Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus
| (2 intermediate revisions not shown) | |||
| Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
| - | Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika | + | [[Slika:eele_slika_visji_095.svg|thumb|Slika 95: Kondenzatorjevo polnilno vezje.]] |
| + | [[Slika:eele_slika_visji_096.svg|thumb|Slika 96: Časovni diagrami polnilnega toka in napetosti na uporu ter kondenzatorju.]] | ||
| + | Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 95). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob ''t''<sub>0</sub> = 0 s, prazen, da je ''u<sub>C</sub>''(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, ''i'' = ''U'' / ''R'', saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost ''u<sub>C</sub>'', zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, ''i'' = (''U'' - ''u<sub>C</sub>'') / ''R''. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do ''U'' ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren. | ||
| Vrstica 47: | Vrstica 49: | ||
| - | Iz | + | Iz toka ''i'' sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 96): |
| - | + | ||
<latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex> | <latex>{i\, =\, (U/R){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_R} \,= \,Ri = \,U{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}{\rm{ }} \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}{u_C}\, =\, U - {u_R}\, =\, U\left( {1\, -\, {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - t/\tau }}} \right).}</latex> | ||
Trenutna redakcija s časom 13:58, 15. avgust 2010
![](javascript: loadPicture("Eele_slika_visji_095.svg", 541);)
![](javascript: loadPicture("Eele_slika_visji_096.svg", 800);)
Polnilno vezje oblikujejo napetostni vir, stikalo, upor in kondenzator (slika 95). Kondenzator naj bo pred vklopom stikala, ob t0 = 0 s, prazen, da je uC(-0) = 0 V. Takoj za tem se v zanki pojavi tok, ki je prvi hip največji, i = U / R, saj je kondenzator še prazen. Po zelo kratkem času se le-ta delno naelektri in doseže napetost uC, zaradi česar se tok že rahlo zmanjša, i = (U - uC) / R. Tok očitno usiha, napetost kondenzatorja pa raste, vendar dlje kot do U ne pride. Ko polnilni tok povsem presahne, je kondenzator dokončno naelektren.
Povedano prelevimo v enačbe. Napišimo zančno enačbo za trenutek t > t0 in izrazimo napetost na uporu ter polnilni tok:
Odvajajmo napetostno enačbo (odvod napetosti U enosmernega vira je enak nič, odvod toka je di / dt in odvod napetosti kondenzatorja je duC / dt):
Produkt RC dimenzijsko ustreza sekundi, označimo ga s τ in nadaljujmo:
Enačba sporoča, da je tok funkcija, katere odvod je sorazmeren njej sami. To lastnost pa ima le eksponentna funkcija. Najdemo jo v eksponentni funkciji, multiplicirani s konstanto:
Eksponent funkcije je določen, manjka le še konstanta. Kondenzator je tik po vklopu še prazen. Iz zančne enačbe sledi začetna vrednost polnilnega toka,
ki določa tudi iskano konstanto:
Rešitev je tu. Tok določa usihajoča časovna funkcija:
Ob vklopu stikala tok naraste na vrednost U / R, od tam dalje pa eksponentno usiha. Ob času t1 = τ je vrednost polnilnega toka (U / R) e-1 &kong; 0,3678 (U / R) oziroma 37 % začetnega toka, ob času t2 = 2τ še (U / R) e-2 = 0,1353 (U / R) oziroma 14 % začetnega toka, v času t3 = 3τ le še 5 % začetnega toka, v času t4 = 4τ komaj še 1,8 % začetnega toka in v času t5 = 5τ le še neznatnih 0,7 % začetnega toka. Konstanta τ določa torej dinamiko usihanja toka, imenujemo jo časovna konstanta vezja ali kar RC konstanta[1]. Čeravno je prehodno stanje vezja teoretično »neskončno dolgo«, se za čas prehodnega pojava smatra čas petih časovnih konstant; to je čas, ko se dinamika pojava umakne v zadnji %.
Iz toka i sledita še napetosti na uporu in kondenzatorju (slika 96):
Dinamika napetosti na uporu je enaka opisani za tok, medtem ko je dinamika napetosti na kondenzatorju obratna. V času prve časovne konstante pridobi kondenzator 63 % končne napetosti, v času dveh že 86 % ... in v času 5τ že 99,3 % končne napetosti U. Sproti se v njem kopiči tudi energija:
V času prve časovne konstante je v kondenzatorju 40 % končne energije, v času dveh časovnih konstant naraste na 75 % in v petih časovnih konstantah doseže praktično 99 % končne energije. Med polnjenjem kondenzatorja se v uporu sprošča toplota z močjo Ri2:
Pridobljena funkcija pove, koliko toplote se sprosti v uporu do časa t1. Ko bo t1 nekajkratnik τ, bo toplota dosegla vrednost, ki je enaka končni akumulirani energiji v kondenzatorju, torej CU2 / 2. Sporočilo? Med prehodnim pojavom se delo vira do polovice prelevi v energijo polja v kondenzatorju, do polovice pa v toploto v uporu (ne glede na upornost R); izkoristek polnjenja je 50 %.
Zgled 1
Z virom enosmerne napetosti 500 V želimo naelektriti kondenzator kapacitivnosti 100 μF; predupor ima upornost 1 kΩ. Ovrednotimo prehodni pojav. ⇒ Časovna konstanta τ = RC je 100 ms. Praktični čas prehodnega pojava je 0,5 s. Začetna vrednost toka je U / R = 0,5 A, v nadaljevanju pa je
V času časovne konstante je vrednost toka 185 mA, po petih časovnih konstantah pa le še 3,5 mA. Napetost na kondenzatorju določa funkcija
V času ene časovne konstante je napetost na njem 335 V, po petih pa že 496 V.
Opombe
- ↑ Tangenta na krivuljo v kateremkoli trenutku t1 seka abscisno os v točki t1 + τ.
Podpoglavja:
- 5.8.1 Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo
- 5.8.2 Polnjenje kondenzatorja s tokovnim virom
 5.7.3 Eksponentna funkcija
| 5.8.1 Polnjenje kondenzatorja z začetno prednapetostjo
|
