Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus
| Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
Za razumevanje določenega integrala funkcije je najbolje, če imamo pred očmi fizikalni primer. 1) V element vezja naj priteka energija z močjo ''p''(''t''). V času Δ''t'' vstopi vanj energijski paket ''p''Δ''t''. Ker je moč v splošnem spremenljiva, bodo energijski paketi v sledečih časih Δ''t'' različni. Če želimo ugotoviti energijo, ki je vstopila v element, je potrebno energijske pakete sešteti. 2) Naj bo ''i''(''t'') funkcija, ki podaja polnilni tok. V času Δ''t'' se plošči kondenzatorjev obogatita z elektrinama ±''i''Δ''t'', napetost pa s prirastkom ''i''Δ''t'' / ''C''. Ker je polnilni tok v splošnem vsak trenutek drugačen, so v kasnejših časih Δ''t'' takšni tudi paketi elektrine in enako tudi prirastki napetosti. Če seštejemo vse prirastke napetosti, dobimo vrednost, za katero se je spremenila napetost kondenzatorja. Primera zastavljata nalogo: sešteti določene majhne vrednosti dane količine, pri tem pa pridobiti čim točnejši rezultat. | Za razumevanje določenega integrala funkcije je najbolje, če imamo pred očmi fizikalni primer. 1) V element vezja naj priteka energija z močjo ''p''(''t''). V času Δ''t'' vstopi vanj energijski paket ''p''Δ''t''. Ker je moč v splošnem spremenljiva, bodo energijski paketi v sledečih časih Δ''t'' različni. Če želimo ugotoviti energijo, ki je vstopila v element, je potrebno energijske pakete sešteti. 2) Naj bo ''i''(''t'') funkcija, ki podaja polnilni tok. V času Δ''t'' se plošči kondenzatorjev obogatita z elektrinama ±''i''Δ''t'', napetost pa s prirastkom ''i''Δ''t'' / ''C''. Ker je polnilni tok v splošnem vsak trenutek drugačen, so v kasnejših časih Δ''t'' takšni tudi paketi elektrine in enako tudi prirastki napetosti. Če seštejemo vse prirastke napetosti, dobimo vrednost, za katero se je spremenila napetost kondenzatorja. Primera zastavljata nalogo: sešteti določene majhne vrednosti dane količine, pri tem pa pridobiti čim točnejši rezultat. | ||
| + | |||
Zapustimo moč (tok) in pakete energije (naboja) in se raje posvetimo splošni časovni funkciji, ki naj je za začetek pozitivna, ''f''(''t'') > 0, ter njenim »paketom« in vsoti teh znotraj intervala ''t'' ∈ [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] (slika 2). (V primeru moči bi vsota pomenila energijo, ki je prispela v element, v primeru toka pa elektrino, ki je pritekla na ploščo.) Interval [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] razdelimo na n podintervalov trajanja Δ''t'' = (''t''<sub>1</sub> - ''t''<sub>0</sub>) / ''n''. »Jakost« ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>)Δ''t'' ''k''-tega »paketa« ustreza »ploščini« pravokotnika s stranicama Δ''t'' in ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>), pri čemer je ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> trenutek v ''k''-tem podintervalu, vsota | Zapustimo moč (tok) in pakete energije (naboja) in se raje posvetimo splošni časovni funkciji, ki naj je za začetek pozitivna, ''f''(''t'') > 0, ter njenim »paketom« in vsoti teh znotraj intervala ''t'' ∈ [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] (slika 2). (V primeru moči bi vsota pomenila energijo, ki je prispela v element, v primeru toka pa elektrino, ki je pritekla na ploščo.) Interval [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] razdelimo na n podintervalov trajanja Δ''t'' = (''t''<sub>1</sub> - ''t''<sub>0</sub>) / ''n''. »Jakost« ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>)Δ''t'' ''k''-tega »paketa« ustreza »ploščini« pravokotnika s stranicama Δ''t'' in ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>), pri čemer je ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> trenutek v ''k''-tem podintervalu, vsota | ||
| + | |||
<latex>\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t</latex> | <latex>\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t</latex> | ||
| + | |||
pa ustreza površini vseh takšnih pravokotnikov med ''t''<sub>0</sub> in ''t''<sub>1</sub><ref>Ploščino pravokotnika smo postavili med navednici in se s tem zavarovali: da ne govorimo o ploščini oziroma kvadraturi lika (saj stranici nimata dolžinskega značaja), ampak o produktu, ki ga je - v določenem merilu - mogoče interpretirati s površino pravokotnika.</ref>. Če bi za čase ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> izbrali čase (''t<sub>k</sub>''<sup>s</sup>) najmanjših funkcijskih vrednosti funkcije, bi za vsoto dobili vrednost ''S<sub>n</sub>'', če pa bi zatem za čase ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> izbirali čase (''t<sub>k</sub>''<sup>z</sup>) največjih funkcijskih vrednosti funkcije v podintervalih, bi za vsoto dobili vrednost ''Z''<sub>n</sub>. Slednja je gotovo večja ali kvečjemu enaka prejšnji vrednosti vsote: | pa ustreza površini vseh takšnih pravokotnikov med ''t''<sub>0</sub> in ''t''<sub>1</sub><ref>Ploščino pravokotnika smo postavili med navednici in se s tem zavarovali: da ne govorimo o ploščini oziroma kvadraturi lika (saj stranici nimata dolžinskega značaja), ampak o produktu, ki ga je - v določenem merilu - mogoče interpretirati s površino pravokotnika.</ref>. Če bi za čase ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> izbrali čase (''t<sub>k</sub>''<sup>s</sup>) najmanjših funkcijskih vrednosti funkcije, bi za vsoto dobili vrednost ''S<sub>n</sub>'', če pa bi zatem za čase ''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup> izbirali čase (''t<sub>k</sub>''<sup>z</sup>) največjih funkcijskih vrednosti funkcije v podintervalih, bi za vsoto dobili vrednost ''Z''<sub>n</sub>. Slednja je gotovo večja ali kvečjemu enaka prejšnji vrednosti vsote: | ||
| + | |||
<latex>{S_n}\, =\, \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^s} )\Delta t \,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,{Z_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^z} )\Delta t\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,0\, \textless \,{S_n}\, \le\, {Z_n}\, \textless \, \infty .</latex> | <latex>{S_n}\, =\, \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^s} )\Delta t \,\,\,\,\,{\rm{ in }}\,\,\,\,\,{Z_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^z} )\Delta t\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,0\, \textless \,{S_n}\, \le\, {Z_n}\, \textless \, \infty .</latex> | ||
| + | |||
Z nekaj premalo (''S''<sub>n</sub>) ali z nekaj preveč (''Z''<sub>n</sub>) verjetno nismo zadovoljni, razen če smo praktični in se zadovoljimo s približnim rezultatom, kar seveda tudi ne gre zavreči. Prepričani smo, da bo najbolj prava vrednost ''I'', ki jo imenujemo ''določen integral'' funkcije ''f''(''t'') na intervalu [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>], nekje med vrednostma ''S''<sub>n</sub> in ''Z''<sub>n</sub>, ''S''<sub>n</sub> ≤ ''I'' ≤ ''Z''<sub>n</sub>. Vrednosti ''I'' se bo vsota ''S''<sub>n</sub> približala z leve, vsota ''Z''<sub>n</sub> pa z desne strani, če bo le število ''n'' kar največje, stremeče v neskončnost. Vsoti, v kateri število sumandov (''n'') prekaša vse meje, rečemo ''izlimitirana vsota'', in pišemo: | Z nekaj premalo (''S''<sub>n</sub>) ali z nekaj preveč (''Z''<sub>n</sub>) verjetno nismo zadovoljni, razen če smo praktični in se zadovoljimo s približnim rezultatom, kar seveda tudi ne gre zavreči. Prepričani smo, da bo najbolj prava vrednost ''I'', ki jo imenujemo ''določen integral'' funkcije ''f''(''t'') na intervalu [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>], nekje med vrednostma ''S''<sub>n</sub> in ''Z''<sub>n</sub>, ''S''<sub>n</sub> ≤ ''I'' ≤ ''Z''<sub>n</sub>. Vrednosti ''I'' se bo vsota ''S''<sub>n</sub> približala z leve, vsota ''Z''<sub>n</sub> pa z desne strani, če bo le število ''n'' kar največje, stremeče v neskončnost. Vsoti, v kateri število sumandov (''n'') prekaša vse meje, rečemo ''izlimitirana vsota'', in pišemo: | ||
| + | |||
<latex>{I\, =\, \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} .}</latex> | <latex>{I\, =\, \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {f(t_k^*} )\Delta t\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} .}</latex> | ||
| + | |||
Integracijski znak »∫« zamenjuje sumacijski znak »∑«, meji seštevanja, ''t''<sub>0</sub> in ''t''<sub>1</sub> zamenjujeta skrajni vrednosti sumacijskega indeksa ''k'' in infinitezimalni paket ''f''(''t'')d''t'' zamenjuje majhen paket ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>)Δ''t''<ref>Integralu rečemo tudi zvezna vsota, za razliko od vsote, ki predstavlja diskretno seštevanje.</ref>. (Če bi funkcija ''f'' pomenila električni tok (ali moč), bi integral ''I'' pomenil v tem času pretečen naboj (ali energijo).) | Integracijski znak »∫« zamenjuje sumacijski znak »∑«, meji seštevanja, ''t''<sub>0</sub> in ''t''<sub>1</sub> zamenjujeta skrajni vrednosti sumacijskega indeksa ''k'' in infinitezimalni paket ''f''(''t'')d''t'' zamenjuje majhen paket ''f''(''t<sub>k</sub>''<sup>*</sup>)Δ''t''<ref>Integralu rečemo tudi zvezna vsota, za razliko od vsote, ki predstavlja diskretno seštevanje.</ref>. (Če bi funkcija ''f'' pomenila električni tok (ali moč), bi integral ''I'' pomenil v tem času pretečen naboj (ali energijo).) | ||
| + | |||
Glede na to, da smo sumande vsot interpretirali s ploščinami pravokotnikov, bi utegnili določen integral interpretirati s »površino« lika med abscisno osjo in funkcijo na intervalu [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] (slika 3). Določen integral ima nekaj lepih lastnosti. 1) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''g'' ''A''-kratnik funkcije ''f'', je integral funkcije ''g'' ''A''-kratnik integrala funkcije ''f''. 2) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''f'' negativna, ima negativno vrednost tudi določen integral. 3) Če ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''<sub>0</sub> do ''t''<sub>1</sub> vrednost ''I'', vrednost ''J'' pa od ''t''<sub>1</sub> do ''t''<sub>2</sub>, potem ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''<sub>0</sub> do ''t''<sub>2</sub> vrednost ''I'' + ''J'': | Glede na to, da smo sumande vsot interpretirali s ploščinami pravokotnikov, bi utegnili določen integral interpretirati s »površino« lika med abscisno osjo in funkcijo na intervalu [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>] (slika 3). Določen integral ima nekaj lepih lastnosti. 1) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''g'' ''A''-kratnik funkcije ''f'', je integral funkcije ''g'' ''A''-kratnik integrala funkcije ''f''. 2) Če je na integracijskem intervalu funkcija ''f'' negativna, ima negativno vrednost tudi določen integral. 3) Če ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''<sub>0</sub> do ''t''<sub>1</sub> vrednost ''I'', vrednost ''J'' pa od ''t''<sub>1</sub> do ''t''<sub>2</sub>, potem ima določen integral funkcije ''f'' od ''t''<sub>0</sub> do ''t''<sub>2</sub> vrednost ''I'' + ''J'': | ||
| + | |||
<latex>I\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{\,\,\,\,\, in\,\,\,\,\, }}J \,= \,\int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int\limits_{t_0}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} =\, \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} \, +\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, I\, +\, J.</latex> | <latex>I\, =\, \int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{\,\,\,\,\, in\,\,\,\,\, }}J \,= \,\int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} {\rm{ }}\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, {\rm{ }}\int\limits_{t_0}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} =\, \,\int\limits_{t_0}^{t_1} {f(t){\rm{d}}t} \, +\, \int\limits_{t_1}^{t_2} {f(t){\rm{d}}t} \, =\, I\, +\, J.</latex> | ||
| + | |||
Primer. Če je tok med prvo in tretjo sekundo prenesel naboj 1 μC, med tretjo in enajsto sekundo pa naboj -3 μC, potem je med prvo in enajsto sekundo ta tok prenesel naboj -2 μC. | Primer. Če je tok med prvo in tretjo sekundo prenesel naboj 1 μC, med tretjo in enajsto sekundo pa naboj -3 μC, potem je med prvo in enajsto sekundo ta tok prenesel naboj -2 μC. | ||
Redakcija: 19:25, 12. julij 2010
Za razumevanje določenega integrala funkcije je najbolje, če imamo pred očmi fizikalni primer. 1) V element vezja naj priteka energija z močjo p(t). V času Δt vstopi vanj energijski paket pΔt. Ker je moč v splošnem spremenljiva, bodo energijski paketi v sledečih časih Δt različni. Če želimo ugotoviti energijo, ki je vstopila v element, je potrebno energijske pakete sešteti. 2) Naj bo i(t) funkcija, ki podaja polnilni tok. V času Δt se plošči kondenzatorjev obogatita z elektrinama ±iΔt, napetost pa s prirastkom iΔt / C. Ker je polnilni tok v splošnem vsak trenutek drugačen, so v kasnejših časih Δt takšni tudi paketi elektrine in enako tudi prirastki napetosti. Če seštejemo vse prirastke napetosti, dobimo vrednost, za katero se je spremenila napetost kondenzatorja. Primera zastavljata nalogo: sešteti določene majhne vrednosti dane količine, pri tem pa pridobiti čim točnejši rezultat.
Zapustimo moč (tok) in pakete energije (naboja) in se raje posvetimo splošni časovni funkciji, ki naj je za začetek pozitivna, f(t) > 0, ter njenim »paketom« in vsoti teh znotraj intervala t ∈ [t0, t1] (slika 2). (V primeru moči bi vsota pomenila energijo, ki je prispela v element, v primeru toka pa elektrino, ki je pritekla na ploščo.) Interval [t0, t1] razdelimo na n podintervalov trajanja Δt = (t1 - t0) / n. »Jakost« f(tk*)Δt k-tega »paketa« ustreza »ploščini« pravokotnika s stranicama Δt in f(tk*), pri čemer je tk* trenutek v k-tem podintervalu, vsota
pa ustreza površini vseh takšnih pravokotnikov med t0 in t1[1]. Če bi za čase tk* izbrali čase (tks) najmanjših funkcijskih vrednosti funkcije, bi za vsoto dobili vrednost Sn, če pa bi zatem za čase tk* izbirali čase (tkz) največjih funkcijskih vrednosti funkcije v podintervalih, bi za vsoto dobili vrednost Zn. Slednja je gotovo večja ali kvečjemu enaka prejšnji vrednosti vsote:
Z nekaj premalo (Sn) ali z nekaj preveč (Zn) verjetno nismo zadovoljni, razen če smo praktični in se zadovoljimo s približnim rezultatom, kar seveda tudi ne gre zavreči. Prepričani smo, da bo najbolj prava vrednost I, ki jo imenujemo določen integral funkcije f(t) na intervalu [t0, t1], nekje med vrednostma Sn in Zn, Sn ≤ I ≤ Zn. Vrednosti I se bo vsota Sn približala z leve, vsota Zn pa z desne strani, če bo le število n kar največje, stremeče v neskončnost. Vsoti, v kateri število sumandov (n) prekaša vse meje, rečemo izlimitirana vsota, in pišemo:
Integracijski znak »∫« zamenjuje sumacijski znak »∑«, meji seštevanja, t0 in t1 zamenjujeta skrajni vrednosti sumacijskega indeksa k in infinitezimalni paket f(t)dt zamenjuje majhen paket f(tk*)Δt[2]. (Če bi funkcija f pomenila električni tok (ali moč), bi integral I pomenil v tem času pretečen naboj (ali energijo).)
Glede na to, da smo sumande vsot interpretirali s ploščinami pravokotnikov, bi utegnili določen integral interpretirati s »površino« lika med abscisno osjo in funkcijo na intervalu [t0, t1] (slika 3). Določen integral ima nekaj lepih lastnosti. 1) Če je na integracijskem intervalu funkcija g A-kratnik funkcije f, je integral funkcije g A-kratnik integrala funkcije f. 2) Če je na integracijskem intervalu funkcija f negativna, ima negativno vrednost tudi določen integral. 3) Če ima določen integral funkcije f od t0 do t1 vrednost I, vrednost J pa od t1 do t2, potem ima določen integral funkcije f od t0 do t2 vrednost I + J:
Primer. Če je tok med prvo in tretjo sekundo prenesel naboj 1 μC, med tretjo in enajsto sekundo pa naboj -3 μC, potem je med prvo in enajsto sekundo ta tok prenesel naboj -2 μC.
Opombe
- ↑ Ploščino pravokotnika smo postavili med navednici in se s tem zavarovali: da ne govorimo o ploščini oziroma kvadraturi lika (saj stranici nimata dolžinskega značaja), ampak o produktu, ki ga je - v določenem merilu - mogoče interpretirati s površino pravokotnika.
- ↑ Integralu rečemo tudi zvezna vsota, za razliko od vsote, ki predstavlja diskretno seštevanje.
Podpoglavja:
- 5.4.1 Določen integral kot funkcija zgornje meje
- 5.4.2 Odvod funkcije zgornje meje določenega integrala
 5.3.1 Časovni odvodi in diferenciali v elektrotehniki
| 5.4.1 Določen integral kot funkcija zgornje meje
|
