1.3 Kompleksna števila v kompleksni ravnini

Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus

Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil  »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila ; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak . Z vpeljavo imaginarne enote na način, da velja zanjo enačba

se ponuja nadaljevanje:

ki sporoča, da ima koren negativnega števila rešitvi v dveh, za predznak različnih imaginarnih številih. Imaginarno število je torej z enoto množeno realno število.

Združitev množic realnih in imaginarnih števil določa množico kompleksnih števil. Predstavnika, kompleksno število , določa algebraična vsota realnega števila in imaginarnega števila :

Števili in sta realni; je realni del (realna komponenta) števila , pa je imaginarni del (imaginarna komponenta) števila ; je enota imaginarnega, 1, ki je (praviloma) ne pišemo, pa je enota realnega dela.

Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je vpeljal kompleksno, po njem imenovano Gaussovo ravnino; opredeljujeta jo realna in imaginarna os. Ravnina omogoča predstavitev kompleksnega števila s »točko«; koordinati te točke sta in (slika 9). Presečišče osi upodablja število nič (). Osi razdelita ravnino na I., II., III. in IV. kvadrant; te štejemo od desnega zgornjega v levo okoli točke nič (v pozitivni matematični smeri).

Pravokotnost osi povzema dejstvo, da sta si števili in  »tuji«, da je razlika (vsota) realnih realno, vsota (razlika) imaginarnih pa je imaginarno število. Vsota/razlika kompleksnih števil in se torej odvija znotraj njunih delov, množenje kompleksnih števil pa izvajamo po pravilu množenja binomov:

Kompleksno število ima tudi svoje konjugirano kompleksno število ; to se od števila z razlikuje v predznaku imaginarnega dela:

in

Zmnožek sebi konjugiranih števil () da nenegativno število,

ki ustreza kvadratu »oddaljenosti« točke od točke 0. Ta oddaljenost določa številu njegovo absolutno vrednost ,

Upodablja jo daljica med izhodiščem in točko , ki s pozitivnim delom realne osi oklepa kot , z daljicama dolžine in pa oblikuje pravokoten trikotnik (slika 10). Iz trigonometričnih relacij, ki veljajo v pravokotnem trikotniku, dobimo realni in imaginarni del števila :

in

Iz njiju sledita tangens kota ,

in kot oziroma argument števila , ki ga določa sestavljena funkcija (funkcija »arctan« je namreč večlična),

Ponuja pa se tudi priložnost, da zapišemo število še v trigonometrični obliki:

Pozornost pritegneta značilna izraza v oklepajih, katerih absolutni vrednosti sta (neglede na kot ) enaki ena:

Predstavljata konjugirani števili, in , ki ležita na enotini krožnici polmera 1 (slika 11).

Zgled 1

Dano je kompleksno število: (slika 12). Določimo število , absolutno vrednost in argument. ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:

Kompleksno število leži v drugem, njemu konjugirano pa v tretjem kvadrantu; od izhodišča sta »oddaljeni« za pet; ker je realni del števila z negativen, je potrebno pri argumentu vzeti drug izraz; radiane pretvarja v stopinje faktor .

Podpoglavja:

• 1.3.1 Kompleksna količina in kazalec
• 1.3.2 Kazalec harmonične količine
• 1.3.3 Grafično seštevanje (odštevanje) kazalcev
• 1.3.4 »Prehitevanje in zaostajanje kazalcev«
• 1.3.5 Grafično množenje (deljenje) kazalcev
• 1.3.6 Množenje in deljenje z »j«
• 1.3.7 Eulerjeva formula

1.2.3 Tuljava

1.3.1 Kompleksna količina in kazalec