Iz e-ELEKTROTEHNIKA plus
Vpeljavo števil terjajo računske operacije. Brez celih števil »ni odštevanja« in brez ulomljenih ali racionalnih »ni deljenja«. Po novi razširitvi kliče korenjenje: kvadratni koren pozitivnega števila ni več nujno racionalno, ampak more biti celo iracionalno; racionalna in iracionalna tvorijo realna števila. Za nov »zaplet« poskrbi kvadratni koren (negativnega) števila
; ni moč najti realnega števila, katerega kvadrat bi bil enak
. Z vpeljavo imaginarne enote
na način, da velja zanjo enačba
se ponuja nadaljevanje:
ki sporoča, da ima koren negativnega števila
rešitvi v dveh, za predznak različnih
imaginarnih številih. Imaginarno število je torej z enoto
množeno realno število.
Združitev množic realnih in imaginarnih števil določa množico kompleksnih števil. Predstavnika,
kompleksno število , določa algebraična vsota realnega števila
in imaginarnega števila
:
Števili
in
sta realni;
je realni del (realna komponenta) števila
,
pa je imaginarni del (imaginarna komponenta) števila
;
je enota imaginarnega, 1, ki je (praviloma) ne pišemo, pa je enota realnega dela.
Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je vpeljal
kompleksno, po njem imenovano
Gaussovo ravnino; opredeljujeta jo
realna in
imaginarna os. Ravnina omogoča predstavitev kompleksnega števila
s »točko«; koordinati te točke sta
in
(slika 41-1). Presečišče osi upodablja število
nič (
). Osi razdelita ravnino na I., II., III. in IV.
kvadrant; te štejemo od desnega zgornjega v levo okoli točke nič (v
pozitivni matematični smeri).
Pravokotnost osi povzema dejstvo, da sta si števili
in
»tuji«, da je razlika (vsota) realnih realno, vsota (razlika) imaginarnih pa je imaginarno število. Vsota/razlika kompleksnih števil
in
se torej odvija znotraj njunih delov, množenje kompleksnih števil pa izvajamo po pravilu množenja binomov:
Kompleksno število
ima tudi svoje
konjugirano kompleksno število ; to se od števila z razlikuje v predznaku imaginarnega dela:
in
Zmnožek sebi konjugiranih števil (
) da nenegativno število,
ki ustreza kvadratu »oddaljenosti« točke
od točke 0. Ta oddaljenost določa številu
njegovo
absolutno vrednost ,
Upodablja jo daljica med izhodiščem in točko
, ki s pozitivnim delom realne osi oklepa kot
, z daljicama dolžine
in
pa oblikuje pravokoten trikotnik (slika 2). Iz trigonometričnih relacij, ki veljajo v pravokotnem trikotniku, dobimo realni in imaginarni del števila
:
in
Iz njiju sledita tangens kota
,
in kot
oziroma
argument števila
, ki ga določa sestavljena funkcija (funkcija »arctan« je namreč večlična),
Ponuja pa se tudi priložnost, da zapišemo število
še v
trigonometrični obliki:
Pozornost pritegneta značilna izraza v oklepajih, katerih absolutni vrednosti sta (neglede na kot
) enaki ena:
Predstavljata konjugirani števili,
in
, ki ležita na enotini krožnici polmera 1 (slika 3).
Zgled 1
Dano je kompleksno število:
(slika 4). Določimo število
, absolutno vrednost in argument. ⇒ V smislu opredelitev sledijo odgovori:
Kompleksno število leži v drugem, njemu konjugirano pa v tretjem kvadrantu; od izhodišča sta »oddaljeni« za pet; ker je realni del števila
z negativen, je potrebno pri argumentu vzeti drug izraz; radiane pretvarja v stopinje faktor
.
Podpoglavja:
je točka v kompleksni oziroma Gaussovi ravnini štirih kvadrantov.
, absolutna vrednost 
in argument 
kompleksnega števila.
1.2.3 Tuljava
