,+\, {\rm{j}}\sin \alpha\, = \,{e^{{\rm{j}}\alpha }}\,\,{\rm{;}}\,\,\,\,\,e\, =\, {\rm{osnova\,\,naravnih\,\,logaritmov\,\,}}( \approx \,{\rm{2,71}} \ldots )</latex></ref>, dobimo '''eksponentno''' obliko zapisa kompleksorja sinusne napetosti:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{U}_{\rm{m}}}\, =\, {U_{\rm{m}}}{e^{{\rm{j}}\left( {\omega t} \right)}}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Podobno bi lahko naredili s kazalci maksimalnih vrednosti drugih izmeničnih količin. Iz praktičnih razlogov bomo v nadaljevanju, če ne bo drugače zahtevano, namesto z maksimalnimi, računali z '''efektivnimi''' vrednostmi izmeničnih količin.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Pri enakih frekvencah napetosti in toka kazalca le-teh v medsebojnem odnosu »mirujeta«, zato lahko kroženje kazalcev »spregledamo« (''ωt'' = 0), tako kot tudi nismo upoštevali začetnih kotov. Če upoštevamo, da po dogovoru postavljamo kazalec oziroma kompleksor '''napetosti''' izvora na '''pozitivno''' realno os (kot če bi izbrali ''α<sub>u</sub>'' = 0), položaj kompleksorja zaostajajočega toka pa je s tem določen z negativnim kotom ''φ'', dobimo za računanje obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{U}\, =\, \left| \underline{U} \right|{e^{{\rm{j}}{0^{\,\circ} }}}\, =\, U\, \cdot\, 1\, =\, U</latex>
| |
| - |
| |
| - | oziroma
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{U} \,= \,U} \,\,\,\,\, in \,\,\,\,\, {\underline{I} \,=\, I{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Ker sta v Ohmovem zakonu soudeleženi tudi impedanca in prevodnost, zapišimo v eksponentni obliki tudi kompleksorja teh dveh količin:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(Ω)</latex>
| |
| - |
| |
| - | in
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Y} \,=\, Y{e^{ - {\rm{j}}\varphi }}}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Eksponentna oblika zapisa kompleksorjev električnih količin izmeničnih krogov ima to prednost, da omogoča '''preprosto množenje''' in '''deljenje''' kazalcev količin sestavljenih izmeničnih krogov, iz rezultatov računanja pa so neposredno razvidne '''impedance''' in '''admitance''', '''maksimalne''' ali '''efektivne''' vrednosti '''napetosti''' in '''tokov''' ter '''fazni kot''' in iz njegovega predznaka '''značaj''' jalovih komponent računanih količin.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | '''Primera:'''
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 1. Med priključnima sponkama vezave na strani 6 je izmenična napetost 1,2 V (slika 3.4.16). Izračunaj toke elementov, napetosti na elementih ter fazni kot med kazalcema napetosti na tuljavi in kondenzatorju.|||
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.16
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_16.svg|thumb|right|Slika 3.4.16]]
| |
| - |
| |
| - | Kompleksor impedance sestavljene vezave pretvorimo iz '''algebrske''' v '''eksponencialno''' obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{Z}\, =\, Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}\, = \,1,61\,{e^{{\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Tok skozi tuljavo je tok izvora:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{I}\, =\, {\underline{I}_L}\, =\, \frac{\underline{U}}{\underline{Z}}\, = \,\frac{U}{{Z{e^{{\rm{j}}\varphi }}}} \,= \,\frac{\rm{1,2}}{\rm{1,61}}{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}}e{\rm{j}}\alpha </latex>
| |
| - | <ref>Množenje kompleksorja z operatorjem e<sup>j''α''</sup> povzroča v kompleksni ravnini zasuk kompleksorja za kot ''α''</ref>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Iz rezultata razberemo, da je efektivna vrednost toka izvora in tuljave 0,745 A in da tok zaostaja za napetostjo izvora za 7,12 °. Račun je res kratek in enostaven.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Kompleksor induktivne upornosti j''X<sub>L</sub>'' prevedemo iz algebrske oblike v eksponentno:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\rm{j}}{X_L}\, =\, {X_L}\,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, 1\, \cdot\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }} \,=\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Napetost na tuljavi je potem:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{U}_L} \,= \,{\underline{I}_L}\, \cdot \,{\rm{j}}{X_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot \,{e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{{\rm{j\,82,8}}^{\,\circ} }}{\rm{\,V}}\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,{U_L}\, =\, {\rm{0,745}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{{\rm{U}}L}} \,=\, {\rm{82,8}}^{\,\circ} </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Kompleksor impedance ''Z<sub>RC</sub>'' prevedemo v eksponentno obliko:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{Z_{RC}} \,=\, \sqrt {{\rm{1,6}^2}\, + \,{\rm{0,8}^2}} \, =\, {\rm{1,79}}\,{\rm{\Omega }}\,\,;\,\,\,\,\,\tan {\varphi _{RC}}\, = \,\frac{ - {\rm{0,8}}}{\rm{1,6}} \,=\, - {\rm{0,5}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {\varphi _{RC}}\, =\, - {\rm{26,6}}^{\,\circ} </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{Z}_{RC}}\, =\, {Z_{RC}}{e^{{\rm{j}}{\varphi _{RC}}}}\, =\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }}\,{\rm{\Omega }}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Napetost na uporu in kondenzatorju je:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{U}_R} \,=\, {\underline{U}_C}\, =\, {\underline{IZ}_{RC}}\, = \,{\rm{0,745}}\,{e^{ - {\rm{j\,7,12}}^{\,\circ} }}\, \cdot\, {\rm{1,79}}\,{e^{ - {\rm{j\,26,6}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{ali}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>{U_R} \,= \,{U_C} \,=\, {\rm{1,33}}\,{\rm{V}}\,\,\,\,\,{\rm{in}}\,\,\,\,\,{{\rm{\alpha }}_{U_R}}\, =\, {{\rm{\alpha }}_{U_C}}\, = \, - {\rm{33,7}}^{\,\circ} </latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Ker je kazalec napetosti ''U<sub>L</sub>'' za 82,8 º pred kazalcem napetosti izvora (ki leži v vodoravni osi), kazalec napetosti ''U<sub>C</sub>'' pa za kazalcem ''U'' zaostaja za 33,7 º, je kot med njima vsota obeh kotov, torej 116,5 º.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Tok skozi upor:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{I}_R} \,=\, \frac{\underline{U}_R}{R}\, =\, \frac{{\rm{1,33}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{2}\, = \,{\rm{0,66}}\,{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}\,{\rm{A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_R} \,=\, {\rm{0,66}}\,{\rm{A\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{{\rm{\alpha }}_{{\rm{I}}R}} \,=\, - {\rm{33,7}}^{\,\circ}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Tok skozi kondenzator:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{I}_C}\, =\, \frac{\underline{U}_C}{ - {\rm{j}}{X_C}} \,=\, {\rm{j}}\frac{\underline{U}_C}{X_C}\, =\, {e^{{\rm{j}}90^{\,\circ} }}\, \cdot\, \frac{{\rm{1,33}}{e^{ - {\rm{j\,33,7}}^{\,\circ} }}}{4} \,= \,{\rm{0,33}}\,{e^{{\rm{j\,56,3}}^{\,\circ} }}{\rm{\,A}} \,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\, {I_C} \,=\, {\rm{0,33}}\,{\rm{A}}{\rm{\,\,\,\,\,in\,\,\,\,\,}}{\rm{\alpha }}_{I_C} \,=\, {\rm{56,3}}^{\,\circ}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Geometrična vsota tokov ''I<sub>R</sub>'' in ''I<sub>C</sub>'' mora biti seveda enaka toku ''I<sub>L</sub>''.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Ker sta toka ''I<sub>R</sub>'' in ''I<sub>C</sub>'' med seboj pravokotna, lahko to preverimo s Pitagorovim izrekom (upoštevaj zanemarjena decimalna mesta). Iz znanih kompleksnih vrednosti tokov in napetosti je za podano vezavo zelo preprosto določiti kazalčni diagram. Izberemo le merilo toka in napetosti ter kazalce vrišemo pod danimi koti.
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 2. Izračunaj tok skozi tuljavo ''L''<sub>4</sub> in njegov fazni kot v izmeničnem krogu, ki ga prikazuje slika 3.4.17|||
| |
| - | NI RESITVE
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.17
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_17.svg|thumb|right|Slika 3.4.17]]
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | == Računanje moči sinusnega toka v eksponentni kompleksni obliki ==
| |
| - | [[Image:eele_slika_3_4_18.svg|thumb|right|Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini]]
| |
| - |
| |
| - | Če trikotnik moči poljubne vezave upora, tuljave in/ali kondenzatorja narišemo v kompleksno ravnino (slika 3.4.18), lahko ugotovimo:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Slika 3.4.18: Trikotnik moči v kompleksni ravnini
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Navidezno moč izmeničnega toka je v kompleksni ravnini ponazorjena s kompleksorjem <u>''S''</u>, katerega realna komponenta je '''delovna''' moč '''''P''''', imaginarna komponenta pa '''jalova''' moč ''j'''Q'''''.</pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Jalova moč ima lahko pri tem induktivni (j''Q<sub>L</sub>'') ali kapacitivni (- j''Q<sub>C</sub>'') značaj. V algebrski obliki zapišemo kompleksor moči <u>''S''</u>:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{S}\, = \,P \,+ \,{\rm{j}}Q}|||(VA),</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | v eksponentni obliki pa
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>{\underline{S} \,= \,S{e^{{\rm{j}}\varphi }}}|||(VA)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Pri računanju moči v eksponentni kompleksni obliki pa moramo biti previdni. Poglejmo:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{S}\,=\,UIe^{\rm{j}\varphi}\,=\,UIe^{\rm{j}(\alpha_u \,-\,\alpha_i)}\,=\,Ue^{\rm{j}\alpha_u}Ie^{-\rm{j}\alpha_i}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}*</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | ali
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{S}\,=\,\underline{U}\,\cdot\,\underline{I}^*|||(VA)</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Kompleksor moči <u>''S''</u> izmeničnega toka je določen s produktom kompleksorja napetosti <u>''U''</u> in '''konjugiranega''' kompleksorja toka <u>''I</u>*''.</pomembno>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Problem bi sicer lahko pričakovali, saj v istem kazalčnem diagramu lahko enakovredno obravnavamo le sinusne količine '''enakih frekvenc'''. Obravnavana navidezna moč pa je sestavljena iz delovne in izmenične jalove komponente, ki ima dvojno frekvenco toka oziroma napetosti.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Če upoštevamo še Ohmov zakon, ki velja tudi v kompleksni obliki <u>''U''</u> = <u>''I''</u> • <u>''Z''</u>, lahko izmenično moč računamo tudi v obliki:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{S}\, =\, \frac{U^2}{\underline{Z}^*}\, =\, {U^2} \underline{Z}\,= \,{U^2}\, \cdot\, {\underline{Y}^*}\, = \,{I^2}\, \cdot\, \underline{Z}\, =\, \frac{I^2}{\underline{Y}}</latex>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | '''Primera:'''
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 1. Izračunaj navidezno, delovno in jalovo moč izmeničnega toka pri podatkih ''U'' = 230 V, ''α<sub>U</sub>'' = 78 º, ''I'' = 2 A in ''α<sub>I</sub>'' = 48 º.|||
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{S} \,=\, \underline{U} \,\cdot \,{\underline{I}^*}\, = \,230{e^{{\rm{j}}78^{\,\circ} }}\, \cdot \,2{e^{ - {\rm{j}}48^{\,\circ} }}\, =\, 460{e^{{\rm{j}}30^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\, S \,= \,460{\rm{\,VA}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>P \,= \,S\,\cos \varphi \, =\, 460\cos 30^{\,\circ} \, =\, 398{\rm{\,W}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>Q \,=\, S\,\sin \varphi \,=\, 460\sin 30^{\,\circ} \, =\, 230{\rm{\,VAr}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - | <primer>
| |
| - | 2. Izračunaj navidezno delovno in jalovo moč izmeničnega toka v vezavi iz prvega primera tega poglavja (''U'' = 1,2 • ''e''<sup>j0º</sup> V, ''I'' = 0,745 • ''e''<sup>-j7,12º</sup> A).|||
| |
| - |
| |
| - | <latex>\underline{S} \,=\, \underline{U}\, \cdot\, {\underline{I}^*} \,=\, {\rm{1,2}}{e^{{\rm{j}}0^{\,\circ} }} \,\cdot\, {\rm{0,745}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }} \,=\, {\rm{0,894}}{e^{{\rm{j7,12}}^{\,\circ} }}{\rm{\,VA}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>S\, =\, {\rm{0,894\,VA}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>P\, =\, S\,\cos \varphi \, = {\rm{0,894}} \,\cos {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, = \,{\rm{0,887\,W}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | <latex>Q\, =\, S\,\sin \varphi \, = {\rm{0,894}}\,\sin {\rm{7,12}}^{\,\circ} \, =\, {\rm{0,11\,VAr}}</latex>
| |
| - |
| |
| - | </primer>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | V sestavljenem izmeničnem krogu na splošno velja:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <pomembno>
| |
| - | *Kompleksna moč '''večjega števila porabnikov''' je enaka '''vsoti''' kompleksnih moči posameznih porabnikov ne glede na vezavo le-teh.
| |
| - | </pomembno>
| |
| | | | |
| | | | |
Matematične operacije (seštevanje, množenje ...) s kazalci električnih količin sinusnih oblik in enakih frekvenc, v izmeničnih krogih z zahtevnejšimi sestavljenimi vezavami lahko poenostavimo tako, da kazalce prenesemo v kompleksno ravnino in jih obravnavamo kot kompleksorje.
Večino problemov v splošni in tudi elektrotehniški praksi znamo rešiti z matematiko, ki temelji na realnih – predstavljivih številih, kot so npr. ± (1; 2; 36,8; π; 0,4; 2/3 ... ). V določenih primerih pa računi z realnimi števili obstanejo na problemu. kot je npr. kvadratni koren iz negativnega števila, za katerega med vso silno množico realnih števil ne najdemo rezultata. Matematiki so se pri tem zatekli k zvijači: ker √(-1) niso znali izračunati, so ga kot nekaj nepredstavljivega enostavno samo poimenovali z imaginarno[1] enoto in označili z »i«. V elektrotehniki bi oznako za imaginarno enoto lahko zamenjali z oznako za trenutno vrednost toka (i), zato v elektrotehniki uporabljamo za imaginarno enoto oznako »j«.
Naloga npr. √(-4) je tako postala »rešljiva« na način √(-4) = √(4(-1)) = √4 √(-1) = 2j. Rezultata si sicer ne znamo predstavljati, toda pomembno je, kot bomo videli, da se z njim da računati.
kompleksno število.
Pomembno: Produkt kompleksnega števila z njegovim konjugiranim kompleksnim številom je realno število!
Zaradi enostavnejšega računanja je za operaciji množenja in deljenja ugodneje imeti kompleksna števila v eksponentni obliki:
![](javascript: loadPicture("Eele_slika_3_4_9.svg", 802);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_171.jpg", 1200);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_173.jpg", 1200);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_172.jpg", 1200);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_175.jpg", 1200);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_176.jpg", 1200);)
![](javascript: loadPicture("Eele_foto_178.jpg", 1200);)
4.1.1 Računanje na osnovi pravil reševanja trikotnikov
